2012017年高考文科数学试题汇编--导数与零点问题

1、专题6导数与函数的零点等综合问题1.12014全国1,文12已知函数f (x)=以3 -3x2+1,若f (x)存在唯一的零点x0,且x0>0，则的取值范围是()(2,+8)(B) (1,+s)(C)(*2)(D)(一j1)【答案】C【解析】根据题中函数特征，当门 =。时，函数= 31 + 1显然有两个零点且一正一负；当门0时，求导可得：fx) = -6x = 3x(aX-2),利用导数的正负与函数单调性的关系可得：X£(-,()和工注2,m)时函数单调递增；工£ (0,2)时函数单调递减，显然存在负零点；当口 <0时，求导可得： aaf'(x) = 3

2、ax2 6x = 3x(ax 2),利用导数的正负与函数单调性的关系可得：x G (-8,2)和x (0, +8)时函数单调递减；x G (- ,0)时函数单调递增，欲要使得函 aa数有唯一的零点且为正，则满足：<f(a)>°，即得：a义(2)-3(+1 >0，可f (0) > 0解得：a2 > 4，贝U a > 2(舍去),a <-2考点：1.函数的零点；2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用 【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论 思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及

3、极 值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.21(本小题满分14分)已知函数2.12014高考广东卷.文f (x) = -x 3 + x 2 + ax+1 (a R ).3(1)求函数f (x)的单调区间；当a < 0时，试讨论是否存在x0【答案】(1)详见解+析；(2)详见解+析.(1) f'(x)= x2 + 2x + a,方程 x2 + 2x + a = 0 的判别式为 A = 4 4a当a > 1时，A « 0,则f (x)2 0,此时f 6)在r上是增函数;当a < 1时，方程x2 + 2x + a = 0的两根分别为x =-1 一 J

4、1-a , x =-1 + J1-a , 解不等式 x2 + 2x + a > 0,解得 x < 一1 一 <1 - a 或 x > -1 + <1 - a解不等式 x2 + 2x + a < 0，解得-1 - vT-a < x <-1 + < 1 - a此时,函数f(x)的单调递增区间为(8,-1-a二a )和(-1单调递减区间为(1 -、;1二a,-1+vi-a) 综上所述,当a > 1时,函数f G)的单调递增区间为(-*+8)当a < 1时，函数f (x)的单调递增区间为Is,-1 -后。)和(-1 + “-匚£

5、;, +8)单调递减区间为(1- $1一a,-1 +石二a)=1 x 3 + x 2 + ax +1 -+ a2+12(1 )3k 2 Jx2 一0(1)212 J12x 2x0- + 036(lx(4 x2 +14 x0 + 7 +12 a ),(1若存在x G 0,- U 0 k 2 J(1 )2，1，k2 J一 1、必'须4X2+14X + 7 +12a = 0在 0,- II001 2 /1 1,1上有解,2 7a < 0, .= 142-16（7 + 12a）= 4（42-48a）> 0X -1X1a4-14 + 2 J21 48 a -7 +121 - 48 a

6、X > 0，.二 Xf 7 + v 21 - 48 a依题意，0 <7 + 21 48 a< 1,即 7 < <21 -48a < 1149 < 21 - 48a < 121,即25< a < 1212又由-7晨21-48a 1得故欲使满足题意的x0存在，则”一 412, - 4 JUl- 4,时，存在唯一f 1 、一一ul于1满足2 7f（x）= f225 一12 U|51 _ 4|U一 - 仁 1、时，不存在X G 0,- J 0 V 2 71 4 一1,1满足2 7【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区

7、间,从中 渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题，并考查了利用作差法 求解不等式的问题,综合性强,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题.解题 时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误.利用导数求函数f G) 的单调区间的步骤：确定函数f G)的定义域；对f G)求导；令f < x )> 0 解不等式得的范围就是递增区间，令f"(x )< 0，解不等式得的范围就是递减区间.3.12016高考新课标1文数】(本小题满分12分)已知函数f (x ) = (x - 2 )e x + a (x - 1)2 .(I)

