第3章机械振动与机械波

1、第3章机械振动与机械波3-1判断下列运动是否为简谐振动（1）小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动；（2）活塞的往复运动；（3）质点的运动方程为xasin（t/3）bcos（t/6）（4）质点的运动方程为xacos（t/3）bcos（2t）d2（5）质点摆动角度的微分方程为2巴可1050dt2答：（1）是简谐振动，类似于单摆运动；（2）不是简谐振动；（3）是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成；（4）不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成；（5）不是简谐振动。x=m，3-2物体沿x轴作简谐振动，振幅A=m，周期T=2s。当t0时，物体的位移且向x轴正方向运

2、动。求：（1）此简谐振动的表达式；（2）tT时物体的位置、速度和加速度；4（3）物体从x0.06m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。解：（1）设此简谐振动的表达式为：xAcos（t0），则振动速度dxdtAsin(t0),振动加速度ad2xdt22Acos(t0)由题意可知：A0.12mT2s，则2(rad/s)又因为t0时x0.06m且0，把初始运动状态代入有:30.060.12cos又因为t0时Asin故此简谐振动的表达式为：x0.12cos(t)m把t寸代入简谐振动表达式:1x0.12cos()0.06/30.104(m寸代入简谐振动速度表达式:0.12sin(1-)0.06

3、0.18(m/s)T代入简谐振动加速度表达式:42相位为1，而32 0.12cos(1-)0.06.321.03(m/s2)由旋转矢量法可知，物体在x0.06m向x轴负方向运动时,物体从x0.06m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置时，相位为旋转的角度则所需的时间为:5656=(s)0,习题3-3图3-3如图示，质量为10g的子弹以速度v10m/s水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动。设.31弹簧的劲度系数k810Nm，木块的质量为4.99kg，桌面摩擦不计，试求：(1)振动的振幅；(2)振动方程。解：(1)子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动，子弹与木块的作用时间短，在水平方向

4、动量守恒且弹簧没有形变，设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点，水平向右的方向为正方向，子弹进入木块后与木块的共同速度为，则m(Mm)0,0mMm代入数据得：02(m/s)，子弹与木块相互作用时，弹簧没有形变，即该简谐振动的初始位置x00，弹簧简谐振动的圆频率，代入数据得:40(rad/s)，所以A20代入数据得：A0.05m。(2)由t0时，X。0且向X轴的正方向运动，所以所以振动方程为：x0.05cos(40t2)m3-4一重为p的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的劲度系数标明在图上。试求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。解：a图中两弹簧是串联的，总劲度系数k卫J，弹簧振

5、子的固有频率3333?rLb图中两弹簧是并联的，总劲度系数K2k，弹簧振子的固有频率为JJcmd2mR2mR22mR2把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动，则圆环对转轴的重力矩为MmgRsin，方向3-5一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期。解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直轴为Y轴，由转动轴定理可知，该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在Y轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水平轴的转动惯量为：为增大的反方向，由转动轴定理:d2即JmgRsin0,2由于环做小幅度摆动，所以sine可得

6、微分方程Q石血dtJ3-6.横截面均匀的光滑的U型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L,求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。左边液面上解：如图所示建立坐标，两边液面登高时为坐标原点，向上为Y轴正方向,升y,则右边液面下降y，U型管的横截面面积为S，液体的密度为，则左右液面的压力差为：F2gyS，方向为Y轴的负方向，由牛顿第二定律:Fma可知,2gySSL爭2小，即器譽y。，dtL故液面上下微小起伏的运动为简谐振动，其振动的圆频率3-7如图一细杆AB一端在水平槽中自由滑动，另一端与连接圆盘上，圆盘转轴通过o点且垂直圆盘和OX轴，当圆盘以角速度做匀速圆周运动时，写出槽中棒端点B的振动方程，自

