概率论与数理统计ppt课件

1、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第三章第三章 n二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布n边缘分布与独立性边缘分布与独立性n两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布例如例如 E：抽样调查：抽样调查15-18岁青少年的身高岁青少年的身高 X与体重与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。 前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。 不过此时我们需要研究的不仅仅是不过此时我们需要研究的不仅仅是X及及Y各自的性各自的性质，质， 更

2、需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，关系。因此， 我们将二者作为一个整体来进行研究，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为记为(X, Y),称为二维随机变向量。称为二维随机变向量。 设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（ X，Y ）为上的一个二维随机变量。n定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X, Y)(X, Y)的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数假设假设X X，Y Y是随机变是随机变量，量，对于任意的实数对于任意的实数x,y.x

3、,y.( , ),F x yP Xx Yy称为二维随机变量的联合分布函数称为二维随机变量的联合分布函数(1)( , )F x yxy分别关于 和 单调不减(, )0Fy( ,)0F x (,)0F (,)1F (2) 0( , )1F x y(3) xy(x,y)x1x2y1y2 P Px1x1 X X x2x2，y1y1 Y Y y2y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率联合分布函数表示矩形域概率P Px1 x1 X X x2 x2，

4、y1 y1 Y Y y2 y2）F(x2,y2)F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x2,y1)-F(x1,y2)-F(x1,y2)+F(x1,y1)+F(x1,y1)二维离散型随机二维离散型随机变量变量 若二维若二维 随机变量随机变量 （X X，Y Y的所的所有可能取值只有限对或可列对，则称有可能取值只有限对或可列对，则称X X，Y Y为二维离散型随机变量。为二维离散型随机变量。如何反映如何反映X X，Y Y的取值规律呢？的取值规律呢？n研究问题研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。联想一维离散型随机变量的分布律。111ijijp YX1y2yjy1x11p12p1 jp2x21p22

5、p2 jpix1 ip2ipijp。.。.。. 。. 。. 。. 。. 。.。. 。. 。. 。. . 。. 。性质性质 01ijp, (1,2,;1,2,)ijijP Xx Yypij 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被取到的可能性相等.以、分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字， 求(, )X Y的联合分布列的联合分布列. (, )X Y的可能取值为的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2). ， (1/3) (1/3) (2/2) (2/2)1/31/3， ， (2/3) (2/3) (1

6、/2)(1/2)1/31/3， ，= (2/3) = (2/3) (1/2)(1/2)1/31/3， 1/31/31/3 例例解解 见书P69，习题1(, )X Y的可能取值为的可能取值为例例解解(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（，（2，0）11(, )(0,0),(, )( 1,1)6315(, )( 1,1 3),(, )(2,0)1212PX YPX YPX YPX Y （X，Y的的联合分布律为联合分布律为 y X011/301/600-101/31/1225/1200( ,)( , )xyF x yf u v dudv 则称则称(X,Y)(X,Y)是二元连续型随机

7、变量。是二元连续型随机变量。f fx x，y y称为二称为二元随机变量元随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度函数的联合概率密度函数. .二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量的联合概率密度 联合概率密度函数的性质联合概率密度函数的性质( ,)1fx y dxdy( ,)( ,)DPx yDf x y dn非负性非负性Dxy( , )f x y( , )0f x y n. .2( , )( , )F x yf x yx y n. .(,)1F 随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设二维随机变量设二维随机变量(, )X Y的概率密度为的概率密度为 (1)

8、确定常数确定常数 k； (23 ) 0,0( , ) 0 xykexyf x y其它(, )X Y (2) 求求的分布函数；的分布函数；04,01PXY(3)求； . P XY (4) 求求例例23 00 xykedxedy230011 23xykee6k (1)(23 ) 0 0 xykedxdy 116k ( , )f x y dxdy 所以所以 解解 ( , )( , )xyF x yf u v dudv (2)当当 时，时，0,0 xy或( , )0F x y 当当 时，时，0,0 xy且2300( , )6xyxyF x yedudv 23(1)(1)xyee 所以，所以，23(1)

