一线三等角典型例题

1、一线三等角模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015年山东德州卷）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，乙DPC=Z A=Z B=90°.求证：AD-BC=AP-BP.探究：如图2,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当N DPC=Z A=N B=0时，上述结论是否依然 成立？说明理由.应用：请利用、（2）获得的经验解决问题：如图3，在4 ABD中，AB=6, AD=BD=5. P以每秒1个 单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足N DPC=N A.设点P的运动时间为t （秒）， 当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的

2、值.变式1 （ 2012年烟台）（1）问题探究如图6，分别以 ABC的边AC与边BC为边，向 ABC外作正方形ACD& 和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使N AHK = N ACD1 .作 D1M ± KH, D2N ± KH,垂足分别为点M、N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证 明.（2）拓展延伸1如图7,若将问题探究中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1Hl,K2H2，分别交直线 AB 于点匕、H2，使N AH1Kl = N BH2K2 = N ACD1 .作 D1M ±K1H1，D2N，K2H2，垂 足分别为

3、点M、N. D1M = D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.2 如图8,若将中的正三角形改为正五边形，其他条件不变.D1M = D2N是否仍成立？（要求: 在图8中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）图10二、添加辅助线后运用基本图形以点A为直角顶点作等腰R3 ADE,点D在BC上，点E在AC例 1、在4 ABC 中，AB =2,乙 B = 45°, 上，若CE=5,求CD的长。例2、( 2013年海淀区一模22题最后一问)如图，11、12、13是同一平面内的三条平行线，11、12之间 的距离是21/5, 12、13之间的距离是21/10,等边 ABC的三

4、个顶点分别在11、12、13上，求 ABC的 边长.例3、 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5,BC = 4,在AB边上取点G,现将纸片沿EG 翻折，使点A落在CD边上的点F处，当AE=3时，求BG的长。三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例1、如图5,在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作N MDN=NB.(1)如图5,当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似 的三角形。(2)如图6,将N MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，(E和A点不重 合)，不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形

5、，并证明。 在图6中，若AB=AC=10, BC=12,当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段EF的 长。国5阳6例2、如图8,在Rt力ABC中，AB = AC =2,(A = 90°,现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在 BC中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、F,设BE =x, CF = y,(BOE = a( 45° < a < 90°)-(1)试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)试判断N BEO与N OEF的大小关系?并说明理由；(3)在三角板绕O点旋转的过程中，/ OEF能否成为

6、等腰三角形？若能，求出对应x的值;若不能，请说明理由.【例3】(2012四川成都卷)如图， ABC和 DEF两个全等的等腰直角三角形，N BAC=N EDF=90°, DEF的顶点E与 ABC的斜边BC的中点重合.将 DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段 AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证： BPE2 CQE；(2)(2)如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证： BPE CEQ；并求当BP=a, CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)6、(东城一模24.)等边 ABC边长为6为F.(1)(2

7、)点，/ MPN=如图1,当点P为BC的三等分点，PE ± A肘N,且PN ，、PN分别于1AC'交于点E、时判断 EpF的形状；.".如图2,若点P在BC边上运动，且保持PE上AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y,求y与X的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(3)如图3,若点P在BC边上运动，且NMPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.2、四边形中的一线三等角例1、如图，正方形ABCD的边长为1cm, M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM ± MN，设BM的长为x cm，CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大

8、值例2(2013年杭州压轴题)如图，已知正方形ABCD的边长为4, 对称中心为点P,点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满 足条件乙EPF = 45。，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称, 设它们的面积和为SI。(1)求证：4APE二乙CFP； (2)设四边形 CMPF的面积为S2, CF=x, 丫二餐。求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值。点E、F分别在边BC、CD上移例 3、如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADII BC，BC = 4AD = 4 2，乙 B = 45°，A E DF.，/A

9、BC = 6，点E，F分别在线段动，且/AEF = 45°,则点E移动过程中，线段AF长 的最小值是()例 4.如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC , AB = DC = AD = 6AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且/BEF = 120。,求y与的函数表达式； 当%为何值时，y有最大值，最大值是多少?4tan / CAD =例4、如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ZB=90°，AB=8，3，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E与点A、D不重合)，且NFEC=ZACB，设DE=%，CFy.(1)求AC和AD的长；(2)求y与的函数关系式；(3

10、)当4EFC为等腰三角形时，求的值.例2.（长宁区工题）如图，等腰悌形4片口口中，AD h BC . 忘：BC -£E = 45.百角三百板台45套白的顶白上在记方C卜移刃,一百百讪始终弃1J*,舒 边匕CO交于点F .若 SE为姜理三角形，则CF的长等于.例3（徐汇区如）.如图，在悌形片皆。口中，ND # BC, AB-CD-BC 6,5D = 3 一点5为边EC的中点，以Af为顶点作AEMF = ZB ,射线ME交腰AB于点五， 射潴UF交腰。D于点F ,酷结E产.（L1 求证：LMEF；U'若REU是；，、艮城为腰印等腰三角形：事EF的W；（3'芳EF _CD ,求月E的必3、函数问题中的一线三等角.例1、在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连结OA,过点O作OB ± OA,交抛 物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.如图，当点A的横坐标为一1/2时，求点B的坐标.变式练习3、由自向坐标系XDY 口 . AA05的位置如图所示.己知 ZA0B-9fZA- 60°. i'.i A 的坐标为(J5,1)L- I)求点B的坐打； 苛抛物线广江+皿+C'绊过h。、工三点