7、行设计参数，利用mathematica软件或matlab软件画出振动图线。喘占在心曲上担动解：在AOB中，AB长度不变，设为I，圆半径OA不变设为R,OA与OB的夹角设为t，则B点的坐标x满足关系式：l2R2x22xRcostxRcost12R2R2cos2t上式表明，x是时间t的周期函数，但不是谐振动函数。取丨2,R1,10,画图如下。3-8质量为10103kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x0.1cos(8t勺的规律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计。求:(1)振动的圆频率、周期、振幅、初位相;(2)振动的速度、加速度的最大值;(3)最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能;画出这振

8、动的旋转矢量图，并在图中指明t1、2、10s等各时刻的矢量位置。解：(1)由振动的运动学方程可知：振幅A0.1m，圆频率rad/s，周期T0.25(s)，初相位83(2)振动的速度:dxdt0.8sin(8t3)振动速度的最大值为:max2.51(m/s)，振动的加速度：d2xdt26.42逸(勺，振动加速度的最大值为：20.63(N)，amax63.1(m/s)振动能量：E艸切2A23.16102(J)(3)最大回复力:mamaxFmax平均动能和平均势能：瓦Ek1e1.58102(J)3-9质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，劲度系数k25Nm如果开始振动时具有势能0.6J

9、和动能0.2J，求:(1) 振幅多大经过平衡位置的速度。(2) 位移为多大时，动能恰等于势能解：(1)简谐振动能量守恒，其总能等于任意时刻的动能与势能之和，即EEkEp0.8kA2，所以振幅A0.253(m)，p2在平衡位置时，弹簧为原长(假设弹簧座水平方向谐振动)，此时只有动能，即2EEkm0.8(J)，所以速度2.53(m/s).2112(2)要使EkEpE0.4(J)，即Epkx0.4(J)，则位移x0.179(m)。223-10两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅简谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的位相差，并作旋转矢量图表示之。解：设

10、它们的振动方程为xAcos(tA当x时，可得位相为23由于它们在相遇时反相，可取13它们的相差为同理当xA?时，可得位相为2E，它们的相差为矢量图如图所示.3-11已知两个同方向简谐振动如下：3 1x10.05cos(10t),x20.06cos(10t)55(1) 求它们合成振动的振幅和初位相；(2)另有一同方向简谐振动x30.07cos(10t)，问为何值时，X1X3的振幅为最大为何值时，X2x的振幅为最小为何值时，X1X2X3的振幅最小tanA1sin10Aicos10A2sin20A2cos，其中A0.05m,A20.06mi,203105，205，所以它们的合振动振幅为:2A8.92

11、10m,它们合振动的初相位:06813。（2）由同频率、同方向的简谐振动合成可知，同相位振动，其合成振幅最大；反相位振动，3其合成振幅最小。所以要使X1X3的振幅为最大，COs1则；要使X2X3的5振幅为最小，cos1则时；要使X1X2X3的振幅最小，cos1则5111047。3-12三个同方向，同频率的简谐振动为X10.08cos（314t-）,65X20.08cos（314t）,X30.08cos（314t）求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到.2一、一xA所需最短时间（A为合振动振幅）。解:（1）合振动的圆频率为314100(rad/s)A1A2

12、A30.08(m)，根据公式得AxAcos1Acos2A3cos30AyAsin1A2sin2A3sin30.16(m)合振幅为：AA；A；=（m），初位相为：arctanAy/代/2。合振动的方程为：x0.16cos（100t）2（2）当x.2A/2时，可得cos（100t/2）.2/2，解得100t/2/4或7/4t=(s)由于t0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为3-13将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉合成，测得拍频为在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率。3.0Hz，解：标准音叉的频率为：0384(Hz)，拍频为：3(Hz)，待测音叉

13、的固有频率可能是：10381(Hz)，111亠也可能是:384(Hz)。在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于将减小如果待测音叉的固有频率i，加一小块物体后，其频率i将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率2，即387Hz。3-14火车提速是社会发展的必然趋势。假如你是火车提速的决策者之一，试问：从物理学角度，你会考虑哪些问题答：铁轨的抗震能力、铁轨与火车共振时铁轨的耐压力等。3-15说明以下几组概念的区别和联系：(1) 振动和波动；(2) 振动曲线和波动曲线；(3) 振动速度和波动速度；解：(1)振动是物体在平衡位置做往复运动；波动是振动

