第2章静电场中的导体和电介质(0)

1、导体静电感应interaction of electrostatic field with conductor2.1 静电场中的导体均匀导体达到均匀导体达到静电平衡的条件静电平衡的条件是：是：导体内导体内0E 0baabldEU各种形状导体的表面，全都是等势面各种形状导体的表面，全都是等势面1.实心导体2.腔内无电荷的空腔导体3.腔内有电荷的空腔导体CU 外界不影响内部外界不影响内部 高压设备都用金属导体壳接地做保护高压设备都用金属导体壳接地做保护 在电子仪器、或传输微弱信号的导线中在电子仪器、或传输微弱信号的导线中都常用金属壳或金属网作静电屏蔽。都常用金属壳或金属网作静电屏蔽。应应 用用 高

2、压带电操作高压带电操作 孤立导体面电荷分布孤立导体面电荷分布表面曲率越大，面电荷密度越大。表面曲率越大，面电荷密度越大。尖端放电现象尖端放电现象应用：应用：高压设备的电极高压设备的电极高压输电线高压输电线避雷针避雷针不利的一面：不利的一面：浪费电能浪费电能避免方法：避免方法：金属元件尽量做成球形，金属元件尽量做成球形，并使导体表面尽可能的光滑并使导体表面尽可能的光滑0 0内内ECU iiSQsdE0 01 1 LldE0 0ii.Q常常量量原原则则1.1.静电平衡静电平衡的条件的条件2.2.基本性质基本性质方程方程3.3.电荷守恒电荷守恒定律定律高斯定理高斯定理场强环场强环路定理路定理五、有导

3、体存在时静电场的计算五、有导体存在时静电场的计算已知导体球壳已知导体球壳A带电量为带电量为Q ，导体球，导体球B带电量为带电量为q (1) 将将A接地后再断开，电荷和电势的分布；接地后再断开，电荷和电势的分布；解解04120RQUAQ0QA与地断开后与地断开后, qQA10044RqrqUBArR1R2B-q电荷守恒电荷守恒(2) 再将再将B接地，电荷和电势的分布。接地，电荷和电势的分布。A接地时，内表面电荷为接地时，内表面电荷为-q外表面电荷设为外表面电荷设为Q例例1求求(1)0AUqQQ外内qqQ外20100444RqqRqrqUB021211RRrRrRqrRq204RqqUAB球球心处

4、的电势球球心处的电势QArR1R2B-q设设B上的电量为上的电量为q0内EqQ内根据孤立导体电荷守恒根据孤立导体电荷守恒(2)例例2、金属板面积为、金属板面积为S，带电量为，带电量为 q。近旁平行放置。近旁平行放置 第二块不带电大金属板。第二块不带电大金属板。1) 求电荷分布和电场分布；求电荷分布和电场分布；2) 把第二块金属板接地，情况如何？把第二块金属板接地，情况如何？解：解：1）依题意有下式：）依题意有下式：04321 sqpABC2143选取如图高斯面，根据高斯定理有：选取如图高斯面，根据高斯定理有：032 图示图示P点的场强是四个带电面产生的，点的场强是四个带电面产生的，)(0222

5、204030201取正pEsqsqsqsq22224321 sqEsqEsqECBA000222 场强迭加43210EEEEEE2）右板接地）右板接地p高斯定理高斯定理P点的合场强为零点的合场强为零004321 sqsq000 CBAEsqEE ABC04 sq 21 0320321已知：金属球已知：金属球与金属球壳同心放置与金属球壳同心放置，球球的半径为的半径为 R R1、带电为带电为 q ；壳的半径分壳的半径分别为别为 R R2、R R3 带电为带电为 Q；求求:(1):(1)电量分布；（电量分布；（2 2）场强分布；）场强分布； （3)3)球球 和和 球壳球壳 的电势的电势ABqqQ2R