9、(1), (0,0)( , ) 0 xyeexyF x y 其他 04, 01PXY(3) 1 4(23 ) 0 06xyedxdy 83(1)(1)0.95ee4 1或解或解 04, 01PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(4,1)F83(1)(1)0.95ee0,0 xyyx x0y( , )DP XYf x y dxdy(4)32310yyeedy35323310055yyedyedy ( , )x yf x y dxdy(23 )600 xyyedx dy224例例 已知二维随机变量已知二维随机变量X，Y的分布密度为的分布密度为 1(6), 02,24( , )8

10、0, xyxyf x y其他求概率求概率 (1)1,3 ;(2)3P XYP XY解解 1,3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8dxxy dy112320113(6)828yxyydx3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8xdxxy dy1232011(6)82xyxyydx524续解续解 .x+y=3 思索思索 已知二维随机变量已知二维随机变量X，Y的分布密度为的分布密度为 1(6), 02,24( , )8 0, xyxyf x y其他求概率求概率 41P XYX2241解答解答 41P XYX4,11P XYXP X241224121(6)8

11、1(6)8xdxxy dydxxy dy7 4873 818二维均匀分布二维均匀分布1,( , )( , )0,x yDf x yA其它设二维随机变量设二维随机变量 (, )X Y的概率密度为的概率密度为 DA(, )X YD上服从均匀分布上服从均匀分布.在在，则称，则称是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为其中其中 思索思索 已知二维随机变量已知二维随机变量X，Y服从区域服从区域D上的上的均匀分布，均匀分布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形所围成的三角形区域。求区域。求1分布函数；（分布函数；（2） 12P Y解解 （X,Y的密度函数为的密度函数

12、为 y=2x+1 -1/2 ( , ),F x yP Xx Yy（1当当 时，时，12x ( , )0F x yP 分布函数为分布函数为 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他y=2x+1 -1/2 （2当当 时，时，102x0( , )0,yf x y时，( , )0F x y 所以，021yx 时，( , )4F x ydxdy梯形42212ySyx 梯形21yx 时，( , )4F x ydxdy三角形21442Sx三角形y=2x+1 -1/2 （3当当 时，时，0 x 0( , )0,yf x y时，( , )0F x y 所以，01y 时，( , )4F x y

13、dxdy梯形4212ySy梯形1y 时，( , )4F x ydxdy三角形41S三角形所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为 21 0, (0)21221 , (0,021)2211( , )4, (0,21)2221, (0,01)2 1, (0,1)xyyyxxyxF x yxxxyyyxyxy 或0.5y=2x+1 -1/2 12P Y4dxdy梯形34二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 (, )X Y的概率密度为的概率密度为 12222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy (,)xy 1212, 120,0

14、, 11 其中其中均为参数均为参数 则称则称 (, )X Y服从参数为服从参数为 1212, 的二维正态分布的二维正态分布 221212(, )N 边缘分布边缘分布 marginal distribution(, )X Y 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。函数来描述其取值规律。( , ),F x yP Xx Yy 问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如

15、何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 边缘分布边缘分布 marginal distribution(, )X Y( , )F x y 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ， (, )X YXY依次称为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( )( ,)XFxF x( )(, )YFyFy( ),(, )YFyP YyP XYyFy 二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布,ijijP Xx Yyp,1,2,3,i j 如果二维离散型随机变量如果二维离散型随机变量X,Y的联合分布

16、律为的联合分布律为 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33ijjiipP Xxp二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布jijijpP Yyp关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布jijijpP Yyp关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.ijjiipP Xxp第

17、第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量X,Y的联合分布律为的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率 7/121/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率 5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y的联合分布列的联合分布列 二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布 ( )( ,)

18、( , )XxFxF xf u v dv du n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ( )( ,)Xfxf x y dyn关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ( )(, )( , )YyFxFyf u v du dvY的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 ( )( ,)Yfyf x y dxX的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 例例2 2 设设X, YX, Y的联合的联合密度为密度为01,13( , )0kxyxyf x y其它求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数12k ( )( , )Xfxf x y dy 311021kydyxdxk解解由

19、由 ( , )1dxf x y dy得得 0,1x当当 时时 31122( )Xfxxydyx 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113113( )0Xfx 20,1( )0Xxxfx其它1,3( )40Yyyfy其它解解所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Yfyf x y dx ( )0Yfy 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 0,1x当当 时时 1,3y当当 时时 1,3y当当 时时 10124( )Yyfyxydx 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度和概率的计算例例3设设X,

