函数极限性质PPT学习教案

1、会计学1函数极限性质函数极限性质0f ( x )Axx近近似似式式并并不不要要求求在在也也成成立立，这这一一点点十十注注意意：分分重重要要。000Af ( x )Af ( x )f ( x ).由由此此看看来来极极限限与与毫毫无无关关系系，的的存存在在与与否否及及大大小小与与的的大大小小甚甚至至有有无无定定义义都都无无关关系系00f ( x )xx.我我们们称称函函数数在在某某点点的的邻邻域域内内（或或除除去去 ）的的性性质质为为函函的的局局部部性性质质数数第1页/共25页1. .函函数数极极限限的的性性质质1性性质质 ()()假假设设在在同同函函数数极极限限的的一一极极限限唯唯一一性性过过程

2、程中中有有00lim( ),lim( ),xxxxf xAf xBAB和和则则。第2页/共25页000002lim( )( )0()xxf xf xxMxO xx 性性质质 ()()设设存存在在，则则在在 点点的的某某个个邻邻域域中中有有界界；即即存存在在常常数数，使使得得在在的的某某去去心心邻邻域域局局部部有有界界性性中中，有有00|( )|, ().f xMxO xx 00002.3f ( x )xxMxO ( x ) x 称称函函数数在在下下有有界界，即即存存在在定定，使使得得当当义义时时，有有| f ( x )|M. 第3页/共25页003lim( )lim( )xxxxf xAg x

3、B局局部部保保号号性性性性质质 ()()假假设设，0(1)()ABBxx如如，则则对对的的某某一一去去心心邻邻域域中中的的所所有有 ，有有( )( )( )f xg xg x。0(2)( )( ),.xxf xg xAB若若在在极极限限过过程程下下，则则注注：该该性性质质与与数数列列极极限限中中保保号号性性质质类类似似。第4页/共25页2 函函数数极极限限四四则则运运算算性性质质00lim( ), lim( ),xxxxf xAg xB如如果果那那么么000(1) lim ( )( )lim( )lim( );xxxxxxf xg xf xg xAB000(2) lim( )( )lim( )

4、 lim( );xxxxxxf xg xf xg xA B000lim( )( )(3)0, lim.( )lim( )xxxxxxf xf xABg xg xB当当时时00,xxxx 注注：上上述述性性质质只只表表述述了了的的情情形形，事事实实上上对对于于0,xxxxx 的的情情形形，性性质质也也是是成成立立的的。第5页/共25页42211 lim57.xxxx 例例求求1110( ),nnnnP xa xaxa xa 对对于于多多项项式式函函数数根根据据极极010101000lim( )();nnnnxxP xa xaxa xaP x 限限的的运运算算法法则则有有0( )( ),( )li

5、m( )( )xxP xP x Q xP xQ x对对于于分分式式函函数数（其其中中为为多多项项式式），有有0000(), lim( )(),()0 xxP xQ xQ xQ x 从从而而当当时时，利利用用商商的的极极限限运运算算法法则则有有000()( )lim.( )()xxP xP xQ xQ x 0()0Q x 若若，则则关关于于商商的的极极限限的的运运算算法法但但则则不不能能应应用用。第6页/共25页0lim( ),( )(), l2im( ),xxuAg xAg xAAf uB （）若若且且复复合合函函数数的的极极限限运运算算这这里里 可可以以是是无无穷穷则则大大定定法法理理 ：则

6、则0lim ( )lim( ).xxuAf g xf uB00 xXxXlim f ( x )lim | f ( x )|.例例：证证明明第7页/共25页注注：下下列列结结论论也也成成立立000lim ( ),lim( )lim ( )lim( ).xuuxuug xuf uAf g xf uA00lim( ),lim( )lim ( )lim( ).xxuxxug xf uAf g xf uA lim ( ),lim( )lim ( )lim( ).xuxug xf uAf g xf uA 第8页/共25页0lim( )1xxf xc如如果果存存在在，而而 为为推推论论常常数数，则则即即求求

7、极极限限时时，常常数数因因子子可可以以提提到到极极限限符符号号的的外外面面。00lim( )lim( ),xxxxc f xcf x 0lim(2)xxf xn如如果果存存在在，而而 为为推推论论正正整整数数，则则00lim ( )lim( ) .nnxxxxf xf x 第9页/共25页1 lim2.xxe求求例例121002xxxxlim;lime. 判判别别下下列列极极限限是是否否存存在在，如如果果存存在在求求出出其其值值（1 1）（2 2）例例3 323 lim5) .1(xx 例例求求注注：第10页/共25页0(3)f xx设设函函数数在在定定理理点点的的某某：（邻邻域域海海涅涅定定

8、理理）有有定定义义，00lim( )(),nnxxf xAxxx则则的的充充分分必必要要条条数数列列任任意意件件是是对对0(),nxx n 当当有有lim().nnf xA 注注：该该定定理理的的可可以以证证明明某某些些函函数数的的极极限限逆逆否否命命题题不不存存在在。方方法法是是只只要要找找到到两两个个具具有有不不同同极极限限的的数数列列即即可可。000nnnnnxx x ( xx ),xx (n),lim f ( x )Alim f ( x ). 反反之之，若若数数列列当当时时则则在在不不存存在在存存第11页/共25页01 limsin.4xx例例证证明明不不存存在在第12页/共25页3.

9、 .函函数数极极限限的的判判别别定定理理( ), ( )4f xg x（）两两边边夹夹定定理理或或定定如如果果函函夹夹逼逼数数定定理理理理 ：及及( )h x 满满足足下下列列条条件件：(1) ( )( )( );g xf xh x(2)lim ( )lim ( );g xAh xlim( )lim( ).f xf xA 那那么么存存在在，且且01xxx 注注 ：上上述述自自变变量量的的变变化化过过程程可可以以是是，也也可可以以是是。002xxx注注 ：如如果果上上述述极极限限过过程程是是，则则要要求求函函数数在在的的某某个个x 去去心心邻邻域域内内有有定定义义；若若上上述述极极限限过过程程是

10、是，则则要要求求函函|xM 数数当当时时有有定定义义。第13页/共25页0sinlim1xxx (1)(1)重重要要极极限限OACDBxxAB sin xCB tan xAD 由由右右图图可可知知：,AOBAODAOBSSS扇扇形形111sintan ,222xxxsintan ,xxxsin,x不不等等号号各各边边都都除除以以得得sincos1.xxx或或11,sincosxxx00sinlimcoscos01lim1.xxxxx由由于于，则则由由两两边边夹夹定定理理知知：第14页/共25页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx第15页/共25页第16页/共25页第17页/共25页第18页/共