平面应力与平面应变ppt课件

1、要点要点 建立平面问题的根本方程建立平面问题的根本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边境条件的描程；变形协调方程；边境条件的描画；方程的求解方法等画；方程的求解方法等3.1 3.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题1. 平面应力问题平面应力问题(1) 几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力膂力、面力和约束，仅平行于

2、板面作用，外力膂力、面力和约束，仅平行于板面作用，沿沿 z 方向不变化。方向不变化。xyyztba(3) 应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面如图选取坐标系，以板的中面为为xy 平面，垂直于中面的任不断线平面，垂直于中面的任不断线为为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。0z0zx可以为整个薄板的可以为整个薄板的各点都有：各点都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx结论：结论：平面应力问题只需三个应力分量：平面应力问题只需三个应力分量：),

3、(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。2. 平面应变问题平面应变问题(1) 几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何多，且沿长度方向几何外形和尺寸不变化。外形和尺寸不变化。 近似以为无限长近似以为无限长(2) 外力特征外力特征 外力膂力、面力平行于横截面外力膂力、面力平行于横截面作用，且沿长度作用，且沿长度 z 方向不变化。方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z

4、 方向不变化。方向不变化。(3) 变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限长，那方向为无限长，那么么, u, x, x沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。 任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝由于任一横截面均可视为对称面，那么由于任一横截面均可视为对称面，那么有有0w一切各点的位移矢量都平行于一切各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平面位移问题0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxy

5、yxxy 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。 如下图三种情形，能否都属平面问题？是平面如下图三种情形，能否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题3. 平面问题的求解平面问题的求

6、解问题：问题： 知：外力膂力、面力、边境条件，知：外力膂力、面力、边境条件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：1静力学关系：静力学关系：2几何学关系：几何学关系：3物理学关系：物理学关系：形变与应力间的关系。形变与应力间的关系。应力与膂力、面力间的关系；应力与膂力、面力间的关系；形变与位移间的关系；形变与位移间的关系；建立边境条件：建立边境条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程1应力边境条件；应力边境条件；2位移边境条件；位移边境条件；3-2 平面问题根本方程平面问题根本方程xyxyxyP

7、BACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyydxxxyxy 3.2.1 3.2.1 平衡微分方程平衡微分方程xyxyxyPBACxyO取微元体取微元体PABCP点附近，点附近，dxPA dyPB DXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取单位长度。设设P点应力知：点应力知：yxxyyx,膂力：膂力：X ，YAC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdyyyxyx222)(! 21dxxdxxxyxyxydxxxxBC面：面：dxxxyxydyyyy 注：注： 这里用了小变形假定，以变形前这里用了小变形假定，以变形前的尺寸替代变形后尺寸。的尺寸替

8、代变形后尺寸。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得 0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyx整理得：整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy当当0, 0dydx时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy0 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Xyxyxx0yF1)

9、(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Yxyxyy平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx2阐明：阐明：1两个平衡微分方程，三个未知量：两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，需找补充方程才干求解。超静定问题，需找补充方程才干求解。2对于平面应变问题，对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程一样，方向的平衡方程一样，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；3平衡方程中不含平衡方程中不含E、，方程与资料性质无关

10、，方程与资料性质无关钢、石料、混凝土等；钢、石料、混凝土等；4平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边境。平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边境。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy3.2.2 3.2.2 斜面上的应力斜面上的应力 主应力主应力1. 斜面上的应力斜面上的应力1斜面上应力在坐标方向的分量斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxy设设P点的应力分量知：点的应力分量知：yxxyyx,斜面斜面AB上的应力矢量上的应力矢量: s 斜面外法线斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：的关于坐标轴的方向余弦： m

11、yN),cos(lxN),cos(ldsdymdsdx由微元体平衡：由微元体平衡： , 0 xF0111dsYdydxNxyy0111dsXdxdyNyxx整理得：整理得： xyyNlmY30111dsXmdsldsNyxxyxxNmlX, 0yF整理得：整理得： 4外法线外法线 xyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxy2斜面上的正应力与剪应力斜面上的正应力与剪应力NNNNNmXlY NNNmYlXxyyNlmYyxxNmlX34将式将式2-32-4代入，并整理得：代入，并整理得：xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(2256阐明：阐明：1运用了剪应力互等定理：运用了剪应力

