2019年重庆市预赛试题与解答

1、2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题（每小题8分，共64分）1 .设A为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合B x y|x, y A, x y,若B log 26, Iog2l0, Iog2l5,则集合 A 答案:1, log 2 3, log 25提示：设 A log 2 a, log2 b, log2 c,其中 0 a b c.则 ab 6, bc 10, ad 15.解得 a 2,b 3,c 5 ,从而 A 1,log23, log2 5。2 .函数？?？=（重+为 v?？ ？?）（ ,?+ ?）的最小值为？，最

2、大值为？，则 ?= .?-?答案：二一?提示：设?= v?+?+ v?7?贝U? ?坦?= ?+ ?，-?庄V? = (? ? ?,令？?= ?(? ?, ?矢v?A:.1-? ,?.?令? (?= ?导？ ? ?(v?)= V?- ? ? =?= ? V?2 ? ?= ? -?,3 . ?+ ?/?=.答案： ？g_8 一”？?？一OO ?学 ”?？?？?提 不 ：?+ ?/?= za+ ?/?= -Z7?+ 6?-?、%(？?？?？-?99?=()= ?.一4 .已知向量? ? ?满足 |? ：|? ：|?= ? ：? ：?(? ?),且？?- ?= ? ?,若？效? ? 的夹角，贝U ?

3、=.答案:? c” ? OO ? ”?提小：? ?= ? ? .?= -?+ -?.?= -?+ -?+ -？ ?+ -? (?,?)?|? :|? :|?|?= ?:?:? .?= ?+一.?又.？e ? .?= ?.?= 人？|?= |?= ? |?+ ?+ ?= ?则 |?| 的最小5 .已知复数？?？ ? ?疲彳#?为纯虚数, ?值是.答案：,2 1提示：设？?= ?+ ?+ ?则 |?|= ?由已知?一+? = ? ?部+ ?= ?.|?+?=(?+?为(？?？= ?+?)+?+?=?|?+?=V?2 2,|?= |?+?-?|?+?- |?=V?-?当Z11,Z2i,Z3-(1i)

4、时,最小值能取到。6 .已知正四面体可容纳 10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为 . 答案：？?+ ?/?提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为？此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球,且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为? :?所以正四面体的高?= v?= ?+ V? ?+ V? ?+ ? 得?= ?+ ?/? V ? V ? ,447 .设f(x)是定义在(0,)上的单调函数，对任意x 0有f(x) - , f (f(x) -) 3, xx则 f (8)答案：72)上的单调函数，这样的x00提示：由题意存在x0 0使f(xo) 3。又因(刈是(0,4& 4- 3 - x0

5、 x047f(8) 4 - -o8 2?点？(?？)则?面积的最4是唯一的，再由 f (f (x0) 一) 3 得 x0 f(x0)4解得x0 4或x01 (舍)。所以f(x) 4 -,x8 .已知?!圆?+ 亏=?的内接三角形，且大值为答案:?提示：经伸缩变换?= ? ? ?内接于圆?+ ?= ? ? ?过点？ (?么？?=?，设？?距？ ？的距离为？则？?w 2?, |? ? | = ?，-?,?!? ? 3?+?= ?,?+?+ ?+?3?+?= ?/?+?+?+?+?+?+?+?相喊得 =?+?.Y?；?为常数数列。 ?+?%+?+?+?+?+?- = ?？?+?= ?+? ?% 又?

6、 e?，？3?e ?(?矢？力10又. ？? ? .? 6?在？6 ?)(2) . ?x ?假设有？?,贝U ?。.15 法一：由?3?= ? ?= ? ?+?= ?+? ?得？3?三？?？,?？?？； (？ ?).?(? C?) . .?法二：?+?= ?+?+ ?.?+?三-?(? ?) 由费马小定理得？?三-?(? ?取盾.所以不存在？ e ?,使得?,得证20 分11.已知? ? ?= ?求证？?+ ?. ?注：可直接应用以下结论(1) ?K ?- ?(? ?) (2) ? = ?+ (?- ?, ? ?则只要证? ?- ?因为？ = ?=? ?0?所以只要证明：对满足?(?+ ? .(?善广? (? = ?勺？?有？?？ ? ?.5 分?令 ? (? = ? ?-?2 ?货？?-?= ?得？= ? 、 、, | 、J ,此时?= ?+ ?= ?x ?+ ?(?+ ? ?+? 一 _?市?？ ？?一?,10?+? c?-赤?在？ ？为? 2?一川? -