8、讨论f(x)的单调性;(II)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【答案】见解+析(II)(0,+s) 试题分析：(I)先求得f'(x)=(x-1)Q + 2a).再根据1,0,2a的大小进行分类确定 f(x)的单调性；(II)借助第一问的结论，通过分类讨论函数单调性，确定零点个数， 从而可得a的取值范围为(0,+s).试题详细分析：(I) f'(x) = (x-1)ex + 2a(x-1)= (x- 1)Q + 2a).(i)设 a > 0，则当 x £(-s,1)时,f (x)< 0 ；当 x g(1, +s)时,f (x)> 0.所以在(-*

9、1)单调递减，在(1,+s)单调递增.设门C 0,由尸(引=口得户1或若门 =3厕尸=*所以/在3包)单调递增.若白>则皿-方)，故当工«一口 (2j)U(L例)时,尸(可)心 当 x G(1n(-2a),1)时,f1(x)< 0 ,所以 f (x)在(-s,ln (-2a),(1, +s)单调递增，在Gn (-2 a ),1)单调递减.若 a < -e ,则U ln(-2a)> 1 ,故当 x g(-s, 1)J( l n- 6 +竽)时，f'(x)> 0 ,当2X G Qln (2a)时，/(x)< 0 ,所以 f G)在(-8,1),

10、 Gn (-2a), +s)单调递增,在 Qln (-2 a )单调递减.(II)(i)设a > 0,则由(I)知,f (x)在(-8,1)单调递减，在(1,+8)单调递增.又 f (1) = -e, f (2) = a ,取 b 满足 b<0 且-< ln a , 22则 f (b)> a(b - 2)+ a (b-1> = ab3 - -b> 0，所以 f (x)有两个零点.2I 2 ；(ii)设 a=0,则 f (x)=(x-2)ex所以 f (x)有一个零点.(iii)设a<0,若a >-e，则由(I)知,f (x)在(1,+8)单调递增

11、.2又当x < 1时,f(x) <0,故f (x)不存在两个零点；若a <-e ,则由(I)知，f (x)在 2Qln (-2a)单调递减,在Gn(-2a), +8)单调递增.又当x < 1时f (x)<0,故f (x)不 存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+8).考点：函数单调性，导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的 确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简; 第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识，越 来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造

12、适当的函数，利用导数研 究函数的单调性或极值破解.4.12015高考广东，文21(本小题满分14分)设为实数，函数f (x)=(x-a )2 + |x - a| - a (a -1).(1)若f(0)< 1,求的取值范围；(2)讨论f (x)的单调性；(3)当a > 2时，讨论f (x)+-在区间(0,+8)内的零点个数. x 一、.，、( 一，、， ，、一、【答案】(1)-8, ； (2) f (x)在(a,+8)上单调递增，在(-8,a)上单调递减;1 2 .(3)当a = 2时，f (Q+ 4有一个零点x = 2 ；当a> 2时，f (Q+4有两个零点. xx【解析】试

13、题分析：(1)先由可得卜|+白£1,再对口的取值范围进行讨论可得卜|+白兰1的解，进而可得已的取值范围？(2)先写函数力的解析式，再对口的取值范围进行讨论确定函数句的单调性_；(3)先由(2)得函数f (x)的最小值，再对的取值范围进行讨论确定f (x)+ 4在区间 x(0,+s)内的零点个数.试题详细分析：(1) f (0) = a2 + |a| - a2 + a = |a| + a ,因为 f (0)< 1,所以,| + a < 1,1 1当a < 0时，0 < 1,显然成立；当a > 0 ,则有2a < 1,所以a < .所以0 <

14、; a < 2 2、一，一，一一11综上所述，的取值范围是-8,1 .I 2x 2 -(2 a - 1b, x > a(2)f(x) = <,x2 - (2a +1)x + 2a, x < a对于u = x2 -(2a-1)x，其对称轴为x = - = a - - < a，开口向上，122所以f (x)在(a,+8)上单调递增；对于u = x2 -(2a + 1b + 2a，其对称轴为x = 2a十=a + > a，开口向上， 122所以f (x)在(-8,a)上单调递减.综上所述，f (x)在(a,+8)上单调递增，在(-8, a)上单调递减.(3 )由(

