2017高考压轴题总汇真题含解析

1、2017高考压轴题总汇一.解答题(共40小题)1 .已知函数 f (x) =ae2x+ (a - 2) ex - x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.2 .已知函数 f (x) =ex (ex - a)- a2x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)三0,求a的取值范围.3 .已知函数 f (x) =excosx - x.(1)求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(2)求函数f (x)在区间0, 2L上的最大值和最小值.24 .已知函数 f (x) = (x - .12k1) e-x (xi).L-i(1)求f (x)

2、的导函数；(2)求f (x)在区间L, +8)上的取值范围.25 .已知函数 f (x) =lnx+ax2+ (2a+1) x.(1)讨论f (x)的单调性;(2)当 a0 时，证明 f (x)W-2-2. 4a6 .已知函数 f (x) =x - 1 - alnx.(1)若f (x)三0,求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n, (1+1) (1+J-) -(1+)m,求 222 2nm的最小值.7 .设aZ,已知定义在R上的函数f (x) =2x4+3x3 - 3x2 - 6x+a在区间(1, 2) 内有一个零点x0, g (x)为f (x)的导函数.(I)求g (x)的单调区间；

3、(II)设m1, x0)U(x0, 2,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证：h (m) h (x0)0, bR)有极值，且导函数f, (x)的极值点是f (x)的零点.(I)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(II)证明：b23a；(III)若f (x), f (x)这两个函数的所有极值之和不小于-工，求实数a的取 2值范围.13 .已知函数 f (x) =ax2 - ax - xlnx,且 f (x)三0.(1)求a；(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f (x0)0是f 6)有三个不同零点的必要而不充分条件.16 .设函数 f (x) =lnx-x+1

4、.(1)讨论f (x)的单调性；(2)证明当 x(1, +8)时，iWlL1,证明当 x(0, 1)时，1+ (c - 1) xcx.17 .已知函数 f (x) =ax+bx (a0, b0, a=1, b=1).(1)设 a=2, b=9求方程f (x) =2的根；若对于任意xR,不等式f (2x) Nmf (x)-6恒成立，求实数m的最大值;(2)若0a1,函数g(x)=f(x) -2有且只有1个零点，求ab的值.18 .已知函数 f (x) = (x+1) lnx - a (x - 1).(I)当a=4时，求曲线y=f (x)在(1, f (1)处的切线方程;(II)若当x(1, +8

5、)时，f (x)0,求a的取值范围.19 .设函数 f (x) =ax2 - a - lnx,其中 aR.(I)讨论f (x)的单调性；(II)确定a的所有可能取值，使得f (x)-e1-x在区间(1, +8)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).20 .设 f (x) =xln x - ax2+ (2a - 1) x, aR.(1)令g (x) =f (x),求g (x)的单调区间；(2)已知f (x)在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围.21 .设函数 f (x) =x3 - ax - b, xR,其中 a, bR.(1)求f (x)的单调区间；(2)若f (x)存在极值点 x

6、0,且f (x1) =f (x0),其中 x1Wx0,求证：xJZx：。；(3)设a0,函数g (x) =|f (x) |,求证：g (x)在区间-1, 1上的最大值不小于5.22 .设函数 f (x) =acos2x+ (a - 1) (cosx+1),其中 a0,记 |f (x) | 的最大值 为A.(I)求 f (x)；(II)求 A；(III)证明：|f (x) | W2A.23 .已知函数f (x) = (x - 2) ex+a (x - 1) 2有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x/x2是f (x)的两个零点，证明：x1+x2f, (x) +工对于任意的x1, 2成立.2

7、25 .已知函数 f (x) = (x - 2) ex+a (x - 1) 2.(I)讨论f (x)的单调性；(II)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.26 .设函数 f (x) =ax2 - a - ln x, g (x)=-q_,其中 aR, e=2.718为自然对数的底数.(1)讨论f (x)的单调性；(2)证明：当 x1 时，g (x)0；(3)确定a的所有可能取值，使得f (x)g (x)在区间(1, +8)内恒成立.27 .设函数 f (x) = (x - 1) 3 - ax - b, xR,其中 a, bR.(1)求f (x)的单调区间；(2)若f (x)存在极值点 x0,