20、 Y) 的联合分布密度为的联合分布密度为 221( , )0kxyf x y 其它其它（1求求k值值(2) 求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度（3求概率求概率P(X+Y1/2)(2)( )( , )Xfxf x y dy 22111( )xXxfxdy均匀分布均匀分布解解 (1)由由 ( , )1f x y dxdy 2211xykdxdyk得得 1k 1,1x 当当 时时221x-11221 1,1( )0Xxxfx 其它 1,1x 当当 时时( )0Xfx 所以，关于所以，关于X的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11续解续解 . -11( )( , )Yfyf x y dx

21、 22111( )yYyfydx221 1,1( )0Yyyf y其它解解 1,1y 当当 时时 1,1y 当当 时时( )0Yfy 所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 221y1()( ,)2DP Xf x y dxdy(1)( , )DP XYf x y dxdy 解解 （3） 13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy 22111121xxdxdy见课本见课本P59P59例例3 3 如果二维随机变量如果二维随机变量X，Y服从正态分布服从正态分布 221212,N 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 2

22、11,XN 222,YN 与相关系数与相关系数 无关无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布例例4 设设X，Y的联合分布密度函数为的联合分布密度函数为 2221( , )(1 sin sin ), ,2xyf x yexyx y 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的分布密度函数为 ( )( , )Xfxf x y dy2221(1 sin sin )2xyexy dy22222211sin sin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212

23、xe22221sinsin2xyexeydy0,1XN所以，所以， 0,1YN同理可得同理可得 不同的联合分布，可不同的联合分布，可有相同的边缘分布。有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性( , )( )( )XYf x yfxfyn 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 ijijppp对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y

24、 Y的取值互不影响的取值互不影响时，我们就认为时，我们就认为X X与与Y Y是相互独立的，进而把上述定义式当是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用公式运用. . 在在X与与Y是相互独立的前提下，是相互独立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy设设X，Y的概率分布律为的概率分布律为证明：证明：X、Y相互独立。相互独立。例例1 1ijijppp 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 证证 XX与与Y Y的边

25、缘分布律分别为的边缘分布律分别为XX、Y Y相互独立相互独立111.1220ppp 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y121.2120ppp131.3420ppp212.1ppp 222.2ppp 232.3ppp 313.1ppp 323.2ppp 333.3ppp 例例2 2 设设X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为(23 )60 ,0( , )0 xyexyx y其他求求 (1) P(1) P0X1 0X1 ，0Y10Y1） (2) (X,Y)(2) (X,Y)的边缘密度，的边缘密度， （3 3判断判断X X、Y Y是

26、否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1 ，0y10y1） ( , )01,01( , )x yAPxyx y dxdy112323006(1)(1)xydxedyee11( )( , )Xxx y dy22, (0)( )0, (0)xXexxx 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为当当 时时0 x 2320( )62xyxXxedye当当 时时0 x ( ) 0Xx所以，所以， 同理可得同理可得 33, (0)( )0, (0)yYeyyy232,03,0( ),( )0 ,00 ,0 xyXYexeyxyxy(23 )6, (0,0)( )( )0,

27、 xyXYexyxy其它所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。(, )xy例例3 已知二维随机变量已知二维随机变量X，Y服从区域服从区域D上的均匀分上的均匀分 布，布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区所围成的三角形区 域。判断域。判断X，Y是否独立。是否独立。 解解 （X,Y的密度函数为的密度函数为 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他当当 时，时，102x210( )4xXfxdy4(21)x所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 14(21), (0)( )2 0, Xxxfx其它关于关于X的边缘分布密度为

28、的边缘分布密度为 ( )( , )Xfxf x y dy当当 或或 时时12x 0 x ( )0Xfx 当当 时，时，01y012( )4yYfydx2(1)y所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 2(1), (01)( ) 0, Yyyfy其它关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ( )( , )Yfyf x y dx当当 或或 时时0y 1y ( )0Yfy 18(21)(1),(0,01 )( )( )2 0, XYxyxyfxfy其它所以所以 ( , )f x y所以，所以，X与与Y不独立。不独立。 1,()()( , )0axb cydba dcf x y其他