12、互等定理：yxxy2 的正负号规定的正负号规定N 将将 N 转动转动90而到达而到达 的方向是顺时针的，的方向是顺时针的，那么该那么该 为正；反之为负。为正；反之为负。NN 恣意斜截面上应力计算公式恣意斜截面上应力计算公式3假设假设AB面为物体的边境面为物体的边境S，那么那么YYNXXNYlmXmlsxysysxysx)()()()(18 平面问题的应力边境条件平面问题的应力边境条件2. 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxyNNNNNmXlY NNNmYlX1主应力主应力 假设某一斜面上假设某一斜面上 ，那么该斜面上的，那么该斜面上的正应

13、力正应力 称为该点一个主应力称为该点一个主应力 ；0NN当当 时，有时，有0NsNmYlXNNxyyNlmYyxxNmlXmlmxyylmlyxx求解得：求解得：yyxlmyxxlm0)()(22xyyxyx222122xyyxyx7 平面应力形状主应力的计算公式平面应力形状主应力的计算公式主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为主平面；称为主平面；主应力主应力 所在平面的法线方向所在平面的法线方向 称为应力主向；称为应力主向；由式由式7易得：易得：yx21I 平面应力形状应力第一不变量平面应力形状应力第一不变量2应力主向应力主向yyxlmyxxlm 设设1 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1，

14、 1与坐标轴正向与坐标轴正向的方向余弦为的方向余弦为 l1、m1，那么，那么2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或 设设2 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，那么，那么1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1xyx2)(1yxy或应力主向的计算公式：应力主向的计算公式：yxyxyx2211tantan8由由yx21得得)(12xyxxy12tan1tantan21显然有显然有阐明：阐明：1 与与 2 相互垂相互垂直。直。结论结论任一点任一点P，一定存在两，一定存在两 相互相

15、互垂直的主应力垂直的主应力1 、 2 。3N 的主应力表示的主应力表示xyOsNN2dxdydsPABN1由由xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(222212mlN)(12 lmN2212)(l1 与与 2 分别为最大和最小分别为最大和最小应力。应力。4最大、最小剪应力最大、最小剪应力由由)(12 lmN)1 (2lm122ml)(21411222lN)(1122llN)(1242llN显然，当显然，当)21(0212ll时，时，N为最大、最小值：为最大、最小值：221minmax由由21l得，得，max、 min 的方向与1 2 成45。xyOdxdydsPABN12sNN小结

16、：小结：xyyNlmYyxxNmlX34xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(2256YlmXmlsxysysxysx)()()()(18 平面问题的应力边境条件平面问题的应力边境条件2212mlN)(12 lmN2212)(l1斜面上的应力斜面上的应力yxyxyx2211tantan8阐明：阐明：1 与与 2 相互垂直。相互垂直。2一点的主应力、应力主向、最一点的主应力、应力主向、最大最小应力大最小应力222122xyyxyx7221minmaxmax、 min 的方向与1 2 成45。3.2.3 3.2.3 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移建立：平面问题中应变与位移的关系建立

17、：平面问题中应变与位移的关系 几何方程几何方程1. 几何方程几何方程一点的变形一点的变形线段的伸长或缩短；线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；线段间的相对转动；xyOP调查调查P点邻域内线段的变形：点邻域内线段的变形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA变形前变形前变形后变形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪

18、应变：P点两直角线段夹角的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxyxyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx几何方程几何方程9阐明：阐明：1反映任一点的位移与该点应变间的反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的根本方程之一。关系，是弹性力学的根本方程之一。2当当 u、v 知，那么知，那么 可完全确定；反之，知可完全确定；反之，知 ，不能确定不能确定u、v。xyyx,xyyx,积分需求确定积分常数，由边境条件决议。积分需求确定积分常数，由边境条件决议。3xy 以两线段夹角减小为正，增大为负