6、3R1R例例3 3q解解（1）电量均匀分布：球壳内）电量均匀分布：球壳内表面带电表面带电 -q ，外表面带电，外表面带电 Q+q（2 2）2 21 12 20 04 4RrRrqEA 3204BqQErRrErE = 0 （3) 3) 球的电势球的电势q1R3 32 21 10 04 41 1RQqRqRqU 球球3 30 04 4RQqU 壳壳1 10 01 14 4RqU2Rq2 20 02 24 4RqU qQ3R3 30 03 34 4RQqU q1R2RqqQ3R3 30 03 34 4RQqU rqU0 02 24 4 rqU0 01 14 4 球壳的电势球壳的电势r例例4 接地导

7、体球附近有一点电荷接地导体球附近有一点电荷q,如图所示。如图所示。求求:导体上感应电荷的电量导体上感应电荷的电量解解:接地接地 即即设设:感应电量为感应电量为Q由导体是个等势体由导体是个等势体 知知O点的电势为零点的电势为零 由电势由电势叠加原理有关系式：叠加原理有关系式：04400lqRQqlRQ0UqRol 万有引力和静电力都服从平方反比律，都存万有引力和静电力都服从平方反比律，都存在高斯定理。有人幻想把引力场屏蔽起来，这能在高斯定理。有人幻想把引力场屏蔽起来，这能否做到？引力场和静电场有什么重要差别？否做到？引力场和静电场有什么重要差别？ 静电的应用静电的应用 带电体所带的静电电荷的电量

8、都很小；带电体所带的静电电荷的电量都很小； 静电场所具有的能量也不大；静电场所具有的能量也不大； 电压可能很高。电压可能很高。 范德格拉夫起电机范德格拉夫起电机 静电除尘静电除尘 静电分离静电分离 静电织绒静电织绒 静电喷漆静电喷漆 静电消除器静电消除器 静电生物技术静电生物技术 静电的特点静电的特点 静电的应用静电的应用2.2 电容和电容器法拉（ F ）1法拉（F）= 1库仑（C）/1伏特（V）1微法（ F）=10 法拉（F）1皮法（ F）=10 微法（ F）若将地球看作半径 R=6.37 10 m 的孤立导体球地球的电容 = 7.08 10 （F）（ F）BCDAqA+ + + + + +

9、 + +-qA- - - - - - - -用空腔用空腔B 将非孤立导体将非孤立导体 A 屏蔽屏蔽, 消除其他导体及消除其他导体及带电体带电体 ( C、D ) 对对A 的的影响。影响。A 带电带电qA , B 内表面带电内表面带电-qA , 腔内场强腔内场强E, A B 间电间电势差势差UAB= UA -UB CAB = qA /UAB1.电容器 电容设 当电容器中两导体A、B分别带等值异号电量 和 时，按可调分类：按可调分类：可调电容器、微调电容器、可调电容器、微调电容器、 双连电容器、固定电容器双连电容器、固定电容器按介质分类：按介质分类：空气电容器、云母电容器、陶瓷电容器、空气电容器、云

10、母电容器、陶瓷电容器、 纸质电容器、电解电容器纸质电容器、电解电容器按体积分类：按体积分类：大型电容器、小型电容器、微型电容器大型电容器、小型电容器、微型电容器按形状分类：按形状分类：球形电容器、球形电容器、平行板平行板d球形球形21RR柱形柱形1R2R圆柱形电容器、圆柱形电容器、 平板电容器平板电容器2.电容器的分类高压电容器高压电容器(20kV, 521 F)聚丙烯电容器聚丙烯电容器陶瓷电容器陶瓷电容器(20000V 1000pF)涤纶电容涤纶电容(250V 0.47F)电解电容器电解电容器(160V 470 F) 储存电能的元件；储存电能的元件； 与其它元件可以组成振荡器、时间延迟电路等