29、( , )|,x yaxbcyd11( )( , )()()dXcfxf x y dydyba dcba a x b 1( )0Xfxbaotherwiseaxb 1( )0ycxydfycdotherwise 于是于是( , )( )( )XYf x yfxfy( )0Xfx ( , )x ab ( ) ( , )ZFzP ZzP g x yz设设 (, )X Y是二维随机变量是二维随机变量, , 其联合分布函数为其联合分布函数为 ( , ),F x y(, )Zg X Y是随机变量是随机变量 ,X Y的二元函数的二元函数 Zn 的分布函的分布函数数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变

30、量Z的分布呢？的分布呢？ 设设 (, )X Y是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, ,其联合分布列为其联合分布列为 , (1,2,;1,2,)iji jP Xa Ybpij(, )Zg X Y那么那么 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布列为 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jP Zg a bpij例例 设设 的联合分布列为的联合分布列为 (, )X Y YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分别求出分别求出1X+Y；（；（2X-Y；（；（3X2+Y-2的的分布列分布列解解 由由X X，Y Y的联合分布列可得如

31、下表格的联合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(, )X Y( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0)1( , 2)21( , 1)2(3, 2)(3,0)XYXY22XY 解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1

32、/121/123/122/121/122/122/12设设 (, )X Y是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, ,其联合分布密度为其联合分布密度为 (, )Zg X Y那么那么 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 ( )(, )ZFzP g X Yz( , ),f x y( , )zg x y是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 ( )( )ZZfzFz( , )( , )g x yzf x y dxdy例例 设二维随机变量设二维随机变量X, Y的概率密的概率密度为度为(2 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求

33、随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布密度函数的分布密度函数解解( )2ZF zP ZzP XYz0z 0P Zz0z (2 )2002z xzxyP Zzdxedy1zzeze 2( , )xy zf x y dxdy例例 设二维随机变量设二维随机变量X, Y的概率密的概率密度为度为(2 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数的分布函数00( )10ZzzzFzezez解解 所求分布函数为所求分布函数为 分布密度函数为分布密度函数为 00( )0Zzzfzzez见课本见课本P67P67例例1 1 假设假设X，Y的联合分布密度函数为的联

34、合分布密度函数为 f(x,y)，那么，那么Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 ( )( ,)Zfzf x zx dx( )(, )Zfzf zy y dy或或 特别，当特别，当X，Y相互独立时，有卷积公式相互独立时，有卷积公式 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx或或 ( )()( )ZXYfzfzy fy dy记记 住住 结结 论！论！1122()()()XPXYPYP n如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立(,)(,)( ,)XB mXYB mn pBppYn 211221212222(,)(,)(,)XNXYNYN 例例 证明：如果证明：如果X与与Y相互独立，且相互独

35、立，且XBn,p），）， YBm,p），则），则X+YBn+m,p）证明证明 X+Y所有可能取值为所有可能取值为 0，1，,m+n. 0,kiP XYkP Xi Yki0kiP XiP Yki0kiin ik ik im k inmiC p qCpq 0kik inmiknkmp qCCkknmkmnCp q证毕证毕 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征u数学期望数学期望u方差方差u* * 协方差与相关系数协方差与相关系数u大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理数学期望的引例数学期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expect

36、ation例如：某例如：某7人的高数成绩为人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为9085 280 2756071221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 数学期望数学期望E(X)1 12 2( ) kkkkkE Xpxp xp xp x () 1,2,kkP XxpkMathematical ExpectationMathematical Expectation定义定义 设离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为 u离散型随机变量离散型随机变量kkkp x 若若级级数数绝绝

37、对对收收敛敛， 则则称称此此级级数数为为随机变量随机变量X的数学期望，记作的数学期望，记作EX），即），即 XP41/451/261/4数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量已知随机变量X的分布律：的分布律：1 1223 3 ) (E Xp xp xp x例例 求数学期望求数学期望EX） 解解 111()4565424E X 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望E(X)E(X)() ( )E Xx f x dxu连续型随机变量连续型随机变量定义定义设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f (x), 那么那么( ) 若广义积分绝对收敛, 则称此积分为 若广义积

