2.2.1不等式及其性质 高一数学（人教B版2019必修第一册）

2.2不等式2.2.1不等式及其性质第2章

等式与不等式问题引入

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怎样理解两个实数之间的大小呢？

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初中的时候，我们就已经归纳了不等式的三个性质：

尝试与发现：你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？新知探索

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充要充要充要

在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.

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另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母.例题

例1的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，同学们应熟练掌握.新知探索

需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.在证明不等式时，当然也可以直接利用已经证明过的不等式性质等.从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.下面用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.

推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移向法则.

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很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：

几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.

新知探索这个结论的证明只要多次使用推论3的结论即可.

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可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.尝试与发现：证明推论5中不等式得方法具有什么特征？

例题

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练习题型一：用不等式(组表示不等关系)

练习方法技巧：1.用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；(2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式.2.用不等式表示不等关系的注意点(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.练习

练习题型二：比较实数(式子)的大小

练习方法技巧：比较两个实数(代数式)大小的步骤：(1)作差.对要比较大小的两个实数(或式子)作差；(2)变形.对差进行变形；(3)判断差的符号.结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)得出结论.上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.练习

练习

练习题型三：不等式性质的大小应用

角度(一)判断命题的真假练习

角度(二)证明不等式练习

角度(三)求取值范围练习方法技巧：利用不等式判断正误的2种方法：(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可.(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.练习方法技巧：(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质及其推论，并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)利用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步证明，更不能随意构造性质与法则.方法一(性质法)简单快捷，但