11、；与其它元件可以组成振荡器、时间延迟电路等； 在电路中：通交流、隔直流；在电路中：通交流、隔直流； 真空器件中建立各种电场；真空器件中建立各种电场； 各种电子仪器。各种电子仪器。3.电容器的作用4.电容器的电容的计算E12()UU12qCUUq00022/AALLRSCd RddRB RA= d ,当当da 。例例4d2a单位长度平行直导线间的电容。单位长度平行直导线间的电容。解解求求设两根导线单位长度上的设两根导线单位长度上的带电量分别为带电量分别为l l，+ +l l - -l l 由高斯由高斯 定理，两导线间任一点定理，两导线间任一点 P 的电场强度为的电场强度为O xP)(2200 x

12、dxEll两导线间的电势差为两导线间的电势差为dBAUEladarEdA Badarxdxd)11(20laad ln0ladln0l单位长度导线间的电容为单位长度导线间的电容为0lnCdUallladln0d2a+ +l l - -l lO xPA B0lndUal三三、电容器的串联与并联、电容器的串联与并联串联串联C1 C2+Q -Q +Q -Q UA UB U C1CQUUBA2CQUUCB2111CCQUUCA UA UCCCQUUCA+Q -Q 21111CCCniiCC11+等效电容等效电容并联并联C+Q1 -Q 1 C1 C2+Q2 -Q2 UA UB BAUUQC11BAUUC

13、Q11BAUUCQ22+BAUUCCQQ2121 UA UB BAUUQCBAUUCQQ21CCCniiCC四、电容器的储能四、电容器的储能一、电介质对电容的影响一、电介质对电容的影响l 电介质：绝缘体电介质：绝缘体 (电阻率超过电阻率超过10108 8 W Wm)l 实验实验+ +Q - -Q+ + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -介质中电场减弱介质中电场减弱2.3 电介质电介质现象：现象：插入电介质后，电容插入电介质后，电容器极板间的电势差器极板间的电势差 减小了减小了UQCU电容增大了

14、电容增大了极板间距不变极板间距不变有极分子与无极分子有极分子与无极分子二、电介质的极化二、电介质的极化 无极分子无极分子（Nonpolar moleculeNonpolar molecule）分子的正电荷中心与负电荷中心重合分子的正电荷中心与负电荷中心重合在无外场作用下整个分子在无外场作用下整个分子无电矩无电矩例如，例如，H H2 2 N N2 2 O O2 2 有极分子有极分子（Polar moleculePolar molecule）分子的正电荷中心与负电荷中心分子的正电荷中心与负电荷中心不重合。不重合。在无外场作用下存在在无外场作用下存在固固有电矩。有电矩。例如，例如，H H2 2O H

15、cl CO SOO Hcl CO SO2 2 pql分子负电荷负电荷中心中心正电荷中心正电荷中心+H+HOl无极分子无极分子 只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向无外场下，所具有的电偶极矩称为无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩固有电偶极矩。在外电场中产生在外电场中产生感生电偶极矩感生电偶极矩（约是前者的10-5)有极分子：有极分子：位移极化和取向极化均有位移极化和取向极化均有l0E0E0分子p二、电介质的极化二、电介质的极化,P,qE三、极化的描绘三、极化的描绘pPV 分 子P1. 极化强度矢量极化强度矢量 ：单位体积内电偶极矩的矢量和：单位体积

16、内电偶极矩的矢量和 2. 极化电荷极化电荷从原来处处电中性变成出现了宏观的极化电荷从原来处处电中性变成出现了宏观的极化电荷）、 ( q0EEE3. 退极化场：极化电荷产生的场退极化场：极化电荷产生的场退极化场退极化场 附加场附加场 ：在电介质在电介质内部内部：附加场与外电场方向相反，削弱：附加场与外电场方向相反，削弱在电介质在电介质外部外部：一些地方加强，一些地方减弱：一些地方加强，一些地方减弱EE与与 的关系的关系n 以以位移极化位移极化为模型讨论为模型讨论 pql分子Pnpnql 分子Vl dS nq V假设假设l, ,q, nPqdS因极化而穿过因极化而穿过 的电荷总量的电荷总量nql

