轴向拉伸和压缩杆的强度计算

1、学习情境学习情境3 3 甘肃省庆阳市及西峰区体委联合组织西峰区各乡镇及市区机关单位共11支500人代表队在庆阳市西峰区世纪大道一级公路路面上举行万人拔河比赛，所用钢丝绳长约550米，直径约3厘米，在比赛到第二回合， 正当双方用力拼比时，钢丝绳突然被拉断，拉断的钢丝绳绳头将分界线两旁的人打伤，另将其余人摔倒在公路上致使多人被擦破手腿皮肤和踩伤。 问题与思考问题与思考 引发事件的主要原因是什么？引发事件的主要原因是什么？ A. 钢丝绳的钢丝绳的强度强度不够不够 B. 钢丝绳的钢丝绳的质量质量有问题有问题 C. 这两个乡镇的参赛选手这两个乡镇的参赛选手力气力气格外大格外大 D. 钢丝绳在使用中已经造

2、成钢丝绳在使用中已经造成损伤损伤请同学们学习完本学习情境后再去分析。请同学们学习完本学习情境后再去分析。3.1.1 轴向拉伸和压缩杆的内力计算轴向拉伸和压缩杆的内力计算 轴向轴向拉伸拉伸和和压缩压缩的概念的概念 3.1.1 轴向拉伸和压缩杆的内力计算轴向拉伸和压缩杆的内力计算 轴向轴向拉伸拉伸和和压缩压缩的概念的概念 3.1.1 轴向拉伸和压缩杆的内力计算轴向拉伸和压缩杆的内力计算 轴向轴向拉伸拉伸和和压缩压缩的概念的概念 3.1.1 轴向拉伸和压缩杆的内力计算轴向拉伸和压缩杆的内力计算 轴向轴向拉伸拉伸和和压缩压缩的概念的概念 内力内力的概念的概念 杆件在杆件在外力外力作用下产生作用下产生变

3、形变形，从而杆件内部，从而杆件内部各部分之间就产生相互作用力，这种由外力引起各部分之间就产生相互作用力，这种由外力引起的杆件内部之间的相互作用力称为内力。的杆件内部之间的相互作用力称为内力。 内力随外力的增大、变形的增大而增大，当内力随外力的增大、变形的增大而增大，当内力达到某一限度时，就会引起构件的破坏。因内力达到某一限度时，就会引起构件的破坏。因此，要进行构件的此，要进行构件的强度强度计算就必须先分析构件的计算就必须先分析构件的内力。内力。 计算杆件内力的基本方法计算杆件内力的基本方法截面法截面法 步骤：步骤： 截开截开：用一假想平面将杆件在所求内力截面处用一假想平面将杆件在所求内力截面处

4、截开截开, ,分为两部分。分为两部分。 代替代替：取出其中任一部分为研究对象，以内力取出其中任一部分为研究对象，以内力代替弃掉部分对所取部分的作用，画出受力图。代替弃掉部分对所取部分的作用，画出受力图。 平衡平衡：列出研究对象上的静力平衡方程，求解列出研究对象上的静力平衡方程，求解内力。内力。 轴向拉伸和压缩杆的内力轴向拉伸和压缩杆的内力轴力轴力 mmmm 轴力的单位为牛顿轴力的单位为牛顿( (N) )或千牛顿或千牛顿( (kN) )。 轴力图轴力图 当杆件受到多个轴向外力作用时，在杆的不同横截当杆件受到多个轴向外力作用时，在杆的不同横截面上的轴力将各不相同。为了表明横截面上的轴力随横面上的轴

5、力将各不相同。为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可用平行于杆轴线的坐标表示截面位置而变化的情况，可用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线，轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线，称为称为轴力图轴力图。轴力图是表示轴力与截面位置关系的图形。轴力图是表示轴力与截面位置关系的图形。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值画在下侧。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值画在下侧。轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变

6、轴力大小。【例例3-1】求图示杆的轴力并作轴力图。求图示杆的轴力并作轴力图。 解解: 求支座反力求支座反力 R0:X12340RFFFF2060402525kNR 拉1122求各段杆的轴力求各段杆的轴力 AB段段: : 0:X10NR125kNN 拉BC段段: : 0:X210NRF2202545kNN 拉1225kN, 45kNNN拉拉【例例3-1】求图示杆的轴力并作轴力图。求图示杆的轴力并作轴力图。 解解: 求支座反力求支座反力 R0:X12340RFFFF2060402525kNR 拉3344求各段杆的轴力求各段杆的轴力 CD段段: : 0:X3210NFFR325206015kNN 压