19、。以两线段夹角减小为正，增大为负。2. 刚体位移刚体位移物体无变形，只需刚体位移。物体无变形，只需刚体位移。 即：即： ,0, 0, 0时当xyyxxvxfyuyf0201)()(0 xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： )()(21xfvyfu(d)将将(d)代入代入(c)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydf或写成：或写成： dxxdfdyydf)()(21上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，的函数，右边仅右边仅 x 的函数，的函数，两边只能等两边只能等于同一常数，即于同一常数，即 dyydf)(1(d)积分积分(e) ，得：

20、，得： dxxdf)(2(e)其中，其中，u0、v0为积分常数。为积分常数。 x、y方向的刚体位移，代入方向的刚体位移，代入d得得:(2-10)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式讨论：讨论： (2-10)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式12222yxvu,0, 00时当vu仅有仅有x方向平移。方向平移。2, 0,0vuu则,0, 000时当uv仅有仅有y方向平移。方向平移。, 0,0uvv则3,0, 000时当uvxvyu则xyOPyxrrxyxyxytantan阐明：阐明：OPr P点沿切向绕O点转动 绕O点转过的角度刚性转动3.2.4 3.2.4 斜方向的应变及位

21、移斜方向的应变及位移1. 斜方向的正应变斜方向的正应变N问题：问题：知知 ，求恣意方向，求恣意方向的线应变的线应变N 和线段夹角的变和线段夹角的变化。化。xyyx,xyOP(x,y)N 设设 P 点的坐标为点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为点的坐标为x+dx，y+dy，PN 的长度为的长度为 dr，PN 的的方向余弦为：方向余弦为：myPNlxPN),cos(,),cos(于是于是PN 在坐标轴上的投影为：在坐标轴上的投影为：mdrdyldrdx,P1N1N 点位移：dyyvdxxvvdvvvNdyyudxxuuduuuN 变形后的变形后的P1N1在坐标方向在坐标方向的投影：的投影：dyy

22、vdxxvdyvvdyNdyyudxxudxuudxN 设设PN变形后的长度变形后的长度 P1N1=dr， PN 方向的应变为方向的应变为N ，由应变，由应变的定义：的定义：vudrdrrdNdrdrrdN或22drdrrdN22)()(dyyvdxxvdydyyudxxudx两边同除以两边同除以 (dr)2，得，得222)1 (drdyyvdrdxxvdrdydrdyyudrdxxudrdxN2211xvlyvmyumxul化开上式，并将化开上式，并将yvxvyuxuN,的二次项略去，有的二次项略去，有xvlmyvmyulmxulN2)21 (2)21 (2122xyOP(x,y)NvuP1

23、N1drrd xvyulmyvmxulml2222222xvlmyvmyulmxulN2)21 (2)21 (2122xyyxNlmml22112. P点两线段夹角的改动点两线段夹角的改动yxxy1xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr变形前：变形前：ml,PN 的方向余弦ml,PN 的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦P1N1 的方向余弦11,ml11,mlmml lcos11111cosmml l2. P点两线段夹角的改动点两线段夹角的改动xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr变形前：变形前：ml,PN 的方向余弦ml,PN 的

24、方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦P1N1 的方向余弦11,ml11,ml),cos(111xNPl )1 (Ndrdyyudxxudx),cos(111yNPm )1 (NdrdyyvdxxvdyldrdxmdrdyNN1)1 (1利用：利用：化简，得：化简，得：yumxullN11xvlyvmmN11略去二阶小量；略去二阶小量；2. P点两线段夹角的改动点两线段夹角的改动xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr变形前：变形前：ml,PN 的方向余弦ml,PN 的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦P1N1 的方向余弦11,ml11,mlyumxul

25、lN11xvlyvmmN11同理，得：同理，得：yumxullN11xvlyvmmN11PN 与 PN变形后的夹角改动为：1mml lcos11111cosmml l代入，并利用：代入，并利用：1cos)(mml lNN1)(2yxmml lxymlml)(并略去高阶小量，有并略去高阶小量，有xvyuyvxuxyyx,cos2. P点两线段夹角的改动点两线段夹角的改动xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr变形前：变形前：ml,PN 的方向余弦ml,PN 的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦P1N1 的方向余弦11,ml11,mlPN 与 PN变形后的夹角改动

