一般周期函数的傅立叶级数

1、2022-4-271第八节第八节 一般周期函数的傅立叶级数一般周期函数的傅立叶级数* *二二 傅立叶级数的复数形式傅立叶级数的复数形式一一 周期为周期为 的周期函数的的周期函数的 傅立叶级数傅立叶级数l 2三三 小结小结 思考判断题思考判断题2022-4-272一一 周期为周期为 的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数 ,2lT .2lT 定理定理式式为为则则它它的的傅傅里里叶叶级级数数展展开开定定理理的的条条件件满满足足收收敛敛的的周周期期函函数数设设周周期期为为,)(2xfl代入傅立叶级数中代入傅立叶级数中l2)sincos(210 xnbxnaannn ),sincos(2)(10

2、lxnblxnaaxfnnn 2022-4-273为为其其中中系系数数nnba ,)()1(为为奇奇函函数数时时当当xf则有则有,sin)(20dxlxnxflbln 其其中中), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln ), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln ,sin)(1 nnlxnbxf ), 2 , 1( n2022-4-274,)()2(为为偶偶函函数数时时当当xf则有则有dxlxnxflaln 0cos)(2 其其中中证明证明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为为周周期期以以 zF),sincos(2

3、)(10nzbnzaazFnnn ,cos2)(10 nnlxnaaxf ), 2 , 1 , 0( n2022-4-275)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其其中中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其其中中)()(xfzFlxz 定理得证定理得证.2022-4-276k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数.

4、解解., 2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 2002021021kdxdxa,k 2022-4-277 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n2022-4-278例例 2 2 将将函函数数 10510)( xxxf展展开开成成傅傅氏氏级级数数.解解,10 xz作变量代换作变量代换105 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的的定

5、定义义补补充充函函数数 zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作作周周期期延延拓拓然然后后将将,收敛定理的条件收敛定理的条件这拓广的周期函数满足这拓广的周期函数满足).()5, 5(zF内收敛于内收敛于且展开式在且展开式在 2022-4-279x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x2022-4-2710另一种解法另一种解法: : 15

6、55cos)10(51dxxnxan 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ), 2 , 1( n解解2022-4-2711 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n,10)1( nn 1555sin)10(51dxxnxbn2022-4-2712以以 为周期的函数的傅里叶级数为为周期的函数的傅里叶级数为),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn ), 2 , 1 , 0(cos)(1 ndxlxnxflalln ), 3 , 2 , 1(sin)(1 ndxlxnxflblln

7、 *二二 傅立叶级数的复数形式傅立叶级数的复数形式l 22022-4-2713代入欧拉公式代入欧拉公式,2cosititeet ,2sinieetitit )sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 10222nlxnilxninlxnilxnineeibeeaa 10222nlxninnlxninneibaeibaa2022-4-2714), 3 , 2 , 1( n 10)(nlxninlxnineCeCCxf ,200aC 记记,2nnnibaC ,2nnnibaC ,)(lxninneCxf 于是有于是有即为傅里叶系数的复数形式即为傅里叶系数的复数形式即得傅立叶级数的复数形

8、式即得傅立叶级数的复数形式), 2, 1, 0()(21 ndxexflClllxnin 2022-4-2715例例3 3 设设)(xf是是周周期期为为2的的周周期期函函数数,它它在在 )1 , 1 上上的的表表达达式式为为xexf )(,将将其其展展成成复复数数形形式式的的傅傅立立叶叶级级数数. 解解 1121dxeecxinxn 11)1(21dxexin coscos1121122 nenenin , 1sinh11)1(22 ninn 2022-4-2716.1sinh11)1()(22xinnneninxf ), 2, 1, 0, 12( kkx2022-4-2717三三 小结小结2.求傅立叶级数展开式的步骤求傅立叶级数展开式的步骤;(1).画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);(2).求出傅氏系数求出傅氏系数;1.1.以以2L为周期的周期函数的傅立叶系数为周期的周期函数的傅立叶系数,傅立叶傅立叶级数级数,相应奇函数相应奇函数,偶函数的偶函数的F-系数和级数系数和级数;(3).写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf2022-4-27183.(1)3.(1)傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式,)(lxninneC