7、DE段段: : 0:X440NF425kNN 拉1225kN, 45kNNN拉拉【例例3-1】求图示杆的轴力并作轴力图。求图示杆的轴力并作轴力图。 R325206015kNN 压425kNN 拉1225kN, 45kNNN拉拉画轴力图画轴力图 3.1.2 轴向拉伸和压缩杆截面上的应力计算轴向拉伸和压缩杆截面上的应力计算 应力应力的概念的概念 内力在一点处的集度称为应力内力在一点处的集度称为应力( (内力在截面上分布的密内力在截面上分布的密集程度集程度) )。FpA剪应力正应力应力的单位是帕斯卡应力的单位是帕斯卡, 简称帕简称帕, 符号为符号为Pa。21Pa1N m3691kPa10 Pa, 1

8、MPa10 Pa, 1GPa10 Pa6266221MPa10 N m10 N 10 mm1N mm工程图纸常用工程图纸常用mm, 此时此时: 横截面横截面上的应力计算上的应力计算 NANA轴力杆件的横截面面积正应力符号规定：正应力符号规定：拉应力为正拉应力为正，压应力为负压应力为负。 【例例3-2】求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。 解解: 计算各段的轴力计算各段的轴力 AB段段 111N0:X180403020N 50kN拉【例例3-2】求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。 解解: 计算各段的轴力计算各段的轴力 AB段段 0

9、:X180403020N 50kN拉BC段段 222N0:X2403020N 30kN 压【例例3-2】求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。 解解: 计算各段的轴力计算各段的轴力 AB段段 0:X180403020N 50kN拉BC段段 0:X2403020N 30kN 压CD段段 0:X33020N 10kN拉333N【例例3-2】求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。 解解: 计算各段的轴力计算各段的轴力 AB段段 0:X180403020N 50kN拉BC段段 0:X2403020N 30kN 压CD段段 0:X33020N

10、10kN拉DE段段 0:X420kNN 压444N【例例3-2】求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。 解解: 计算各段的轴力计算各段的轴力 AB段段 0:X180403020N 50kN拉BC段段 0:X2403020N 30kN 压CD段段 0:X33020N 10kN拉DE段段 0:X420kNN 压轴力图轴力图 【例例3-2】求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。求图示阶梯形直杆各横截面上的应力。 解解: 计算各段的轴力计算各段的轴力 轴力图轴力图 计算各段的正应力计算各段的正应力 AB段段: 3250 10 N400mmAB125MPa拉BC段段: 3230

11、 10 N300mmBC100MPa 压CD段段: 3210 10 N300mmCD33.3MPa拉DE段段: 3220 10 N200mmDE100MPa 压3.1.3 轴向拉轴向拉( (压压) )杆的变形杆的变形 符号规定：符号规定：伸长变形为正伸长变形为正，缩短变形为负缩短变形为负。 llNFAA 轴向变形与轴向变形与胡克定律胡克定律 材料的弹性模量材料的弹性模量, 单位常用单位常用GPa 试验表明试验表明, 在弹性极限内在弹性极限内, 正应力和变形成线性正比关系：正应力和变形成线性正比关系： E胡克定律胡克定律: NlNllllEA EEA NllEA 另一种表达式另一种表达式: 3.

12、1.3 轴向拉轴向拉( (压压) )杆的变形杆的变形 横向变形和横向变形和泊松比泊松比 横向线段应变横向线段应变: 1aaaaa 试验表明试验表明. 当应力不超过一定限度时当应力不超过一定限度时, 横向应变与纵向横向应变与纵向应变之比的绝对值是一个常数应变之比的绝对值是一个常数, 即即 【例例3-3】试求图示阶梯形钢杆试求图示阶梯形钢杆: 各段杆横截面上的内各段杆横截面上的内力和应力；力和应力；杆件内最大正应力；杆件内最大正应力；杆件的总变形。杆件的总变形。1=30kNF2=10kNF2AC=500mmA2CD=200mmA解解: : 各段杆横截面上的内力和应力各段杆横截面上的内力和应力 11

13、CDN0:XCD10kNN拉CD段段: BCCD10kNNN拉BC段段: 22ABN0:XAB103020kNN 压AB段段: 【例例3-3】试求图示阶梯形钢杆试求图示阶梯形钢杆: 各段杆横截面上的内各段杆横截面上的内力和应力；力和应力；杆件内最大正应力；杆件内最大正应力；杆件的总变形。杆件的总变形。1=30kNF2=10kNF2AC=500mmA2CD=200mmA解解: : 各段杆横截面上的内力和应力各段杆横截面上的内力和应力 0:XCD10kNN拉CD段段: BCCD10kNNN拉BC段段: 0:XAB103020kNN 压AB段段: AB段段: ABABABNA3220 10 N40M