14、在介质中的传播;(2)振动曲线表示的是物体运动的位移随时间函数关系，用Xt曲线表示；波动曲线表示的某一时刻不同质兀离开平衡位置的位移，用yx曲线表示。(3) 振动速度是描述物体运动的快慢，用与介质和波的类型有关。表示；波动速度表示振动传播的的快慢,dt3-16已知一波的波函数为y5102sin(10t0.6x)(m)(1) 求波长、频率、波速及传播方向;(2) 说明x0时波函数的意义，并作图表示。一2解：(1)与波函数的标准方程yAcos(tx0)进行对比可知:波长0.610.5(m)，频率孚5(Hz)，2波速u52.5(m)，传播方向沿X轴的正方向。(2) 当X0时波动方程就成为该处质点的振

15、动方程:y5102sin(100t)5102cos(100t-)，振动曲线如图3-17已知波的波函数为yAcos(4t2x)(SI)(1)写出t4.2s时各波峰位置的坐标表示式,该波峰何时通过原点(2)画出t4.2s时的波形曲线。解：(1)波峰位置时，cos(4t2x)x8.4k(k0,1,2LL)；当k8时，由波函数为yAcos(4t2x)可知波速为所用时间为t0.40.2(s)，该波峰在t2(2)t4.2s,该波并计算此时离原点最近的波峰的位置，1，则t4.2s时，波峰位置的坐标为：x0.4为离原点最近的波峰位置。u2m/s，则该波从坐标原点传播到x0.44s时通过坐标原点。动函数为：yA

16、cos(16.82x)3-18平面波在介质中以速度u20m-s-1沿x负方向传播。已知在传播路径上的某点A的振动方程为y3cos4t。Ar3-18圏(1) 如以A点为坐标原点，写出波函数；(2) 如以距A点5米处的B点为坐标原点，写出波函数;(3) 计算B、C两点振动的相差。解：(1)以A点为坐标原点，波动方程为:y3cos4(tX)3cos(4tX)。u5(2)以B点为坐标原点，波动方程为：xxAy3cos4(t-)3cos(4u(3)以A点为坐标原点，贝UxBXc13m,C两点的振动方程分别为yB3cos4(tjXb)3cos(4uyc3cos4(t生)3cos(4t13u523-19一列

17、简谐波沿x轴正向传播，在t10s,则B、C两点的振动的相差为:t20.25s时刻的波形如图所示。试求:(1) P点的振动表达式；(2) 波动表达式；(3) 画出0点的振动曲线。解：(1)设P点的振动方程为：ypAcos(t0)由题设可知：振幅A0.2m波长0.6m由t10s、t20.25s时刻的波形图，可知该波在t0.25s内，波向右传播了/4,则可知该波的周期T1s，波速u0.6m/s，波的圆频率2rad/s。当t0时，yp0，即0Acos0,由于波沿x轴正向传播，所以P点在此时向上运动，速度大于零，所以P点的振动表达式为：y0.2cos(2t)p2(2)P点的位置是Xp0.3m所以波动方程

18、为:y0.2cos2(t普)-100.2cos(2tx-).(3)在x=0处的振动方程为:曲线如图所示.y。0.2cos(2t2)3-20一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅、圆频率分别为A和3,波速为U,设t=0时的波形曲线如图所示。(1)写出波函数求距0点分别为入18，和3入/8两处质点在t=0时的振动速度。解：(1)设该波的波函数为：yAcos(t-)0,uy0且向下振动，故02所以波函数为：yAcos(tx)u2由t0时刻的波形图可知,(2)振动速度：把t0、x和t81Asin(t-)-,tu20、x分别代入振动速度表达式，则有:8t0,x/8Asin一t0,x3/8Asin43-21一