15、2 )得f (x)在(a,+8)上单调递增，在(0,a)上单调递减，所以f (x )min = f (a) = a - a2.(i)当 a = 2 时，f (x) .= f(2) = -2, f (x )='，x- 2minx 2 - 5x + 4, x < 2令 f (x)+ = 0，即 f (x) = - ( x > 0xx因为f (x)在(0,2)上单调递减，所以f (x) > f (2) = -244而y =-在(0,2)上单调递增，y < f (2) = -2，所以y = f (x)与y =-在(0,2)无 xx交占当时，/(x) = x2 -3x =

16、,即 3 3%2+4 = 0,所以 3 2%2 一 2 + 4 = 0 , X所以Q-2力( + 1) = 0 ,因为x22,所以x = 2,即当。=2时，/(Q+3有一个零点x = 2.(ii)当。>2时，于(x)=/()= 一2,min当 xe(O,)时，/(0) = 2a>4, /()= 4 tn,而> =9在 %£(0,q)上单调递增， x44当x = a时，y =-.下面比较/(a) = a -与的大小aa曰 4,/ 4(“3 12 4) (a 2)(2 + a + 2)因为a “2 ()=_21 =0< 0aaa所以/=_2 < -结合图象不

17、难得当 > 2时，y =于(x)与y = -e有两个交点.综上所述，当 =2时，/G)+S有一个零点工=2；当。2时，/(Q+±有两 XX个零占I y 八、考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函 数的零点，属于难题.零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间, 去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每段结果的并集，注意在分段 时不要遗漏区间的端点值.判断函数的单调性的方法:基本初等函数的单调性;导数法.判断函数零点的个数的方法：解方程法；图象法.5.【2014 湖南文

18、 21】已知函数 f (x) = xcosx - sinx +1(x > 0).(1)求f (x)的单调区间;(2)记x为f (x)的从小到大的第i(i e N*)个零点，证明：对一切n e N *，有 i111 21+ +< -.x 2 x 2x 2 312n【答案】(1)单调递减区间为(2k兀,(2k +1)兀)(k e N*)单调递增区间为(2k +1)兀,(2k + 2)K )(k e N *).(2)详见解+析【解析】 试题分析：对函数句求导得到导函数f(幻a >呼求尸(到大于o和小于o的解集得到单调城区间 和单调增区间，但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域(

19、Qy).利用(1)问的结果可知函数f (x)在区间(0,兀)上是单调递减的，即f (x)在区=0n %后，再根据间(0,兀)上至多一个零点,根据正余弦的函数值可得f f- 2f (x)在区间上(nn,(n +1)兀)单调性和函数f (x)在区间Q兀,(n +1)兀)端点处函数 值异号可得函数f (x)在区间(n兀,(n +1)兀)上有且只有一个零点，即nK < x< (n +1)兀 n 7<-<一 < -,则依次讨论 n = 1,n = 2, n > 3 利用n+1(n +1)2 兀 2x2n2 兀2n+11112放缩法即可证明+ + + < -.x

20、2x 2 x 2312n 试题详细分析:数 f (x)求导可得 f'(x)= cosx - xsinx - cosx = -xsinx(x > 0),令f'(x )= 0 可得x = k兀(k e N*),当 x e(2k兀,(2k +1)兀)(k e N*)时，sinx > 0.止匕时 f'(x)< 0 ;当 xe(2k +1)兀,(2k + 2)(k e N*)时，sinx<0,此时 f'(x)>0故函数f (x)的单调递减区间为(2k兀,(2k +1)兀)(k e N *)单调递增区间为（2% +1）兀,（2左+ 2）兀）（左

