大学数学实证教学

1、大学数学实证教学吉林大学数学学院李辉来2010.11 福州之间的比较关系。出这六种极限情形是直接给出，也没有给上都的情形”几乎每个教材可是“够给出几何意义。五种极限情形，并且能们通常给出在考虑函数极限时，我的情形为什么要考虑xxxxxxxxxx,000 x 的运动形态及关系：固定点00000|0 xxxxxx0000000&xxxxxxxxxxxxxx0 x0 xx0 xx无穷远点x 000 xxxxxxxx xxx这个运动表明：当当x x沿直线趋于正无穷沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当当x x沿直线趋于正无穷沿直

2、线趋于正无穷大时，圆周上对应的点大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点按顺时针方向趋于顶点演示表明：演示表明：在直线上无论在直线上无论x x是趋于是趋于 ，还是趋于，还是趋于 ，反映在圆，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点都趋于一个共同的点顶点顶点！x 的运动形态及关系：无穷点| xxxxxxxx |记为AxfAxfAxfxxx)(lim )(lim)(lim且因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右：x| xxx演示表明：由于在圆周上看，顶点和A点本质上是一样的，因此x0处的运动和无穷远处的运动也是一样。因此0

3、 xA00(,)xxxMxM 000000(0)(0)(0 |)|xxxxxxxxMxxxxxMxxxMxxx 记为000&xxxxxxxxx 000lim( ) lim( )li&m( )lim( ) lim( )lim( )&xxxxxxxxxf xf xf xf xf xf x 其中函数极限的种类：( )Af x000 xxxx 例：汽车里程表原理汽车的速度计度量汽车轮子转动有多快，并把它转化为汽车向前或向后行走的速度，其工作原理用到了定积分的实际意义，通过数字计算实现了里程表的数字化显示。通过求速度曲线（发动机齿轮和离合器齿轮相合是离合器齿轮的速度）从初始时刻到当前时刻的定积分而获得行

4、驶的公里数，通过机械装置显示在仪表盘上。例1 三角矩阵、正交矩阵的应用三角矩阵、正交矩阵的应用 （动画制作，几何变换） 图形阴影的制作1001 ,8 . 0001 ,101 . 01 ,10010595916164545101008 . 0, 11 . 0 xFSHAA的的缩缩放放方方向向比比例例为为轴轴实实现现图图形形在在.808 .0,1yAS果果方方向向拉拉伸伸产产生生的的阴阴影影效效轴轴实实现现图图形形在在 xASH8 . 0,11 . 0轴轴的的对对称称投投影影关关于于实实现现图图形形xASHFx8 . 0, 11 . 01001 ,8 . 0001 ,101 . 01 CBA湖南省

5、大学生数学竞赛考题如图所示，图2-图4是由图1经过下列矩阵变换逐步得到的。1.请在下列括号内填上对应的变换矩阵。图2 ( ), 图3( ), 图4( )2。如果图1的图形面积为S,给出图4的面积。SddAddBdDDDDD8 . 08 . 0| |311223的面积图1D2D3D实际上，图实际上，图4的面积的面积=图图3的面积。的面积。根据二元积分变换公式，根据二元积分变换公式， 例2（生物繁衍）兔子与狐狸种群模型nnnnnnfrffrr85. 01 . 015. 01 . 111nnnnnnARfrfrR85. 01 . 015. 01 . 1111矩阵A的特征值和特征向量是95. 0, 1

6、11,32ba年数量表示狐狸第年数量表示兔子第nfnrnn,，相应的特征根分别为，那么假设8100R44)95.0(46)95.0(424201nnnnnnbabAaARAR 这表明：兔子与狐狸由一个稳态种群（6，4）和一个缓慢衰减种群(0.95)n(4,4)组成。更一般地，我们可以得到 从而表明，特征根=1对应于稳定种群，特征根1,对应于无限发展种群,特征根1对应于消失种群.bbfrfrfrNnn)95. 0()(2)( 30000例3：GPS的工作原理与矛盾方程组123112321233ax a y azdbx b y bzdcx c y czd2323222122232221212322

7、21RzcycxcRzbybxbRzayaxa)（123a a a（ , , ）123b b b（ , , ）123c c c（ , , ）, ,x y z（）1R2R3R现代GPS系统空间部分由21颗工作卫星和3颗备用卫星组成。通常待测点可以同时收到多于3颗卫星的信号，因此关于待测点位置的方程个数多于3个，得到的是矛盾方程组，实际上，由于卫星和待测物体之间存在运动状态，距离较大，它们之间信号的传播速度为光速，因此必须考虑时间的误差，以保证动态测量的准确性。一般都使用石英钟来保证时间测量的精确性。因此，除了以上提高的矛盾方程组，还要加上一个与时间有关的表达式。 关于矛盾方程组，一般采用最小平方

8、偏差解。最早的吉林大学数学学院谢邦杰教授编写的线性代数提到的“高矩阵”就是矛盾方程组的系数矩阵。 矛盾方程组出现在众多的实验或观测中。例3：灵敏度分析逆矩阵的列向量).1|(|0lim . 1aann例哲理性题目：不及格优秀么样的人生启示从这个等式你能得到什，已知%049.59%90?%049.59%90%90%90%90%90的做人做事的道理？从上式你能够得到怎样事实上发散级数级数例.12111 .1 21nnnn三个臭皮匠赛过诸葛亮众人拾柴火焰高小洞不补，大洞三尺五冰冻三尺非一日之寒例3 线性方程组是否可能？的方案，使得”现在欲设计一个“公平排有顺序按照总分科成绩分别为人假设,.)3 , 2 , 1().4 , 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1(432131231432411AAAAAAAiaaaaaAjiaiiijiijiij”永远不成立的时候？是否存在“解？上述方程组是否有非负于是问题转化为而使得个同学的加权总成绩为此时，这赋予不同的权重成绩们的目标，我们对各科为了“公平地”实现我31213121334433332231122442332222111144133122111,. 2. 1., 3.BBBBBBBBBapapapapBapapapapBapapa