函数的连续PPT学习教案

1、会计学1函数的连续函数的连续例例1 1证证由定义由定义2知知上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第1页/共33页例例2 2解解),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第2页/共33页例例3 3证证, 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy第3页/共33页(1)跳跃间断点跳跃

2、间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4解解.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第4页/共33页(2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xx

3、xxxxxfoxy112xy 1xy2 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第5页/共33页解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第6页/共33页如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类

4、间断点. .特特点点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 xoxy112上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第7页/共33页(3)第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6解解oxy.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第8页/共33页例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sin

5、lim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第9页/共33页例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第10页/共33页1.函数在一点连

6、续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第11页/共33页可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第12页/共33页思考思考题题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2

7、xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第13页/共33页思考题解答思考题解答且且 )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第14页/共33页但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第15页/共33页一、一、

8、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练练 习习 题题上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第16页/共33页三、三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断

9、点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续函数的定义使它连续 . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四、四、 讨论函数讨论函数 nnnxxxf2211lim)( 的连续性，若有间断的连续性，若有间断点，判断其类型点，判断其类型 . .五、试确定五、试确定ba,的值的值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有无穷间断点）有无穷间断点0 x； （2 2）有可去间断点）有可去间断点1 x . .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第

10、17页/共33页一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点； 2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0( kkx为第二类间断点为第二类间断点. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,练习题答练习题答案案上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第18页/共33页上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第19页/共33页意义意义1.极限符号可以与

11、函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第20页/共33页例例2 2.1lim0 xexx 求求)1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第21页/共33页思考思考题题上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第22页/共33页思考题解答思考题解答1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续

12、续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg是它的可去间断点是它的可去间断点上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第23页/共33页练练 习习 题题上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第24页/共33页7 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)12

13、32(lim xxxx；上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第25页/共33页三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. .四、四、 设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ， 试证函数， 试证函数)(xg在在0 x处也连续处也连续. .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第26页/共33页一、一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6 6、1 1；7 7、), 2()

14、,2 , 3(),3,( ；8 8、22,0,0,不存在不存在. .二、二、1 1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三、三、eba , 1. .练习题答练习题答案案上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第27页/共33页例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fF上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第28页/共33页四个定理四个定理有界

15、性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第29页/共33页思考思考题题下述命题是否正确？下述命题是否正确？上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第30页/共33页思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第31页/共33页一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，