21、£ N *）.（2）由（1）可知函数/G）在区间（0,兀）上单调递减,又/1上 v 2=。，所以丫3为/(河)/( + 1)兀)=(1>而 +1(-1>+1 (n + l)7i +1J <0,且函数f G）的图像是连续不断的，所以/ G）在区间 嬴 金+D兀）内至少存在一个零点，又/6）在区间1兀,（+1）兀）上是单调的, 故河 X （n + l）7i,因此，n+l当 =1 时，1 = ±<1；X2 71 231当 =2时，+ < (4 + 1)X21X2 71 22当时,1 1 111FX2X2%21231 1H<X2 71 2 n4

22、+ 1 + 22111n+X2%2%21231+<X2n1(zz-2)(zz-l)111b+X2X2X21231 1+ <X2 71 2n(1、5+ 1-I 2/2 Tlly71262< < ,7123综上所述,对一切的 £ N * ,1 1+十元2 %21212+ < -.X2 3n【考点定位】导数单调性放缩法裂项求和【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是求导 要精确；利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导 数/ （x）； （3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数次x）的定义域内解（或 证

23、明）不等式r a）o或r a）o,若已知八%）的单调性，则转化为不等式/任）三。或/（x）W0在单调区间上恒成立问题求解.利用导数证明不等式，就 是把不等式恒成立的问题,通过构造函数,转化为利用导数求函数最值的问题.应 用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式.失误与防范1 .研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域.2.利用单调性求最值时不要忽视f(x)=0的情况.3.“f(x0) = 0”是“函数f(x)在x0取到极值”的必要条件.学！6.【2014 四川，文 21已知函数 f (x) = ex - ax2 bx 1,其中 a,b e

24、R ,e = 2.71828为自然对数的底数。(I)设g(x)是函数f (x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值； (11)若f (1) = 0，函数f (x)在区间(0,1)内有零点，证明：e-2 < a < 1.【答案】(I )当a < 1时，g ( x后g (住)-1 b当1 < a < e时， 222g ( x 乏 2 a- 2 a l n (2 b当 a > e 时，g (x) > e - 2 a - b. (II)的范围为(0,1).2【解析】试题分析I)易得鼠X) -艮-2口再对分门情况确定的单调区间,根据鼠工) 在21上的单

25、调性即可得且(冷在21上的最小值.(II)设%为/(冷在区间(。由内的一个零点，注意到 /(0) = 0,/。)=0 .联系到画数的图象可知，导四数氟冷在区间(Q/)内存在零点巧，g(X)在区间(飞 内存在零点x 2,即g (x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(I)可知，当a < 2及a > e时，g(x)在(0,1)内都不可能有两个零点.所以1 < a < e .此时，g(x)在 2220,ln 2a上单调递减，在ln2a,1上单调递增，因此3 e (0,ln(2a),x2 e (ln(2a),1), 且必有 g (0) = 1 - b > 0, g (1

26、) = e - 2a - b > 0 .由 f (1) = e - a - b -1 = 0 得：b = e - a -1 代入这两个不等式即可得的取值范围.试题详细分析：(I) g(x) = ex - 2ax -b, g'(x) = ex - 2a当 a < 0 时，g'(x) = ex - 2a > 0，所以 g(x) > g(0) = 1 -b.当 a > 0 时，由 g'(x) = ex - 2a > 0 得 ex > 2a, x > ln(2a).若 a > 1,则 ln(2a) > 0 ；若 a &

27、gt; e，贝I ln(2a) > 1.22所以当0 < a <1时，g(x)在0,1上单调递增，所以g(x) > g(0)=1 -b.2当2 < a < 2时，g(x)在0,ln 2a上单调递减，在ln力，1止单调递增，所以 g (x) > g (ln 2a) = 2a - 2a ln2a 一 b .当 a > -时，g(x)在0,1上单调递减，所以 g(x) > g(1)= e - 2a -b .2(II)设x0为f (x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0) = f (x0) = 0可知， f (x)在区间(0,x0)上不可能

28、单调递增，也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.1由(I)知，当a < -时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一 2个零点.当a > -时，g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点. 2所以 此时，g(x)在0,ln 2a上单调递减，在ln2a,1上单调递增， 因此 x g (0,ln(2 a), x e (ln(2a),1)，必有g(0) = 1 - b > 0, g(