8、且f (x1) =f (x0),其中 x1Wx0,求证：xJ2x0=3；(3)设a0,函数g (x) =|f (x) |,求证：g (x)在区间0, 2上的最大值不小于上28 . (I)讨论函数f (x) =ex的单调性，并证明当x0时，(x-2) ex+x+2 工+20;(II)证明：当a0, 1)时，函数g (x)=/W产(x0)有最小值.设g (x)的最小值为h (a),求函数h (a)的值域.29 .已知函数f (x) =ax2+I,其中a为常数(1)根据a的不同取值，判断函数f (x)的奇偶性，并说明理由；(2)若a(1, 3),判断函数f (x)在1, 2上的单调性，并说明理由.2

9、)处的切线与x轴交点的横坐标.30 .设 nN*, xn 是曲线 y=x2n+2+1 在点（1, (I)求数列xn的通项公式；(II)记 Tn=x1%2xn-12,证明：二三今.31 .设函数 f (x) =emx+x2 - mx.(1)证明：f (x)在(-8, 0)单调递减，在(0, +8)单调递增；(2)若对于任意x/x2e - 1, 1,都有|f (xj- f (x2) | We - 1,求m的取 值范围.32 .设函数 f (x) =lnx+a (1-x).(I)讨论：f (x)的单调性；(II)当f (x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.33 .已知函数f (x)

10、 =lnx- 户.(I)求函数f (x)的单调增区间；(II)证明；当 x1 时，f (x)1,当x(1, x0)时，恒有 f (x)k (x - 1).34 .已知函数f (x) =ax3+x2 (aR)在x=处取得极值. 3(I)确定a的值；(II)若g (x) =f (x) ex，讨论g (x)的单调性.I35.已知函数f (x) =ln上巨， 1-K(I)求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(II)求证，当 x(0, 1)时，f (x) 2(肝)；(III)设实数k使得f (x) 以叶胃)对x(0, 1)恒成立，求k的最大值.236 .设函数f (x) = (x+a

11、) lnx, g (x) = .已知曲线y=f (x)在点(1, f (1) Ke处的切线与直线2x-y=0平行.(I)求a的值；(II)是否存在自然数k,使得方程f (x)=g(x)在(k, k+1)内存在唯一的根?如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(III)设函数 m (x) =min f (x), g (x) (min p, q表示 p, q 中的较小值)，求m (x)的最大值.37 .设函数 f (x) =e2x- alnx.(I)讨论f (x)的导函数f(x)零点的个数;(II)证明：当 a0 时，f (x)三2a+alnZ.38 .设函数 f (x) =- - klnx,

12、k0.(1)求f (x)的单调区间和极值；(2)证明：若f (x)存在零点，则f (x)在区间(1, 三上仅有一个零点.39 .已知函数 f (x)=一空一(a0, r0) (x+r) 2(1)求f (x)的定义域，并讨论f (x)的单调性;(2)若旦=400,求f (x)在(0, +8)内的极值. r40 .已知函数 f (x) = - 2 (x+a) lnx+x2 - 2ax - 2a2+a,其中 a0.(I)设g (x)是f (x)的导函数，讨论g (x)的单调性；(II)证明：存在a(0, 1),使得f (x)三0在区间(1, +8)内恒成立，且 f (x) =0在区间(1, +8)内

13、有唯一解.解析一.解答题(共40小题)1 .已知函数 f (x) =ae2x+ (a - 2) ex - x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.【解答】解：(1)由 f (x) =ae2x+ (a - 2) ex - x,求导 f7 (x) =2ae2x+ (a - 2) ex-1,当 a=0 时，f, (x) = - 2ex - 10 时，f (x) = (2ex+1) (aex - 1) =2a (ex+) (ex -), 2 a令 f (x) =0,解得：x=ln,当 f (x)0,解得：xln,当 f (x)0,解得：xln,，x(-8, in

14、_L)时，f (x)单调递减，x(ln , +8)单调递增； aa当 a0 时，f (x) =2a (ex+) (ex - L)0时，f (x)在(-8, lnl)是减函数，在(lnL, +8)是增函数； aa(2)若aW0时，由(1)可知：f (x)最多有一个零点，当 a0 时，f (x) =ae2x+ (a - 2) ex - x,当 x玲-8时，e2x0, ex0, 当X玲-8时，f (x)玲+8,当x玲8, e2x+8,且远远大于ex和x, 当x玲8, f (x)玲+8, 函数有两个零点，f (x)的最小值小于0即可，由f (x)在(-8, ln工)是减函数，在(ln , +8)是增函