38、分绝对收敛, 则称此积分为的数学期望的数学期望xf x dxX 即即 数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量已知随机变量X的密度函数为的密度函数为例例 211( )101xf xxx()( )E Xxf x dx求数学期望。求数学期望。 解解 1121110010 xdxxdxxdxx 数学期望的意义 试验次数较大时，试验次数较大时，X的观测值的算术平均值的观测值的算术平均值 在在E(X)附近摆动附近摆动x()xE X数学期望又可以称为期望值数学期望又可以称为期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了随机变量反映了随机变量X取值的取值的“概率平均概率平均”,是

39、是X的的可能值以其相应概率的加权平均。可能值以其相应概率的加权平均。二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(, )( (), ( )E X YE XE Y.()iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p.( )jjjjjijjjjiE Yy P Yyy py p() ( ) ( ,),XE Xx fx dxx f x y dxdy() ( ) ( ,).YE Yy fy dyy f x y dxdy(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量设设(X,Y)(X,Y

40、)的联合密度为的联合密度为例例0,1,1,3( , )0kxyxyf x y 其其它它(1) 求求k(2) 求求X和和Y的边缘密度的边缘密度(3) 求求E(X), E(Y).14212kk 12k ( )( , )Xfxf x y dy 31122xydyx 20,1( )0Xxxfx 其它其它( , )1f x y dxdy (1)由由解解3110kydyxdx 所以所以所以所以得得1 11 13 30,1x (2)(2)( )( , )Yfyf x y dx 101124xydxy 1,3( )40其它yyyfy ()( )XE Xxfx dx （）（）()( )YE Yyfy dy 10

41、223xxdx 311346yydy 1,3y 1131 11 13 3()( ,)E Xxf x y dxdy （另解（另解10223xxdx 311346yydy 130112dxxxydy ()( , )E Yyf x y dxdy 311012dyyxydx 无需求无需求边缘分布密度函数边缘分布密度函数 随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理 1：一维情形：一维情形()Yg X 是随机变量是随机变量 X的函数的函数,1( ) ()()kkkE YE g Xg xp , 1,2,kkP Xxpk( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx ( )f x

42、概率密度为概率密度为X服从服从2 , 0sinYX上的均匀分布，求上的均匀分布，求的数学期望。的数学期望。 ( )sinsin E YEXx fx dx 1,0220,xf x；其它。 2 01sinsin02EXxdx由于由于 所以所以 例例 解解随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望 (,)(,)ijijijE g X Yg xyp 定理定理 2：二维情形：二维情形1 2, , ,ijijP Xx Yypi j (, )( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy ( , )f x y联合概率密度为联合概率密度为(,)Zg X Y 是随机变量是随机变量 X

43、， Y的函数的函数,离散型离散型 1 15 5)( , )E XYxyf x y dxdy 例例 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为的密度函数分别为 12 , (01)( )0, xxf x其它(5)2, (5)( ) 0, yeyfy其它求求EXY）解解 12( )( )xyf x fy dxdy 1(5)052ydxxyx edy12(5)052yx dxyedy4数学期望的性质数学期望的性质,X Y相互独立时相互独立时u当随机变量当随机变量 ()() ( )E XYE X E Y( )E CCu.C C 为常数为常数 ()()E CXCE Xu.()()( )

44、E XYE XE Yu.设设X,YX,Y在由在由4 4个点个点0 0，0 0）（）（3 3，0 0），（），（3 3，2),2),(0,2)(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).E(Y2),E(XY).3 30 02 26面积答案：答案：25(); ()3;2E XYE X243(); ()32E YE XY0-1分布的数学期望分布的数学期望X服从服从0-1分布，其概率分布为分布，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1- pXP0 11-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 的的0-

45、1分布，分布， 则则E(X) = p()0 (1)1E Xppp 分布律分布律数学期望数学期望If XB( n, p ), then E(X)= np(1)kknknP XkCpp 二项分布的数学期望二项分布的数学期望分布律分布律X X服从二项分布，其概率分布为服从二项分布，其概率分布为数学期望数学期望n二项分布可表示为二项分布可表示为个分布的和个分布的和1niiXX0, 1iAiXAi在第 次试验中不发生， 在第 次试验中发生11()()()nniiiiE XEXE Xnp 其中其中 那么那么 泊松分布的数学期望泊松分布的数学期望If , then ( )XP()E X()!kP Xkek分