29、1)= e - 2a - b > 0 .由 f(1)= e - a - b -1 = 0 得：a + b = e - 1 < 2，有g (0) = 1 - b = a - e + 2 > 0, g (1) = e - 2a - b = 1 - a > 0 .解得 e - 2 < a < 1.所以，函数f (x)在区间(0,1)内有零点时，e-2< a < 1.【考点定位】导数的应用及函数的零点.考查推理论证能力、运算求解能力、创 新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并 考查思维的严谨性.【名师点睛】本题在利用导数求

30、函数的单调性时要注意，求导后，在区间0,1中 分类讨论解不等式f'(x) > 0，求得函数g (x)在区间0,1的单调区间，继而求得 最小值；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大 致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续.7.12015高考四川，文21已知函数f(x) = 2lnx+x2 2ax+ a2,其中a>0.(I )设g (x)为f(x)的导函数，讨论g (x)的单调性；(II)证明：存在a£(0，1)，使得f(x)三0恒成立，且f(x) = 0在区间(1，+8)内有 唯一解.【解析】(I)由已知，图数用，)的定

31、义域为(6 +8)所以划=2_2=空3 X X当工E(0- 1)时,观克)<5g单调递减当x£(1，+8)时，g'(x)0，g(x)单调递增(II)由 f '(x) = 2(x 1lnxa) = 0，解得 a=x 1lnx令 (x) = 2xlnx+x2 2x(x 1 lnx) + (x 1 lnx)2 = (1 + lnx)2 2xlnx则(1) = 1>0，(e) = 2(2 e)<0于是存在x。£(1，e)，使得(x0) = 0令 a0=x0 1lnx0 = u(x0)，其中 u(x)= x 1lnx(x三 1)由u'(x)

32、= 1 - 0知，函数u(x)在区间(1，+8)上单调递增 x故 0 = u<a0 = u(x0)<u(e) = e2<1即a肝(0，1)当 a = a0 时，有 f '(x0) = 0，f(x0)=(x0) = 0再由(I)知，f '(x)在区间(1，+8)上单调递增当 x£(1，xO)时，f '(.x)<0，从而 f(x)>f(x0) = 0当 x£(x0，+8)时，f '(x)>0，从而 f(x)>f(x0) = 0又当 x£(0，1时，f(x) = (xa0)2 2xlnx>0

33、故 x£(0，+8)时，f(x)三0综上所述，存在a£(0，1)，使得f(x)三0恒成立，且f(x) = 0在区间(1，+8) 内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点 等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、 数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第(I)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数0 消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单第(II)问需要证明的是：对于 某个0£(0, 1), f(x)的最小值恰好是0,而且在(1, +8)上只有一个最小值.因此， 本题仍然

34、要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的0, f(x)在(1,+8)上有 且只有一个等于0的点，也就是在(1,+8)上有且只有一个最小值点.属于难题. 8.【2014全国1 ,文21】设函数f (x)= a ln x + 2 x2 _ bx(a中1),曲线 y = f (x)在点Q f (1)处的切线斜率为0(1)求 b;(2)若存在x > 1,使得f (x )< ，求a的取值范围。 o0 a -1【解析】 f =?x由题设知/。)=0,解得=1.瑜的定义域为由(1)知f'(x) = a + (1-a) x -1 = 1a (x -)(x -1)xx 1 - a1a(

35、1)若 a < ，则< 1 ,故当 x G (1,+8)时，f,(x) > 0 , f (x)在(1, +8)单调21 - a递增，所以，存在x > 1,使得f (x ) < 的充要条件为f (1)< ，即 -1 < 00 a -1a -12a -1所以 r2-1 < a <、.;2 -1(ii)若,< a < 1, 则 a > 1 ,故当 x g (1,)时，f1(x) < 0 21 a1 a当 x G (, +8)时，f (x) > 0 , f (x)在(1,)单调递减，在(,+8)单 1 - a1 - a

