第二讲函数的概念和性质

1、第二讲函数的概念和性质(1)-函数及其表示、解析式【基础回顾】一、基础知识：知识点一：函数的概念：1. 函数的概念：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的,在集合B中都有和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为,XA.2. 其中所有的组成的集合A叫做函数y=f(x)定义域；对于A中的每一个x值，都有一个输出值y与之对应，将所有组成的集合称为函数的值域.定义一个函数f:AB，函数的值域C与B的关系是.3. 函数的三要素：.4. 函数y=f(x)的图象：将函数f(x)自变量的作为横坐标，相应的作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点，当自变量时，所有这些点组

2、成的图形就是.即直角坐标系中点集为函数y=f(x),xA的图象.5. 映射：一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f,对于集合A中的,在集合B中都有和它对应，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f:AB.6. 从映射的观点理解函数，函数是的映射.知识点二：函数的表示方法：1. 函数的表示方法：列表法(列出自变量与函数值的表，表达函数关系的方法如：三角函数表等)、解析法、图象法.列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法.解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.图像法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法.2. 分段函数：在定义域不同的范围内，用不同的解析式表示

3、.注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.知识点三：求函数解析式的方法：1待定系数法：明确已知函数的类型，可用待定系数法(如二次函数、有理函数等可设2yaxbxc(a0),根据题设条件，列出方程组，解出a,b,c等即可.2换元法：已知复合函数f(h(x)的解析式，形如fh(x)g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)t,从中解出x,代入g(x)进行换元来解.3解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知1量，如f(x),f()等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组

4、求出xf(x)二、基础自测：1下列图象中，表示函数关系yf(x)的是2给定映射f:(x,y)t(x+2y,2xy),在映射f下，(3,1)的原象为x1(xW1)3已知函数f(x)2，则f(f(1)=x2(x1)1x>04已知函数f(x)',则不等式(x1)f(x)x的解集是1,x05.已知f(丘1)x2仮，则f(x)=6.已知f(cosx)=cos5x，贝Uf(sinx)=.【典型例题】例题1：判断下列对应是否为函数：22(1)x-,x0,xR；(2)xy,yx,xN,yR；x(3)xyx,xx|0x6,yy|0y3；1y-x,xx|0x6,yy|0y3.6【分析】解本题的关键是

5、抓住函数的定义，判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词:“非空”、“每一个”、“惟一”，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A中的x即可.解：（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是.例题2:作出下列函数的图象(1)f(x)=x22|x|+1;(2)y=(l)1x1;(3)y=|log,(1-x)|;(4)y=空.2Tx1解：图略.例题3:(1)f(,x+1)=x+2.x，求f(x).131(2)已知f(x-)x3，求f(x).xxf(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2，试求出f(x)的解析式.（4）已知函数解：（1）令t=,x+

6、1,f(x)满足2f(x)t>1,x=(t-11f()3x，求f(x).x)2.贝Uf(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1+8).(2)f(x1)3x3(x丄)33(x1),xxxxf(x)x33x(x2或x2).(3)设f(x)=ax2+bx+c(a丰0),-f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.4a4a194a2b2，又f(0)=3c=3,f(x)=x-x+3.b1(4)12f(x)f(-)3x，把中的1x换成一1，得2f()f(x)3，xxxx2得3f(x)6x-,f(x)2x-.

7、xx例题4:如图，在坐标平面内厶ABC的顶点A(0,2),B(1,0),C(1,0),有一个随t变化的带形区域，其边界为直线y=t和y=t+1，设这个带形区域覆盖厶ABC的面积为S,试求以t为自变量的函数S的解析式，并画出这个函数的图象.解：根据t的取值范围分情况讨论：(1)当OWtW1时，带形区域覆盖厶ABC的图形为梯形DEGF由题可知这个梯形的高为1，根据题中的条件解出:底为DE=2-t，根据三角形的面积公式得:S-(2t)2丄(t2)2,1VtV2;22(3)当-1VtV0时，带形区域覆盖厶ABC的图形为梯形BCGF高为t+1，上底为FG=1-t,直线AC的解析式为y=-2x+2.则下底

8、为DE=2NE=2-t,上底为FG=2MG=1-t根据梯形的面积公式得：132tS牛2t)(1t)1丁,0<tw1;(2)当1vtV2时，带形区域覆盖ABC的图形为三角形ADE的面积，则三角形的高为2-t,11下底为2,根据梯形的面积公式得：S-(1t)2(t1)-(t22t3),-1vt22V0.1t2tf1(t2)2(1t0)(0t1),根据求出的解析式可以画出相应的函数的草图(1t2)(略).【巩固练习】1.设f:AtB是集合A到B的映射，下列命题中：A中不同元素必有不同的象；B中每一个元素在A中必有原象；A中每一个元素在B中必有象；B中每一个元素在A中的原象唯一真命题是2下列四组

9、函数，表示同一函数的是f(x)=logaa：g(x)=alo9ax(a>0,a丰1);f(x)=x2,g(x)3x3;f(x)=2x1(xR),g(x)=2x+1(xZ):f(x)t24t223.若f(1x)=x，贝Uf(x)=x24,g(t)x2若f(ax)=x(a>0，且a丰1)，则f(x)=若f(x-1)x2丄,贝yf(x)=.xx2log3x,x0i4. (2010年高考湖北卷文科3)已知函数f(x)，则f(fC)2x,x095. 已知f(x)=ax+bx+c，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，贝Uf(x)=.16设f(x)满足关系式2f(x)f()3x，求

10、f(x)=.x7. 已知f(1cosx)=sinx，则f(x)=.&已知函数f(x)2(X4),则f(5)=.f(x1)(x4)9. (2009四川卷文)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意5实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f(-)的值是2fx10. 已知函数fx满足f12,且对任意x,yR都有fXy,记fyn10aiagLgan,贝Vf6ii1i111. 若f(x)满足3fx12f1x2x，求函数f(x)的解析式.12.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y吨和实际

11、养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值).(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2) 求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.13已知f(x)bX，a、b为常数，且abz2.(1)若f(x)f(-)=k，求常数k的值.；2xaxk(2)在(1)的条件下，若ff(1)=,求a、b的值.214.(2010年高考广东卷文科20)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)kf(x2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)x(x2).(1)求f(1)，f(2.5)的值；(