46、布律分布律数学期望数学期望101()!(1)!kkkkE Xkeekk(1)kt 0!ttee et1()0axbfxba 其其 它它均匀分布的期望均匀分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望 ()2( )baxxf x dxdxE Xbbaa X N (，2）正态分布的期望正态分布的期望分布密度分布密度222)(21)(xexf数学期望数学期望22()2()12xxedxE X221()2ttedtxt0( )00 xexfxx指数分布的期望指数分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望0()xxf x dExx edxX 00 01|xxxxeedxe 1数学期望在医学上的一个应用数学期

47、望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每1010个人一组，把这个人一组，把这1010个人的血液样本混合起来进行化验。如果个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则结果为阴性，则1010个人只需化验个人只需化验1 1次；若结果为阳性，则需对次；若结果为阳性，则需对1010个人在逐个化验，总计化验个人在逐个化验，总计化验1111次。假定人群中这种病的患病次。假定人群中这种病的患病率是率是10%10%，且每人患病与否是相互独

48、立的。试问：这种分组化，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的设随机抽取的10人组所需的化验次数为人组所需的化验次数为X我们需要计算我们需要计算X的数学期望，然后与的数学期望，然后与10比较比较 化验次数化验次数X的可能取值为的可能取值为1，11先求出化验次数先求出化验次数X的分布律。的分布律。(X=1)=“10人都是阴性人都是阴性”（X=11)=“至少至少1人阳性人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注

49、意求注意求 X期望值的期望值的步骤！步骤！10101(1 0.1)0.9P X 10111 0.9P X 1010() 0.91(1 0.9 ) 117.51310E X 1、概率、概率p对是否分组的影响对是否分组的影响问题的进一步讨论问题的进一步讨论若若p=0.2，那么，那么当当p0.2057时，时，E(X)10() 0.91 (1 0.9 ) 11 10nnE X 1010() 0.81 (1 0.8 ) 119.9262E X 2、概率、概率p对每组人数对每组人数n的影响的影响 21.86n 当当p=0.2时，可得出时，可得出n10.32，才能保证，才能保证EX10.当当p=0.1时，为

50、使时，为使 例例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为为p1p1和和p2.p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2p1 + p2设产生故障的仪器数目为设产生故障的仪器数目为X X则则X X的所有可能取值为的所有可能取值为0 0，1 1解解12(0)(1- )(1- )P Xpp1212(1) (1- ) (1- ) P Xpppp12(2) P Xp p121212() (1- ) (1- ) 2 E Xppppp p12 pp所以所以 方方 差差 的的 引引 入入E( X1 )=5 X2P

51、 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E( X2 )=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：设有两种球形产品，其直径的取值规律如下： 两种产品的直径均值是相同的，但产品两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，的偏差大，如果需要使用直径为如果需要使用直径为5的产品，则产品的产品，则产品1较产品较产品2理想。理想。方差方差Variance的定义的定义u 定义定义 2()()D XE XE X u均方差标准差）均方差标准差） ()()XD X与与 X有相同的量纲有相同的量纲()D X()Var XX 设设 是一随机变量，假设是一

52、随机变量，假设 存在，则称存在，则称为为 的方差，记作的方差，记作 或或 2()E XE X X即即 方差的计算公式方差的计算公式22()() ()D XE XE XProof.2()() D XEXE X222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X一维随机变量的方差一维随机变量的方差设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为()kkP Xxp1, 2, ,k 222()()kkkkkkD Xpxxpu离散型离散型u连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布密度为的分布密度为 f (x)()E

53、X 其中其中 222()()( )( )D Xxf x dxx f x dx方方 差差 的的 计算计算E( X1 )=5 X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E( X2 )=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4例例 设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：设有两种球形产品，其直径的取值规律如下： 求求D(X1) ,D(X2) 解解 2221111()(45)(55)(65)0.5424D X222222111()(25)(35)(55)88211 (75)(85)3.2588D X0-1分布的方差分布的方差()E Xp222()10(1)E Xppp222(