15、数， aa.,.f (x) . =f Clnl) =aX(-L) + (a-2)xL-lnL0, min 巳/a a.1 - - lnJL0, a aa a设 t=工则 g (t) =lnt+t - 1, (t0), a求导 g7 (t) = L+1,由 g (1) =0,At=J-1,解得：0a1,.a的取值范围(0, 1).方法二：(1)由 f (x) =ae2x+ (a - 2) ex - x,求导 f (x) =2ae2x+ (a - 2) ex - 1,当 a=0 时，f (x) = - 2ex - 10 时，f (x) = (2ex+1) (aex - 1) =2a (ex+) (

16、ex -), 2 a令 f (x) =0,解得：x= - lna,当 f (x)0,解得：x- lna,当 f (x)0,解得：x- lna,，x(-8,- lna)时，f (x)单调递减，x(- lna, +8)单调递增；当 a0 时，f (x) =2a (ex+) (ex - L)0时，f (x)在(-8,- lna)是减函数，在(-lna, +8)是增函数；(2)若aW0时，由(1)可知：f (x)最多有一个零点，当a0时，由(1)可知：当x= - lna时，f (x)取得最小值，f (x) m|n=f (-Ilna) =1 - - - ln , a a当a=1,时，f (-lna) =

17、0,故f (x)只有一个零点，当 a(1, +8)时，由 1 - ln10,即 f (- lna)0,a a故f (x)没有零点，当 a(0, 1)时，1 -1-lnL0, f (- lna)- 2e-2+20,故f (x)在(-8,- |na)有一个零点，假设存在正整数 n0,满足 n0ln (W - 1),则 f(n0) = Jo(a Jo+a - 2)- n0 aJ。- n0 泮-n00，由 |n (3-1)- Ina,因此在(-Ina, +8)有一个零点.a的取值范围(0, 1).2 .已知函数 f (x) =ex (ex - a)- a2x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f

18、(x)三0,求a的取值范围.【解答】解：(1) f (x) =ex (ex - a)-a2x=e2x - exa - a2x,.,.f (x) =2e2x - aex - a2= (2ex+a) (ex - a),当a=0时，f (x)0恒成立，.f (x)在R上单调递增，当 a0 时，2ex+a0,令 f (x) =0,解得 x=lna,当xlna时，f (x)lna时，f (x)0,函数f (x)单调递增，当 a0 时，ex-a0,令 f (x) =0,解得 x=ln (-),2当xln (-2)时，f (x)ln (一2)时，f (x)0,函数f (x)单调递增， 2综上所述，当a=0时

19、，f (x)在R上单调递增，当a0时，f (x)在(-8, lna)上单调递减，在(lna, +8)上单调递增，当a0恒成立，当 a0 时，由(1)可得 f (x) min=f (lna) =-a2lna三0,lnaW0,，0aW1,当a0时，由（1）可得:f (x) min=f (In (- -|)=.ln (一旦)W旦， 24-2巳Ta0,5 a21于2综上所述a的取值范围为-2巳4, 13 .已知函数 f (x) =excosx - x.(1)求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(2)求函数f (x)在区间0, 2L上的最大值和最小值.2【解答】解：(1)函数 f (

20、x) =excosx - x 的导数为 f (x) =ex (cosx - sinx)- 1, 可得曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线斜率为k=e0 (cos0 - sin0) -1=0, 切点为(0, e0cos0-0),即为(0, 1),曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y=1；(2)函数 f (x) =excosx - x 的导数为 f, (x) =ex (cosx - sinx)- 1,令 g (x) =ex (cosx - sinx)- 1,贝U g (x) 的导数为 g, (x) =ex (cosx - sinx - sinx - cosx) =

21、- 2ex*sinx,当 x 0, 匹,可得 g, (x) = - 2exsinxW0, 2即有 g (x)在0, 2L递减，可得 g (x)Wg (0) =0, 2则f (x)在0,卷递减，即有函数f (x)在区间0, 2L上的最大值为f (0) =e0cos0-0=1； 2最小值为 f (三)=e -Tcos - = - 2L.22224 .已知函数 f (x) = (x - -) e-x (xi).2(1)求f (x)的导函数；(2)求f (x)在区间L, +8)上的取值范围.2【解答】解：(1)函数f(X)=(X- .后)e-x (xl),导数 f7 (x) = (1 - 1 一2)