17、dS P dS SP dS Sq穿出 面Sq 内电荷守恒定律电荷守恒定律cos nqldS在均匀介质表面取一面元在均匀介质表面取一面元dSdS，面元上的极化电荷为，面元上的极化电荷为dqP ndS eP n EPe0e是否和场强的大小有关是否和场强的大小有关 否否线性介质线性介质是是非线性介质非线性介质e是否随空间坐标变化是否随空间坐标变化 否否均匀介质均匀介质是是非均匀介质非均匀介质eC, ,ex y ze是否随空间方位变化是否随空间方位变化 否否各向同性介质各向同性介质是是各向异性介质各向异性介质e为标量e为张量电电极极化化率率 与与 的关系的关系极化规律极化规律P E+PoAxne 例例

18、 半径半径R 的介质球被均匀极化，极化强度为的介质球被均匀极化，极化强度为 。求：求：1) 1) 介质球表面上的极化面电荷的分布；介质球表面上的极化面电荷的分布；2) 2) 极化面极化面电荷在球心处激发的电场强度。电荷在球心处激发的电场强度。P解：解：1) 球面上任一点球面上任一点 cosPnP 取球心为原点，取与取球心为原点，取与 平行平行的直径为球心轴线，由于轴的直径为球心轴线，由于轴对称性，表面上任意点对称性，表面上任意点 的极的极化电荷面密度化电荷面密度 只和角只和角 有关有关 ( 是是 点点 矢量和外法线矢量和外法线 间的夹角间的夹角) PAAPneP+dEdx2) 在球面上取环带在

19、球面上取环带d d2sindqRR cosPnP 30dcosd4q RER 00203dcossin2dPPEE 22sincosdPR2/3220)(41xRqxE20sincosd2P 四 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移在有电介质存在的电场中，高斯定理仍成立，在有电介质存在的电场中，高斯定理仍成立，但要同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场但要同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场总电场总电场极化电荷极化电荷自由电荷自由电荷上式中由于极化电荷一般也是未知的，用其求解电上式中由于极化电荷一般也是未知的，用其求解电场问题很困难，为便于求解，引入电位移矢量，使场问题很困难，

20、为便于求解，引入电位移矢量，使右端只包含自由电荷。右端只包含自由电荷。001SSE dSqq内0 000SdSEPSq0DEP0SdSDSqe0P=Ee01DE0Ee1+相对介电常量相对介电常量(相对电容率相对电容率)电位移矢量电位移矢量001SSE dSqq内有电介质时有电介质时的高斯定理的高斯定理 SSP dSq 内+ 线线E电场线起于电场线起于正电荷正电荷、止于、止于负电负电荷，荷，包括自由电荷和极化电荷包括自由电荷和极化电荷+线线D电位移线起于正的电位移线起于正的自由电自由电荷，荷，止于负的止于负的自由电荷自由电荷+线线P电极化强度矢量线起于负的电极化强度矢量线起于负的极化电荷极化电荷

21、，止，止于正的于正的极化电荷。极化电荷。只在电介质内部出现只在电介质内部出现有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用：求出电场求出电场求出电极化强度求出电极化强度求出束缚电荷求出束缚电荷0SdSDSq通过电介质中任一闭合曲面的电位移通通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。量等于该面包围的自由电荷的代数和。 分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面求出电位移矢量。斯面求出电位移矢量。0D=Ee0P=Ee= P n例题例题1 1 一半径为一半径为R R的金属球，带有电荷的金属球，带有电荷q0, ,浸埋在均匀浸