14、Pa500mm 压杆件内最大正应力杆件内最大正应力 【例例3-3】试求图示阶梯形钢杆试求图示阶梯形钢杆: 各段杆横截面上的内各段杆横截面上的内力和应力；力和应力；杆件内最大正应力；杆件内最大正应力；杆件的总变形。杆件的总变形。1=30kNF2=10kNF2AC=500mmA2CD=200mmAAB段段: ABABABNA3220 10 N40MPa500mm 压杆件内最大正应力杆件内最大正应力 BC段段: BCBCBCNA3210 10 N20MPa500mm拉CD段段: CDCDCDNA3210 10 N50MPa200mm拉最大正应力最大正应力 【例例3-3】试求图示阶梯形钢杆试求图示阶梯

15、形钢杆: 各段杆横截面上的内各段杆横截面上的内力和应力；力和应力；杆件内最大正应力；杆件内最大正应力；杆件的总变形。杆件的总变形。1=30kNF2=10kNF2AC=500mmA2CD=200mmA杆件的总变形杆件的总变形 已知弹性模量已知弹性模量E=200GPa ABBCCDllll BC BCCD CDAB ABABBCCDNlNlNlEAEAEA3320 10100200 105003310 10100200 105003310 10100200 102000.015mm992321GPa10 Pa10 N m10 N mm3.2.1 轴向拉伸和压缩杆的强度条件轴向拉伸和压缩杆的强度条件

16、 安全因数安全因数与与许用应力许用应力 塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效失效，因此把，因此把屈服屈服极限极限作为塑性材料的作为塑性材料的极限应力极限应力。 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标志，因而把效的唯一标志，因而把强度极限强度极限作为脆性材料的作为脆性材料的极限应力极限应力。 根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为极限极限应力应力(0 )。 把极

17、限应力除以一个大于把极限应力除以一个大于1的因数，得到的应力值称为的因数，得到的应力值称为许用应力许用应力( )。 0n安全因数安全因数 3.2.1 轴向拉伸和压缩杆的强度条件轴向拉伸和压缩杆的强度条件 安全因数安全因数与与许用应力许用应力 0n安全因数安全因数 许用许用拉拉应力用应力用t表示，许用表示，许用压压应力用应力用c表示。表示。 工程中安全因数工程中安全因数n的取值范围，由国家标准规定，的取值范围，由国家标准规定，一般不能任意改变。一般不能任意改变。3.2.1 轴向拉伸和压缩杆的强度条件轴向拉伸和压缩杆的强度条件 轴向拉伸和压缩杆的轴向拉伸和压缩杆的强度条件强度条件 为了保障构件安全

18、工作，构件内最大工作应力必须小为了保障构件安全工作，构件内最大工作应力必须小于许用应力。于许用应力。 0n安全因数安全因数 maxmaxNA对于等截面杆：对于等截面杆： maxmaxNA3.2.2 轴向拉伸和压缩杆的强度计算轴向拉伸和压缩杆的强度计算 maxmaxNA利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：利用强度条件，可以解决以下三类强度问题： 强度校核。强度校核。 设计截面。设计截面。 计算许用荷载。计算许用荷载。 maxmaxNA 【例例3-4】图示起重吊钩的上端用螺母固定，吊钩螺栓图示起重吊钩的上端用螺母固定，吊钩螺栓直径直径d=55mm, 起重量起重量F=170kN, 材料许用应力材

19、料许用应力=160MPa。试校核螺栓部分的强度。试校核螺栓部分的强度。解解：计算螺栓内径处的面积计算螺栓内径处的面积 2322255 10mm2375mm44dA maxmaxNA3170 10 N71.6MPa2375NFAA 160MPa吊钩螺栓部分安全！吊钩螺栓部分安全！ 【例例3-5】图示托架图示托架, AC是圆钢杆是圆钢杆,许用拉应力许用拉应力 l=160MPa, BC是方木杆是方木杆, F=60kN, 试选钢杆直径试选钢杆直径d。 maxmaxNA解解： 轴力分析轴力分析, ,取节点取节点C为研究对象为研究对象 ACNBCNBC0, sin0YNF222222sin231333co

20、s2313BC13 108kNsin2FNFACBC0, cos0XNNACBC cos90kNNN 设计截面设计截面: : AClNA24dA=2AC4lNd解解： 轴力分析轴力分析, ,取节点取节点C为研究对象为研究对象 ACNBCN222222sin231333cos2313AC4lNd ACBC cos90kNNN maxmaxNA 设计截面设计截面: : AClNA24dA=2AC4lNd34 90 1016026.8mm【例例3-5】图示托架图示托架, AC是圆钢杆是圆钢杆,许用拉应力许用拉应力 l=160MPa, BC是方木杆是方木杆, F=60kN, 试选钢杆直径试选钢杆直径d。选选d=27mm。 【例例3-6】图示支架，图示支架，杆杆是直径是直径d=16mm的圆钢杆的圆钢杆, 许用拉许用拉应力应力 1=160MPa，杆为边长杆为边长a=12cm的方木杆，许用应力的方木杆，许用应力2=10MPa。求许用荷载。求许用荷载P。 maxmaxNA解解：计