36、1 - a调递增.所以，存在匕> 1,使得f(x ) < 的充要条件为f (3) < 旦0。 a 11 a a 1而f (3)=aln旦 + 人 > ，所以不合题意.1 a1 a 2(1 a) a 1 a 1(iii)若a > 1,贝U f(1)=1a 1 = al < 2 2a 1综上，a的取值范围是(-、，2 1,<2 1)U(1,+s)考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用；3.分类讨论的应用【名师点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法,考查了分类讨论的思想方法，本题发现讨论点

37、即a V、1 < a < 1和a > 1是解决本题的关键，本题考查了考生的推理能力和计算22能力，属于难题.9.12015高考新课标1,文21(本小题满分12分)设函数f (x)= e 2 x-a In x.(I)讨论f (x)的导函数;(x)的零点的个数；(II)证明：当 a > 0时 f (x)> 2a + aln2.a【答案】(I)当a £ 0时，f丈x)没有零点；当a >0时，f x)存在唯一零点.(II)见解+析【解析】试题分析：(D先求出导函数，分口工。与口考虑了'(切的单调性及性质，即可判断出零点个数(ID由可设r(x)在(。

38、,+8)的唯一零点为为,根据，(月的正负,即可判定函数的图像与性质,求出国数的最小值即可证明其最小值不小于2口十口1口 即证明了所证不等式-试题详细分析：(I) f (x)的定义域为(0,理)，f*x)=2e2x - a(x >0). x当a £ 0肛f W x )>0, f W x)没有零点；当a >0时，因为e2x单调递增，-a单调递增，所以f舟x)在(。,理)单调递增. x又fWa )>0 ,当b满足0< b < 4且b <4时，f牡)<0,故当a >0时，f丈x)存在唯一零点.(II)由(I),可设f川%)在(0，+

39、65;)的唯一零点为X ,当x i(0, x)时，f川% )<0 ; 00当 X鼠%0,+ )时，f 用X) >0 .故f (X)在(0, x )单调递减，在(x ,+¥ )单调递增，所以当X = x时，f (X)取000得最小值，最小值为f (x ).0aa22由于 2e2x0=0，所以 f (x )= +2ax + aln ? 2a aln.x0 2 x0 aa00一2故当 a >0 时，f (x) ? 2a aln.a考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性 质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师点睛】导数的综合应用是高考考

40、查的重点和热点，解决此类问题，要熟练 掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、 极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性 质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变 分离或分类讨论来处理.10.【2015高考浙江，文20(本题满分15分)设函数f (x) = x2 + ax + b,(a,b e R).(1)当b = :+1时，求函数f (x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f (x)在-1,1上存在零点，0 < b-2a < 1,求的取值范围. a + 2, a <

41、-2,【答案】 g(a)/ 1,-2 < a < 2, ； (2) -3,9-45a2.八.八a + 2, a2 4【解析】Q)将画数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定困数在给定上的最小值，并用 分段函数的形式进行表示Q)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论， 分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围.试题详细分析：(1)当b =?+1时，f (X) = (x +1)2 +1,故其对称轴为X=-1.当 a < -2 时，g (a) = f (1) = + a + 2 .当-2 < a < 2 时，g

42、 (a) = f (-a)= 1.2a 2当 a > 2 时，g (a) = f (-1) = a + 2.a + a + 2, a < -2, 综上，g (a) = j1,-2 < a < 2,a + 2, a > 24(2)设为方程的解,且一贝叫st = b由于0V5 因此士w3三匕至(iw/Mi) f+2f+ 2一2产/一2产当OMfMl时,，工分工上士 t+2t+2由于-2 <3 < 0 和-1 < t-2tl < 9 -4<53 t + 23 t + 22一所以< b < 9-4%-,5 .3当-1 < t

43、 < 0 时,t - 2t 2-2t 2< b <t + 2 t + 2212t t2由于-2 <-2- < 0 和一3 << 0,所以一3 < b < 0. t + 2t + 2综上可知，b的取值范围是-3,9-4右.【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思 想.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单 调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各 种情况下函数的最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的