22、埋在均匀“无限大无限大”电介质（电容率为电介质（电容率为），求球外任一点），求球外任一点P的的场强及极化电荷分布。场强及极化电荷分布。Rq0rS 解解: : 过过P点作一半径为点作一半径为r并与金并与金属球同心的闭合球面属球同心的闭合球面S(高高斯面斯面)204 rqDrerqD204204SD dSDrq rerqD2040DE因因002004rqEDEer Rq0rS 带电金属球周围充满均匀带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强无限大电介质后，其场强减弱到真空时的减弱到真空时的1/倍倍0204rqEerRq0rS 0eP=E01=E0214rq=erP n 0214qR rne 00

23、01qqqR1R2R0Q2解解iiSqSD0dDr24例例2 2 半径为半径为R0 ，带电量为，带电量为Q 的导体球置于各向同性的均匀电介的导体球置于各向同性的均匀电介质中，如图所示，两电介质的相对电容率分别为质中，如图所示，两电介质的相对电容率分别为 1和和 2，外层半径分别为外层半径分别为R1和和R2 。求求 (1) 电电场的分布；场的分布；(2) 紧贴导体球表面处的极化紧贴导体球表面处的极化电荷；电荷；(3) 两电介质交界面处的极化两电介质交界面处的极化电荷。电荷。(1)电场的分布电场的分布00() 0()QrRrR020()4 0 ()QrRDrrRr1R1R2R0Q2r1020()4

24、 0 ()QrRDrrR由由0ED01E)(0Rr 22014QEr )(10RrR32024QEr )(21RrR2044rQE2()rR4 3 2 1 R1R2R0Q2101E)(0Rr 22014QEr )(10RrR32024QEr )(21RrR2044rQE2()rR4 3 2 1 (2) 紧贴导体球表面处的极化电荷紧贴导体球表面处的极化电荷rQ201d()SESQQ)(14022QQEr11(1)QQ rR1R2R0Q2101E)(0Rr 22014QEr )(10RrR32024QEr )(21RrR2044rQE2()rR4 3 2 1 rQ(3) 两电介质交界面处的极化电荷

25、两电介质交界面处的极化电荷 (Q- -Q)Q- -Qr301d()SESQQQQ)(14032QQEr21(1)QQ 2111()QQQ11(1)QQ 解：解：由高斯定理，可得内外层介质由高斯定理，可得内外层介质中的场强分布。设电荷线密度为中的场强分布。设电荷线密度为l l。11010 (),2ERrrrl 220 2Erl R1R2r0 1 2横截面图横截面图0210 ()rrRrl 212 击穿时击穿时210 0mMEErl 10 0Mr El 220 0 2mErl 由其中由其中 r0E1m, ,当电压升高时，当电压升高时，1101 2mERl 每层介质中每层介质中r 最小处场强最大最小

26、处场强最大,101 2Rl 此时此时10 0 rl 外层介质先被击穿外层介质先被击穿这时两导体圆筒间电势差为：这时两导体圆筒间电势差为： 2001dd2112RrrRrErEU02101100 lnln2rRRrll 10 0Mr El 0122012ln2rRRErUm 注意到注意到:击穿时两导体圆筒间电势差为：击穿时两导体圆筒间电势差为：2021 011 00 lnln()22rRRrll 02101010dd2rRRrrrrrll 例例4. 一半径为一半径为R、相对介电常数为、相对介电常数为的均匀介质的均匀介质球中心放有点电荷球中心放有点电荷Q，球外是空气。，球外是空气。（1）计算球内外

27、的电场强度和电势）计算球内外的电场强度和电势U的分布的分布;（2）球心处的极化电荷及球面上极化电荷面密度。球心处的极化电荷及球面上极化电荷面密度。 r例例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为常用的圆柱形电容器，是由半径为 的长直圆柱导体和的长直圆柱导体和同轴的半径为同轴的半径为 的薄导体圆筒组成，并在直导体与导体圆筒的薄导体圆筒组成，并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为之间充以相对电容率为 的电介质的电介质.设直导体和圆筒单位长度设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为上的电荷分别为 和和 .求（求（1）电介质中的电场强度、电位移和极化强度；（）电介）电介质中的电场强度、电位移和极化强度；（）电