19、平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅A=10cm波的圆频率3=7nrads-1，当t=时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向Y轴负方向运动，而x=20cm处的B质点正通过丫=点向Y轴正方向运动。设该波的波长入10cm,求该平面波的表达式。解：由题意和旋转矢量法可知在t1.0s时，A质点的相位为A,B质点相位为23，A、B两质点为相差为6所以该波的波长:，即24cm,173所以该平面波的的表达式为:0.1cos(7tx0721733-22一简谐波沿x正向传播,波长4m，周期T4s，已知x0处质点的振动曲线如图所示。(1)(2)(3)yAcos(t写出x0处质点的振动方程;写出波的表达式;画出t

20、解：（1）设x0），其中A1m,由振动曲线图可知，当t0时，y00时，x0处质点向下振动，即所以(2)1s时刻的波形曲线。0处的质点的振动方程为:0.5，因此sin00，所以x0处的质点的振动方程为：y0cos(21-)。波的表达式为:yAcos2(半-)cos(t2x)3-5(3)t1s时刻的波形方程为：yCOS(X262x设该平面波的的表达式为：yAcos（t）,因为t1.0s时，A质点的相位为A，所以02波形曲线如图所示.3-23比较简谐振动能量与简谐波波动能量特征，若简谐波传播时某体积元的的动能为，则势能多少总能量多少答：简谐振动的能量守恒，即振动的动能与势能的代数和不变；而简谐波传播

21、时某体积元的动能与势能总是相等，固当某质元的动能为0.2J时，其势能也为0.2J，其总能为动能与势能的代数和，即0.4J。3-24一平面简谐声波在空气中传播，波速u340m/s，频率为500Hz。到达人耳时，振幅A104cm，试求人耳接收到声波的声强的大小此时声强相当于多少分贝已知空气密度i.29kg/m3。解：质点的圆频率为：233.i42i0(rad/s)，声波的平均能量密度为：1w22A26.37i06(J/m3)，平均能流密度为：1wj2.i632i0(W/m)，标准声强为：1。ii0i22(W/m)此声强的分贝数为：Li0lg丄93.4(dB)。I013-25Si与S2为两相干波源，

22、光强均为10,相距一波长，Si比S2的位相超前一。问Si、S24 2连线上在Si外侧各点的合成波的光强如何又在S2外侧各点的光强如何解:SSa合成波的光强正比于振幅的平方，即|A2如图所示，设S在其左侧产生的波的波动方程为:txyiAcos2(T-)，那么S2在Si左侧产生的波的波动方程为:tx/4Y2Acos2(T)tx-Acos2(T-)由于两波源在任意点x产生振动反相，所以合振幅为零，所以合成波的光强为0。S在S2右侧产生的波的波动方程为:yiAcos2(-)，那么$在其右侧产生的波的波动方程为:tx/4yAcos2(T)tX21AC0S2G一)由于两波源在任意点x产生振动同相，所以合振

23、幅为单一振动的两倍，所以合成波的光强为41。3-26简述驻波的形成条件和特点(提示：突出驻的含义)；查找资料，探索驻波在本专业的应用有哪些答：在同一介质中两列振幅相同的相干波，沿同一直线相向传播时，产生特殊的干涉现象，叠加形成的波叫驻波。驻波没有波形和能量的传播，其实质为各质元做振幅不等的简谐振动，振幅最大的质元位置为波腹，振幅最小的质元位置为波节，波腹只有动能，波节只有势能，能量只在相邻波节与波腹间相互转化。3-27一条琴弦上产生驻波，相邻节点间的距离为65cm弦的振动频率为2.3102Hz，求波的传播速度和波长。解：相邻波节之间的距离为/2，所以波长265130(cm)，波速：u299(m/s)3-28两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为y5.0cos(0.04x16t)，y25.0cos(0.04x16t)44用厘米、克、秒(cmg、s)制单位，求：(1)各波的频率、波长、波速；(2)节点的位置；(3) 在哪些位置上，振幅最大一2x解：(1)对比波函数的标准形式：yAcos(t0)可知，波的频率：2.0(Hz);波长：200(cm)；波速：u400(cm/s)。2(2) 驻波方程为：yy_!y210cos0.01XCOS4t波节位置为：cos0.01x0,则x50(2k1)(cm),其中k0,1,