22、e-x -(x - .%_ ) e-x2 V2x-1=(1 - x+ 空工)e-x= (1 - x)( 1 -) e-x；2x-l山，-1(2)由 f (x)的导数 f (x) = (1-x) (1-) e-x, V2i-1可得 f (x) =0 时，x=1 或,当Lx1 时，f (x)0, f (x)递减；2当 10, f (x)递增；2当 x生时，f (x)0, f (x)递减， 2且 xN J2lQx2N2x - 1= (x - 1) 2三0,则f (x)三0._J_5_由 f (L) =le2, f (1) =0, f ( ) =le2,2222即有f (x)的最大值为le 一夏，最小

23、值为f (1) =0.2则f (x)在区间, +8)上的取值范围是0, le .225 .已知函数 f (x) =lnx+ax2+ (2a+1) x.(1)讨论f (x)的单调性;(2)当 a0恒成立，此时y=f (x)在(0, +8)上单调递增;当a0,由于x0,所以(2ax+1)(x+1)0恒成立，此时y=f (x)在(0,=妁/+(为)肝1 = (2/+1)(叶1), 心0),+8)上单调递增;当 a0、当 x (- -L, +8)f (x)0, 2a2a所以y=f (x)在(0,-工)上单调递增、在(-L, +8)上单调递减. 2a2a综上可知：当aN0时f (x)在(0, +8)上单

24、调递增，当a0时，f (x)在(0,-工)上单调递增、在(-L, +8)上单调递减； 2a2a(2)证明：由(1)可知：当a0时f (x)在(0,-工)上单调递增、在(- 2a,+8)上单调递减，2a所以当x=-专时函数y=f (x)取最大值f (x) max=f (-2)=-1 - ln2 - -L+ln(-1).从而要证 f (x)W- W - 2,即证 f (- X)0,问题转化为证明：-工+lntW-1+ln2.(*) a2令 g (t)=-2t+lnt,则 g (t) = - -i-+,令 g (t) =0 可知 t=2,则当 0Vt0,当 t2 时 g (t)0,所以y=g (t)

25、在(0, 2)上单调递增、在(2, +8)上单调递减，即 g (t)Wg (2)=-工X2+ln2= - 1+ln2,即(*)式成立， 2所以当a0时，f (x)W- - 2成立.4a6 .已知函数 f (x) =x - 1 - alnx.(1)若f (x)三0,求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n, (1+1) (1+!)(1+工)0,所以 f (x) =1-且=江，且 f (1) =0. 篁 篁所以当aW0时f (x)0恒成立，此时y=f (x)在(0, +8)上单调递增，这 与f (x)三0矛盾；当a0时令f (x) =0,解得x=a,所以y=f (x)在(0, a)上单调递减

26、，在(a, +8)上单调递增，即f (x) m,n=f (a), 若a=1,则f (a)f (1) =0,从而与f (x)三0矛盾;所以a=1； (2)由(1)可知当 a=1 时 f (x) =x - 1 - lnx三0,即 InxWx - 1,所以In (x+1)Wx当且仅当x=0时取等号，所以 ln (1+i)L, kN*.2k 2k一方面，In (1+L) +ln (1+) +.+ln (1+ ) L+-L+.+_L1 - -L1, 2222 22 2n 2n即(1+L) (1+工)(1+X) (1+工)(1+) (1+) =-L2；22222223 M从而当nN3时，(1+工)(1+工

27、)(1+工)(2, e),222 2n因为m为整数，且对于任意正整数n, (1+1) (1+工)(1+L)m成立，222 2rl所以m的最小值为3.7.设aZ,已知定义在R上的函数f (x) =2x4+3x3 - 3x2 - 6x+a在区间(1, 2) 内有一个零点x0, g (x)为f (x)的导函数.(I)求g (x)的单调区间；(II)设m1, x0)U(x0, 2,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证：h (m) h (x0)0,故当 x1, x0)时，H1 (x)0, H1 (x)单调递增.因此，当 x1, x0)U(x0, 2时，H1 (x)H1 (x0) =-f (