28、介质内、外表面的极化电荷面密度；（）此圆柱形电容器的电质内、外表面的极化电荷面密度；（）此圆柱形电容器的电容容l1R2Rrl1R2RllllSDSld解（解（1）lrlDl2rD2l0r0r2rDEerl )(21RrRrr0r1(1)2rPEerl （）（）r1r112rreeRl r2r212rreeRl2rDerl1rR2rRrr1(1)2Rl rr2(1)2Rl真空圆柱形电真空圆柱形电容器电容容器电容（）（）rEr02l)(21RrR21r02ddRRrrrEUl120ln2RRrl12r0ln2RRlUQC 0r C12r0ln2RRlC单位长度电容单位长度电容解：解：（1 1）设场

29、强分别为）设场强分别为E1 和和E2 ，电位移分别为，电位移分别为D1 和和D2 ，E1和和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自由电荷为零。，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得由电介质时的高斯定理得例题例题4 4 平行板电容器两板极的面积为平行板电容器两板极的面积为S S，如图所示，两板极之间充有两层电介质，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为电容率分别为1 和和2 ，厚度分别为，厚度分别为d1 和和d2 ，电容器两板极上自由电荷面密度为，电容器两板极

30、上自由电荷面密度为。求（。求（1 1）各层电介质的电位移和场强，）各层电介质的电位移和场强，（2 2）两层介质表面的极化电荷面密度（）两层介质表面的极化电荷面密度（3 3）电容器的电容电容器的电容. . + + E E1 1E E2 2D D1 1D D2 2S S1 1d d1 1d d2 2A AB B 1 1E E2 2 2 2所以所以21DD 0d211SDSDS SD11012202,DEDE 所以所以1221EE 可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。电容率（或相对电容率）成反比。 + + E E1 1E E2

31、 2D D1 1D D2 2S S1 1d d1 1d d2 2A AB B 1 1E E2 2 2 2 + + E E1 1E E2 2D D1 1D D2 2S S1 1d d1 1d d2 2A AB B 1 1E E2 2 2 2S2 为了求出电介质中电位移和场强的大为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面小，我们可另作一个高斯闭合面S2 ，如图，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得高斯定理，得11SD dSD SS再利用再利用11012202

32、,DEDE 可求得可求得110E 220E 方向都是由左指向右方向都是由左指向右12DD + + E E1 1E E2 2D D1 1D D2 2d d1 1d d2 2A AB B 1 1E E2 2 2 2S2（2 2）两层介质表面的极化电荷面密度两层介质表面的极化电荷面密度101EEE 11000 即：即：1111 所以所以2211 1122ABUE dE d121020ABqSCddU q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为正、负两极板正、负两极板A、B间的电势差为间的电势差为121020,EE （3 3）电容器的电容）电容器的电容12121

33、0201020ddddqS ,d , C平行板电容器被电源充电后平行板电容器被电源充电后, ,在不断开电源的情况下在不断开电源的情况下(1) (1) 将电容器的极板间距拉大。将电容器的极板间距拉大。(2) (2) 将均匀介质充入两极板之间。将均匀介质充入两极板之间。(3) (3) 将一导体平板平行地插入两极板之间。将一导体平板平行地插入两极板之间。试定性地讨论两板上的电荷、电容、极板之间电压、场试定性地讨论两板上的电荷、电容、极板之间电压、场强和储存能量的变化。强和储存能量的变化。, C,d , CUQ,d UE QUW21, CUQ,d0EUE QUW21, CUQ,d UE QUW21,

34、CQ可变，可变，U不变！不变！平行板电容器被电源充电后平行板电容器被电源充电后, ,在断开电源的情况下在断开电源的情况下 (1) (1) 将电容器的极板间距拉大。将电容器的极板间距拉大。(2) (2) 将均匀介质充入两极板之间。将均匀介质充入两极板之间。 (3) (3) 将一导体平板平行地插入两极板之间。将一导体平板平行地插入两极板之间。, d, EdU,0EE QUW21, C 试定性地讨论两板上的电荷、电容、极板之间电压、场强试定性地讨论两板上的电荷、电容、极板之间电压、场强和储存能量的变化。和储存能量的变化。, EdU0,EE QUW21, d, EdU,0EE QUW21, CQ不变，