44、关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数b的 取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力， 考查学生基本的运算能力.11.12015高考湖北，文21】设函数f (x)，g(x)的定义域均为r，且f (x)是奇函 数，g (x)是偶函数，f(x) + g(x) = ex，其中e为自然对数的底数.(I)求 f (x) , g (x)的解+析式，并证明：当 x > 0 时，f (x) > 0 , g (x) > 1 ；(II)设 a < 0， b > 1，证明：当 x >

45、 0 时，ag (x) + (1- a) < fx < bg (x) + (1- b) -x【答案】(I) f (x) (ex -e-x), g(x) (ex + e-x).证明:当 x > 0 时,ex > 1， 0 < e-x < 122故 f (x) > 0.又由基本不等式，有g (x) = i(e x + e-x)>、:ex e-x =1，即g(x)>1. (II)由(I)得卜-)-(ex - e-x) - f(x) e2 x2当 x > 0 时，fx > ag(x) + (1-a)等价于 f (x) > axg(

46、x) + (1-a)x f-(-)- < bg(x) + (1-b)等 xx价于 f (x)<bxg(x) +(1-b)x.于是设函数h(x)-f (x)-cxg(x)-(1-c)x由，有h'(x)- g(x)- cg(x)- cxf ( x- (1- c (1-c)g (x)- 1-cxf (x). x > 0 时，(1)右c < 0，由 ，得h(x )> 0，故h(x)在0,+s)上为增函数，从而h(x) > h(0) = 0，即 f ( x )> cx g -> (-1 ，c) x成立.(2)若 c > 1，由，得 h'

47、; ( j) O ，故 h (x)在0,+s) 上为减函数，从而h(x) < h(0) = 0，即f (x) < cxg(x) + (1- c)x，故成立.综合，得 ag (x) + (1-a) < f (x) < bg (x) + (1-b) - x【解析】（I ）由旦（工）的奇偶性及/W十g=，得：+旦=/一 联立解得/3 =律-r），式©=：+）-当工）0时,ef >1； 0<e-f <1； iVW>0.又由基本不等式,有月=，岁十尸A#、" =1>即耳>1®(II) 由(1)得 f'(x)

48、(e x )f = (e x + )(e x + e-x)= g (x)， 2 e x 2e2 x2.11.1e x1g (x)=(ex +X (ex)=(ex - e-x )= f(x)，2ex2e2x2当 x > 0 时，f (x) > ag(x) + (1- a)等价于 f (x) > axg(x) + (1-a)x， xf (x) < bg(x) + (1-b)等价于 f (x) < bxg(x) + (1-b)x.x设 函 数 h ( = x)-x)- c ，x-g x c， x 有h'(= x)gx)- c (=(-1-g -)cx- x (

49、-cxcf x c当x > 0时，(1)若c < 0，由，得h，(x)> 0，故h (x)在0,+8)上为增函数，从而h(x) > h(0) = 0，即 f x)gx () +cx，故成立.(2)若 c > 1，由，得h'(x <故h(x)在0,+s)上为减函数，从而 h(x) < h(0) = 0，即 f (x) < cxg(x) + (1 -c)x，故成立.综合,得 ag (x) + (1-a) < fx) < bg (x) + (1-b) . x【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应 用，属

50、高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在 一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关 键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属 于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.12.12014福建,文22（本小题满分14分） 已知函数f （x） = ex - ax （ a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y = f （x）在点A处的切线斜率为-1.（1）求a的值及函数f （x）的极值；(2)证明：当 x > 0 时，x2 < ex(3)证明：对任意给定的正数，总存在x0,使得当x e

51、(x0,+8)时，恒有x < cex【答案】(1)当x = ln2时，f (x)有极小值f(ln2) = 2 - ln4，f (x)无极大值.(2)见解+析.(3)见解+析.【解析】试题分析：(1)由一口=一1,得口 = 2一从而)令得驻点x = E2.讨论可知:当 x < ln2 时，f,(x) < 0，f (x)单调递减；当 x > ln2 时，f -(x) > 0，f (x)单调递增.当x = ln2时，f (x)有极小值f (ln 2) = 2 - ln4，f (x)无极大值.(2)令 g(x) = ex -x2，贝U g'(x) = ex -2x