28、x0) =0,可得 H1 (m)0 即 h (m)0,令函数 H2 (x) =g (x0) (x-x0)-f (x),则 H/2 (x) =g (x0)-g (x).由(I) 知，g (x)在1, 2上单调递增，故当 xe1, x0)时，H2 (x)0, H2 (x)单 调递增；当xe(x0, 2时，H2 (x)H2 (x0) =0,可得得 H2 (m)0 即 h (x0)0,. 所以，h (m) h (x0)0.(Ill)对于任意的正整数p, q,且RE1,工口)1作口，2, 令 m=2,函数 h (x) =g (x) (m - x0)- f (m).由(II)知，当me 1, x0)时，h

29、 (x)在区间(m, x0)内有零点；当me(x0, 2时，h (x)在区间(x0, m)内有零点.所以h (x)在(1, 2)内至少有一个零点，不妨设为，则h (x1) =g (x1) (2-xQ)-f(-)=0.由(I)知 g (x)在1, 2上单调递增，故 0Vg (1)g (x1)0,故f (x)在1, 2上单调递增，所以f (x)在区间1, 2上除x0外没有其他的零点，而/x0,故f (皆)/0 又因为p, q, a均为整数，所以12P4+3p3q-3P2q2-6pq3+aq4|是正整数，从而 12P4+3p3q - 3p2q2 - 6pq3+aq41 三 1.所以呼fl三 :所以，

30、只要取A=g (2),就有|呼-x0|三.8.设函数 f (x) = (1 - x2) ex.(1)讨论f (x)的单调性；(2)当xN0时，f (x)Wax+1,求a的取值范围.【解答】解：(1)因为 f (x) = (1-x2) ex, xR,所以 f7 (x) = (1 - 2x - x2) ex,令 f7 (x) =0 可知 x= - 1 ； 2,当 x- 1+ .初寸 f, (x)0,当-1 -二月乂- 1+ .E时 f (x) 0,所以 f (x)在(-8, - 1- .-2), (- 1+P2 +8)上单调递减，在(-1-,-1+;)上单调递增;(2)由题可知f (x) = (1

31、-x) (1+x) ex.下面对a的范围进行讨论：当 aN1 时，设函数 h (x) = (1-x) ex，则 h7 (x) = - xex0 (x0),因此h (x)在0, +8)上单调递减，又因为h (0) =1,所以h (x)W1,所以 f (x) = (1+x) h (x)Wx+1Wax+1；当 0a1 时，设函数 g (x) =ex-x-1,则 g7 (x) =ex-10 (x0),所以g (x)在0, +8)上单调递增， 又 g (0) =1 - 0 - 1=0, 所以 exx+1.因为当 0Vx(1-x) (1+x) 2,所以(1 - x) (1+x) 2 - ax - 1=x

32、(1 - a - x - x2), 取 x0二逐一;且一1 (0, 1),则(1-x0) (1+x0) 2 - ax0 - 1=0, 所以 f (x0)ax0+1,矛盾；当 a(1 - x0) (1+x0) 2=1 三ax0+1, 矛盾；综上所述，a的取值范围是1, +8).9.已知函数f (x) =x2+2cosx, g (x) =ex (cosx - sinx+2x - 2),其中 e心2.71828 是自然对数的底数.(I)求曲线y=f (x)在点(n, f (n)处的切线方程；(II)令h (x) =g (x)-a f (x) (aR),讨论h (x)的单调性并判断有无极 值，有极值时

33、求出极值.【解答】解：(I) f (n) =n2 - 2. f7 (x) =2x - 2sinx,，f (n) =2n.,曲线y=f (x)在点(n, f (n)处的切线方程为：y -(n2 - 2) =2n (x - n). 化为：2nx - y - n2 - 2=0.(II) h (x) =g (x)- a f (x) =ex (cosx - sinx+2x - 2)- a (x2+2cosx) h (x) =ex (cosx - sinx+2x - 2) +ex (- sinx - cosx+2)- a (2x - 2sinx) =2 (x - sinx) (ex - a) =2 (x

34、- sinx) (ex - elna).令u (x) =x - sinx,则u, (x) =1 - cosx三0,函数u (x)在R上单调递增.*u (0) =0,x0 时，u (x)0； x0 时，u (x)0,x0 时，h, (x)0,函数 h (x)在(0, +8)单 调递增；x0时，h, (x)0 时，令 h, (x) =2 (x - sinx) (ex - elna) =0.解得 x1=lna, x2=0.0a1 时，x(-8, lna)时，ex - elna0,函数 h (x)单调递增；x(lna, 0)时，ex-elna0, h, (x)0, h, (x)0,函数 h (x)单调