35、不变，U可变！可变！, C例例7 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d相对介电常数为相对介电常数为 r ，内部均匀分布体电荷密度内部均匀分布体电荷密度为为 0的自由电荷。的自由电荷。求：介质板内、外的求：介质板内、外的D E P解：解：D EP 面对称面对称 平板平板r0dx0取坐标系如图取坐标系如图0 x0E处处以以 x = 0 处的面为对称面处的面为对称面过场点（坐标为过场点（坐标为x）作横截面为）作横截面为正方形的柱形高斯面正方形的柱形高斯面 S，设底面设底面积为积为S0 0Sxxd200022SxDSDx0 xd2dSDS0002Dd02xr0dx0

36、x0SEDr 0 00 xrPxrr10 xd2Dx0 xd2Dd02EDd00020P均匀场均匀场1. 带电为带电为Q的导体薄球壳（可看成球面）的导体薄球壳（可看成球面）, 半径为半径为R，壳内中心处有点电荷壳内中心处有点电荷q，已知球壳电势为，已知球壳电势为Ua，则壳内，则壳内任一点任一点P 的电势为的电势为rqUUaP04 对不对？对不对？【解解】根据电势叠加原理根据电势叠加原理0044PqQUrRqQRPrP点的电势为点的电势为第二章第二章 习题课习题课qQRPr0044PqQUrR0044aQqURR球壳球壳的电势为的电势为0044PaqqUUrR04PaqUUr0044aqQURR

37、为什么不对？为什么不对？原来原来Ua并不是并不是Q单独存在时的电势。单独存在时的电势。0044aqQURR?Q 04aQURq电势叠加：电势叠加：00000004444444PaaqQUrRURqqrRqqUrR（结果一样）（结果一样）方法二：方法二：方法三：方法三：RPPrRUE dlE dlE dl204RarqdrUr0044aqqUrR0044PaqqUUrR（结果相同）（结果相同）2. 2. 无限大均匀带电平面的电场中平行放一无限大金属平板，无限大均匀带电平面的电场中平行放一无限大金属平板， 0210 EEEE内内设金属板两面感应电荷面密度分别为设金属板两面感应电荷面密度分别为 1

38、和和 2 。由电荷守恒由电荷守恒: : 021 0222 020100 (1) (2) 联立联立 (1) 和和 (2) 可得可得: : 解解: : 0 1 1 2 2导体内场强由三个带电平面产生并且导体内场强由三个带电平面产生并且 = = 0 ： 2 , 2 0201 内内E 0 求：金属板两面的感应电荷面密度求：金属板两面的感应电荷面密度 。已知：带电平面的电荷面密度为已知：带电平面的电荷面密度为 0 。已知：金属球已知：金属球与金属球壳同心放置与金属球壳同心放置，球球的半径为的半径为 R R1、带电为带电为 q ；壳的半径分壳的半径分别为别为 R R2、R R3 带电为带电为 Q；求求:(

39、1):(1)电量分布；（电量分布；（2 2）场强分布；）场强分布； （3)3)球球 和和 球壳球壳 的电势的电势ABqqQ2R3R1R3 3q解解（1）电量均匀分布：球壳内）电量均匀分布：球壳内表面带电表面带电 -q ，外表面带电，外表面带电 Q+q（2 2）2 21 12 20 04 4RrRrqEA 3204BqQErRrErE = 0 （3) 3) 球的电势球的电势q1R3 32 21 10 04 41 1RQqRqRqU 球球3 30 04 4RQqU 壳壳1 10 01 14 4RqU2Rq2 20 02 24 4RqU qQ3R3 30 03 34 4RQqU q1R2RqqQ3R

