中南大学机械振动第二章(课件之一)

1、第二章第二章 单自由度系统单自由度系统 单自由度系统单自由度系统：只有一个自由度的振动系统称为单自由度振动系统。 单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二阶线性常微分方程描述它的振动规律。 单自由度系统在振动理论及其应用中是最基本的，是多自由度系统和连续体系统振动理论和方法的基础。2.1 2.1 引言引言 几种单自由度系统的示例:2.2 2.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 自由振动自由振动：系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。其振动规律完全取决于系统本身的性质。2.2.1 2.2.1 运动微分方程运动微分方程 在不考虑系统振动时能量耗散的条件下，单自由度系统模型可以化简为图22所

2、示的无阻尼模型。图 22 列出系统的运动微分方程的列出系统的运动微分方程的4 4个步骤个步骤： 1. 1. 取坐标取坐标：取定一个坐标系以描述系统的运动，原点为静静平衡平衡时质量所在位置位置。 取定一坐标系Ox，O点为原点，弹簧无变形时质量在原点上。 2. 2. 取质量隔离体，分析其受力情况取质量隔离体，分析其受力情况：设质量沿坐标正向有一移动，考察质量的受力情况，画出隔离体图。 设质量沿坐标正向移动了x，弹簧左端受约束不能运动，因而位移为零，弹簧右端位移为x-0 x。这样，弹簧的总变形量为两端位移之差，等于x。因此弹簧力大小为kx 3. 3. 列运动微分方程列运动微分方程：按牛顿第二定律写出

3、运动微分方程 上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助于简化问题的求解。于简化问题的求解。以下例说明。例例2.12.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元件为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图23(a)所示，忽略阻尼。图 23 在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望方程的解中只包括动力响应。将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做到这一点。 结论结论: 对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时间无关的静载荷和与时间有关的动载荷，分别计算系间无关的静载荷和与时间

4、有关的动载荷，分别计算系统的静力响应和动力响应，系统的总响应为静力响应统的静力响应和动力响应，系统的总响应为静力响应和动力响应之和。和动力响应之和。2.2.2 2.2.2 求固有频率的方法求固有频率的方法1 1静态位移法静态位移法 2. 2.能量法能量法 系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也能求系统的固有频率。对于单自由度系统，用对于单自由度系统，用能量法求固有频率有两种方法：能量法求固有频率有两种方法：例2.3 如图2-5所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由度系统，求系统的固

5、有频率。图 2-5讨论：讨论：取质量m的位移为描述系统运动的坐标重算一遍该系统的固有频率，其结果应与上面相同。系系统的固有频率与所选取的坐标系无关。统的固有频率与所选取的坐标系无关。上题如果用静态位移法求解，将涉及未知的绳与滑轮的靡擦力，因而无法计算静态位移。因此能量法对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。补充例题：补充例题：习题习题2.1 2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为 。设。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长将物体向下拉，使弹簧有静伸长3 3 ，然后无初速度，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。地释放，求此后的运动方程。 习题习题2.2 2.2 弹簧不

6、受力时长度为弹簧不受力时长度为65cm65cm，下端挂上，下端挂上1kg1kg物体后弹簧长物体后弹簧长85cm85cm。设。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。振幅、周期及弹簧力的最大值。习题习题2.3 2.3 重物重物m ml l悬挂在刚度为悬挂在刚度为k k的弹簧上并处于静平衡位置，的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物另一重物m m2 2从高度为从高度为h h处自由落到处自由落到m ml l上而无弹跳，如图上而无弹跳，如图TT2.32.3所示，求其后的运动。所示，求其后的

7、运动。图 T2.3 习题习题2.4 2.4 一质量为一质量为m m、转动惯量为、转动惯量为I I的圆柱体作自由纯滚动，的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧圆心受到一弹簧k k约束，如图约束，如图T T2.42.4所示，求系统的固有频率。所示，求系统的固有频率。习题习题2.5 2.5 均质杆长均质杆长L L、重、重G G，用两根长，用两根长h h的铅垂线挂成水平位的铅垂线挂成水平位置，如图置，如图T T2.52.5所示，试求此杆相对铅垂轴所示，试求此杆相对铅垂轴OOOO微幅振动的周微幅振动的周期。期。图 T2.5习题习题2.6 2.6 求如图求如图T T2.62.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅

8、垂，所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且且k2k22k12k1，k3=k1k3=k1。图 T2.6习题习题2.7 2.7 如图如图T T2.72.7所示，半径为所示，半径为r r的均质圆柱可在半径为的均质圆柱可在半径为R R的的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O O为平衡位置左右微摆，为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。 图 T2.7习题习题2.8 2.8 横截面面积为横截面面积为A A，质量为，质量为m m的圆柱形浮子静止在比重的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离为的液体中。设从平衡

9、位置压低距离x x( (见图见图T T2.8)2.8)，然后无，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。习题习题2.10 2.10 如图如图T T2.102.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为的转动惯量为I I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P P的物体，的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径半径R R与与a a均已知，求微振动的周期。均已知，求微振动的周期。 图T2.10图T2.122.2.3 2.2.3 有效质量有效质量 离散系统模型约定离散系统模型约定：系统的质量集中在惯性元件上，弹性元件无质量。 约定成立的条件约定成立的条件：当弹性元件的质量远小于系统总质量时，略去弹性元件的质量对系统的振动特性影响不大。当弹性元件的质量占系统质量的相当部分时，略去它会使计算得到的固有频率住偏高固有频率住偏高。如果弹性元件有质量，则它在振动中不但能储存势能，也能储存动能。系统的总动能应该是惯性元件储存的动能加上弹性元件储存的动能。因此，可以采用能量等效的方采用能量等效的方法（等效质量法）法（等效质量法），加大惯性元件的