35、递增.当x=0时，函数h (x)取得极小值，h (0) =-2a-1.当 x=lna 时，函数 h (x)取得极大值，h (lna) = - aln2a - 2lna+sin (Ina) +cos (Ina) +2.当a=1时，lna=0, xR时，h, (x)三0,，函数h (x)在R上单调递增. 10, x(-8, 0)时，ex - elna0,函数 h (x) 单调递增；x(0, lna)时，ex - elna0, h, (x)0, h, (x)0,函数 h (x)单调递增.当x=0时，函数h (x)取得极大值，h (0) =-2a-1.当 x=lna 时，函数 h (x)取得极小值，h

36、 (lna) = - aln2a - 2lna+sin (lna) +cos (lna) +2.综上所述：aW0时，函数h (x)在(0, +8)单调递增；x0时，函数h (x) 在(-8, 0)单调递减.x=0时，函数h (x)取得极小值，h (0) =-1-2a.0a1时，函数h (x)在(-8, 0), (lna, +8)上单调递增；函数h (x)在(0, lna)上单调递减.当x=0时，函数h (x)取得极大值，h (0) = - 2a - 1.当x=lna 时，函数 h (x)取得极小值，h (lna) = - a ln2a - 2lna+sin (lna) +cos (lna) +

37、2.10.设a, bR,忆|1.已知函数f (x) =x3 - 6x2 - 3a (a - 4) x+b, g (x) =exf (x).(I)求f (x)的单调区间；(II)已知函数y=g (x)和y=ex的图象在公共点(x0, y0)处有相同的切线，(i)求证：f (x)在x=x0处的导数等于0；(ii)若关于x的不等式g (x)Wex在区间x0-1, x0+1上恒成立，求b的取值 范围.【解答】(I)解：由 f (x) =x3 - 6x2 - 3a (a - 4) x+b,可得 f (x) =3x2 - 12x -3a (a - 4) =3 (x - a) (x -(4 - a),令 f

38、 (x) =0,解得 x=a,或 x=4 - a.由 | a | W1,得 a0,可得 f (x)W1.XVf (x0) =1, f (x0) =0,故x0为f (x)的极大值点，由(I)知x0=a.另一方面，由于|a|W1,故a+10时，当x0恒成立，故g (x)在(-8, 0)上单调递增，当xa时，g (x)0恒成立，故g (x)在(a, +8)上单调递增，当0xa时，g (x)0恒成立，故g (x)在(0, a)上单调递减， .当x=a时，函数有极小值，极小值为g (a) = - La3 - sina 6当x=0时，有极大值，极大值为g (0) =-a,若a0时，g (x)0恒成立，故g

39、 (x)在(-8, 0)上单调递增,当x0恒成立，故g (x)在(-8, a)上单调递增，当ax0时，g (x)0时，g7 (x) 0恒成立，故g (x)在(0, +8)上单调递增，当x0恒成立，故g (x)在(-8, o)上单调递增，g (x)在R上单调递增，无极值.12.已知函数f (x) =x3+ax2+bx+l (a0, bR)有极值，且导函数F (x)的极 值点是f (x)的零点.(I )求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(II)证明：b23a；(III)若f (x), fz (x)这两个函数的所有极值之和不小于-工，求实数a的取2值范围.【解答】(I )解：因为f (x) =x

40、3+ax2+bx+l,所以 g (x) =f (x) =3x2+2ax+b, g (x) =6x+2a,令 g (x) =0,解得 x=-.3由于当x -旦时g (x) 0, g (x) =fz (x)单调递增；当x -三时g (x) 0).9 a因为 f (x) =x3+ax2+bx+l (a0, bR)有极值，所以 f (x) =3x2+2ax+b=0 的实根,2所以4a2-12b20,即a2-2L+过三0,解得aN3,3 a 2所以 b:红十 (a3).9 a(II)证明：由(1)可知 h (a) =b2 - 3a= a - -+-=- (4a3 - 27)(a3 SI 5 晨 81 a2-27),由于 a3,所以 h (a)0,即 b23a； 2 (III)解：由(1)可知f, (x)的极小值为f, (-2)=b-1, 33设xj x2是y=f (x)的两个极值点，则x1+x2= 於，x1x2=旨 所以f区)+f (x2)=町耳的(町耳叼工)+b (x1+x