52、.根据 g'(x) = f (x) > f (ln2) = 2-ln4 > 0 ,知 g(x)在 R 上单调递增，又 g(0) = 1 > 0当 x > 0 时，由 g (x) > g (0) > 0，即得.(3)思路一：对任意给定的正数c,取x =1 0 c1根据x2 < ex .得到当x > x时，ex > x2 > x.0c1思路二：令k = -(k > 0)，转化得到只需x > ln x + ln k成立. c分0 < k < 1, k > 1,应用导数研究h(x) = x-ln x-ln

53、 k的单调性.思路三：就c > 1,0 < c < 1,加以讨论.试题详细分析：解法一：(1)由 f (x) = ex 一ax ,得 f'(x) = ex 一a .又 f '(0) = 1 - a = -1,得 a = 2.所以 f (x) = ex 一 2x , f,(x) = ex 一 2.令 f'(x) = 0，得x = ln2.当 x < ln2 时，f,(x) < 0 , f (x)单调递减；当 x > ln2 时，f -(x) > 0 , f (x)单调递增.所以当x = ln2时，f (x)有极小值，且极小值为 f

54、 (ln 2) = em2 - 2ln2 = 2 一 ln 4f (x)无极大值.(2)令 g(x) = ex -x2，贝U g'(x) = ex -2x.由(1)得，g'(x) = f (x) > f (ln2) = 2-ln4 > 0，即 g，(x) > 0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0) = 1 > 0所以当 x > 0 时，g(x) > g(0) > 0，即 x2 < ex.1(3)对任意给定的正数c,取x =1 0 c由(2 )知，当 x > 0 时，x2 < ex.1所以当x>x时， ex &

55、gt; x2 > x ,即 x < cex.0c因此，对任意给定的正数c,总存在x0,当x G (x0,+8)时，恒有x < cex.解法二：(1)同解法一.(2)同解法一.(3)令k = i(k > 0)，要使不等式x < cex成立，只要ex > kx成立. c而要使ex > kx成立，则只需x > ln( kx)，即x > ln x + ln k成立.若0 < k < 1,则 lnk < 0，易知当 x > 0 时，x > lnx > lnx + lnk 成立.即对任意 c G 1,+8)，取 x

56、= 0，当 x G (x ,+8)时，恒有 x < cex .若 k > 1,令 h (x) = x - ln x - ln k,则 h,(x) = 1 - = x-xx所以当x > 1时，h (x) > 0 , h(x)在(L +8)内单调递增.取 x0= 4 k ,h(x ) = 4k - ln(4k) - In k = 2(k - In k) + 2(k - In 2)0易知 k >Ink , k >ln2，所以 h(x ) > 0 .0因此对任意c g (0,1)，取x =e，当x g (x ,+8)时，恒有x < cex. o co综上

57、，对任意给定的正数c,总存在x0，当x g (xo，+8)时，恒有x < cex.解法三：(1)同解法一.(2)同解法一.(3)若 c > 1，取 x0 = 0，由(2)的证明过程知，ex > 2x所以当 x g (x ,+8)时，有 cex > ex > 2x > x，即x < cex.若0 < c < 1令 h(x) = cex - x，贝U h'(x) = cex -11令 h,(x) = 0 得 x = In . c1当 x > ln-时，h'(x) > 0 , h(x)单调递增. c2取 x = 2ln

58、 0 c2222h(x ) = ce21n c - 2ln 一 = 2( - ln )0ccc22易知ln > 0,又h (x)在(x ,+8)内单调递增， cc0所以当 x g (x ,+8)时，恒有 h(x) > h(x ) > 0 ,即 x < cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0,当x g (x0，+8)时，恒有x < cex.考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是先利用导数的几何意义求值，然后再用单调性探讨极 值,第二问、第三问是不等式证明问题，利用导数证明不等式是近几年高考的一 个热点，解决此类问题的基本思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性 和极值破解.13. (2014 课标全国I,文 21)设函数 f(x)=alnx+ 匕a x2bx(a/1),曲线 y2= f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为0.(1)求 b；(2)