40、3 30 03 34 4RQqU rqU0 02 24 4 rqU0 01 14 4 球壳的电势球壳的电势r4.4.一绝缘导体球不带电，距球心一绝缘导体球不带电，距球心 r r 处放一点电荷处放一点电荷+q+q，金属球半径金属球半径R R, ,求求:(1):(1)金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及 此时导体球的电势。此时导体球的电势。 (2)(2)若将金属球接地，球上的净电荷为何？若将金属球接地，球上的净电荷为何？o解：解：(1) (1) 如图如图+q+qrqEE0qEE20 4qrqEEer q-导体上感应电荷都在导体上感应电荷都在球表面，距球心

41、球表面，距球心R: :000444ioqqqUrRr电荷守恒电荷守恒qis 0o+q+qrqEq-E04400rqRqqrRq 接地接地 即即0U 设设: :感应电量为感应电量为O点的电势为点的电势为0 0 则则q(2) (2) 若将金属球接地，球上的净电荷为何？若将金属球接地，球上的净电荷为何？o+qrq-5. 今有两个电容值均为今有两个电容值均为C的电容器，其带的电容器，其带电量分别为电量分别为Q和和2Q，求两电容器在并联前，求两电容器在并联前后总能量的变化？后总能量的变化？CC+Q+2Q-2Q-Q前前C+3Q-3QC后后【解解】 并联前并联前222025222QQQWCCC并联后并联后电

42、容为电容为2C, 带电量为带电量为3QC+Q-QC+2Q-2Q后后221319224QQWCC2220159244QQQWWWCCC为什么能量减少了？能量到哪里去了？为什么能量减少了？能量到哪里去了？问题是：并联以后两个电容器上的问题是：并联以后两个电容器上的电量还是原来的分布吗？电量还是原来的分布吗？设设C+q1-q1C+q2-q2C+q1-q1C+q2-q2求求 q q1 1, ,q q2 2:123(1)qqQ12(2)qqCC由（由（2 2）得）得1232qqQ由（由（1 1）得）得12qqC+1.5Q-1.5QC+1.5Q-1.5Q原来是在电量的流动原来是在电量的流动过程中，电场的能

43、量过程中，电场的能量损失掉了一些。损失掉了一些。 6. 电路如图，电容电路如图，电容C1上带电上带电Q1，电容，电容C2不带电，不带电，闭合开关闭合开关，求电容，求电容C1和和C2各带电量多少，并讨各带电量多少，并讨论闭合前后的能量变化。论闭合前后的能量变化。 121QQQ解：解：2211CQCQ1212112111;QCCCQQCCCQ)(2;22121121CCQCQ比较等效电容的比较等效电容的QW、u7. 将两电容器串联、并联，分别充电到将两电容器串联、并联，分别充电到u2、u21C2Cu1C2CCUQ 221CUW 21CCC 并并2121CCCCC 串串u)CC(Q212 uCCCC

44、Q21211 uCCCC2121 221221u)CC(W 221211221)u()CC(CCW 142212121 )CC(CCWW212214CC)CC( u2u21C2C例例3、一个带电金属球、一个带电金属球半径半径R1，带电量，带电量q1 ，放在另一个带电球壳内，放在另一个带电球壳内，其内外半径分别为其内外半径分别为R2、R3，球壳带电量为，球壳带电量为 q 。试求此系统的电荷、。试求此系统的电荷、电场分布以及球与球壳间的电势差。电场分布以及球与球壳间的电势差。1R3R2R3q2q1q23qqq 由电荷守恒可得由电荷守恒可得021 qq由高斯定律可得由高斯定律可得由电荷分布和高斯定律及对称性可得由电荷分布和高斯定律及对称性可得解：设球壳内外表面电量：解：设球壳内外表面电量：q2,q32121 4RrRrqEo 高斯面高斯面r)11(441212121RRqdrrqUoRRoAB 321 4R