54、)()()D XE XE XpppqXP0 11-p pu分布律分布律u方差方差1-qp其中其中 二项分布的方差二项分布的方差If X B ( n, p ) , then D ( X ) = n p ( 1- p )u分布律分布律u方差方差(1)kknknP XkCpp X B ( n, p )22()(1)E Xn npnp()E Xnp22()() ()(1)D XE XE Xnppnpq1-qp其中其中 推导？推导？泊松分布的方差泊松分布的方差If ( ),XPthen ()D Xu分布律分布律u方差方差()!kP Xkek()E X22()E X22()() ()D XE XE X推导

55、？推导？1()()2E Xab1()0axbfxba 其其 它它均匀分布的方差均匀分布的方差u分布密度分布密度u方差方差2322 2 ()3()3bbaaxxaabbE Xdxbaba222()1()()1(2)E XE XD Xba 正态分布的方差正态分布的方差u分布密度分布密度u方差方差2( ,)XN ()E X22()221()2()xxedxD X22222tt edt222222ttt eedt2xt0( )00 xexf xx指数分布的方差指数分布的方差1()E Xu分布密度分布密度u方差方差 +22 0()xE Xxedx2222221() ()1()E XD XE X +20

56、02xxx exedx +0 02xxxeedx 02222xe常见分布及其期望和方差列表常见分布及其期望和方差列表P84 分布名称分布名称 数学期望数学期望EX） 方差方差DX） 0-1分布分布 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布 正态分布正态分布 指数分布指数分布 ppqnpnpq2ab2()12ba1221()()EXxfx dx方差的计算步骤方差的计算步骤Step 1: 计算期望计算期望 E(X)1 12 2 ( )k kkkkE Xpxp xp xp xStep 2: 计算计算 E(X2)22()( )E Xx f x dx222221 12 2 ) (k kkkk

57、E Xpxp xp xp xStep 3: 计算计算 D(X)22()() ()D XE XE X离散型离散型 连续型连续型 离散型离散型 连续型连续型 方差的性质方差的性质()()( )D XYD XD Y,X Y相互独立时相互独立时 u 当随机变量当随机变量22()() ()D XYE XYE XY222(2) ()( )E XYE XYXYE2222() ()() ( )E XE XE YE Y()( )D XD Y( )0D C C C 为常数为常数u 2()( )D aXa D Xu a为常数为常数证明证明 二维随机变量的方差二维随机变量的方差u(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离

58、散型随机变量 (, )(),( )D X YD XD Y22.( )( )( )iiiiiiD XxE XP XxxE Xp 22.( )( )( )jjjjjjD YyE YP YyyE Yp2( )iijijxE Xp2( )jijjiyE Yp二维随机变量的方差二维随机变量的方差(, )(),( )D X YD XD Y2( )( )( )XDXx E Xf xdx u(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量 2( )( )( )YDYy EYf y dx 2( )( , )x E Xf x ydxdy 2( )( , )y EYf x y dxdy 是两个相互独立的随机变量，

59、其概率密度是两个相互独立的随机变量，其概率密度12,XX分别为分别为., 10, 0,2)(1其它xxxf., 5, 0,)(52其它）（xexfx求求12()D XX.解解 由于由于 相互独立，所以相互独立，所以 12,XX1212()()()D XXD XD X而而 11()( )E Xxf x dx10223xxdx22()( )E Xyfy dy(5)56yy edy2211()( )E Xx f x dx120122xxdx2222()( )E Xy fy dy2(5)5yyedy2(5)(5)552yyyey edy (5)(5)552522yyy eedy(5)535237ye所

60、以所以 21121()2318D X22()3761D X12119()11818D XX 例例 某地出产的某品种的苹果的总量某地出产的某品种的苹果的总量X服从正态分服从正态分布。若布。若E(X)=148, D(X)=162.写出写出X的分布律和概的分布律和概率密度，并用积分表示率密度，并用积分表示(135)P X 2(148,16 )XN22(148)2 161( )16 2xf xe22(148)1352 161(135)16 2xP Xedx解解 若随机变量若随机变量X服从均值为服从均值为2，方差为，方差为2的正态的正态分布，且分布，且P2X4=0.3,求求PX0。所以所以 2(2,)X