26、为：1mml lcos11111cosmml l1cosNN1)(2yxmml lxymlml)(cos12从中求出变形后两线段间的夹角从中求出变形后两线段间的夹角,1进一步求出进一步求出13. 斜方向应变公式的运用斜方向应变公式的运用3. 斜方向应变公式的运用斜方向应变公式的运用1知一点的应变知一点的应变 ，可计算恣意方向的应，可计算恣意方向的应变变 。 的最大值、最小值。主应变、主应变的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。方向等。xyyx,NN2知一点恣意三方向的应变知一点恣意三方向的应变 ，可求得该，可求得该点的应变分量点的应变分量 。321,NNNxyyx,xyyxNxyyxNxyy

27、xNmlmlmlmlmlml332323322222221121211xy453N1N2N假设假设 用用45应变花测构件外表应变：应变花测构件外表应变：2233 ml0, 111ml1,022ml2132NNNxy1Nx2Nyxyyx,120120120假设假设 用用120应变花测构件外表应变，即：应变花测构件外表应变，即：xy1N2N3N求得该点的应变分量求得该点的应变分量:321,NNNxyyx,作为作业！作为作业！xyyx,3.2.5 3.2.5 物理方程物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构

28、方程、本构关系、物性方程。1. 各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为资料在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为资料力学中的广义虎克力学中的广义虎克Hooke定律。定律。)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG113其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又称泊松比。)1 (2EG1平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于

29、平面应力问题中由于平面应力问题中)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (215 平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程注：注：(1) 0z)(yxzE(2) 物理方程的另一方式物理方程的另一方式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (20zxyzz2平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中由于平面应变问题中)1(12yxxExyxyE)1 (216 平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程注：注：(2) 平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一方式：物理方程的另一方式：)1(12xyyE由式由式2-13第三式，得第三式，得)(1yxzzE)(1z

30、xxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG113)(yxz0zxyzz(1) 平面应变问题中平面应变问题中0z，但，但0z)(yxz3两类平面问题物理方程的转换：两类平面问题物理方程的转换：)1(12yxxExyxyE)1 (216 平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程)1(12xyyE)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程15(1) 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题资料常数的转换为：资料常数的转换为：1(2) 平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题资料常数的转换为：资料常数的转换为：21

31、 E12)1 ()21 (EEE3.2.6 3.2.6 边境条件边境条件1. 弹性力学平面问题的根本方程弹性力学平面问题的根本方程1平衡方程：平衡方程：00YyxXyxyxyyxx22几何方程：几何方程：yuxvyvxuxyyx93物理方程：物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (215未知量数：未知量数：vuxyyxxyyx,8个个方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的边境条件下，上述在适当的边境条件下，上述8个方程可解。个方程可解。2. 边境条件及其分类边境条件及其分类边境条件：边境条件：建立边境上的物理量与内部物理量间的关系。建立边境上的物理量与内部物理量间的关系。x

32、yOqPuSSuSSS是力学计算模型建立的重要环节。是力学计算模型建立的重要环节。边境分类边境分类1位移边境位移边境SuS2应力边境应力边境3混合边境混合边境 三类边境1位移边境条件位移边境条件位移分量知的边境位移分量知的边境 位移边境位移边境 用用us 、 vs表示边境上的位移分量，表示边境上的位移分量， 表表示边境上位移分量的知函数，那么位移边境条件示边境上位移分量的知函数，那么位移边境条件可表达为：可表达为：vu,vvuuss17阐明：阐明：,0时当 vu称为固定位移边境。称为固定位移边境。xyOqPuSSuSSS2应力边境条件应力边境条件给定面力分量给定面力分量 边境边境 应力边境应力

33、边境YX,xyOdxdydsPABXNYNNyxxyxy由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得xyyNlmYyxxNmlX式中取：式中取：YYXXNN,sxyxysyysxx,得到：得到：YlmXmlsxysysxysx)()()()(18式中：式中：l、m 为边境外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如：垂直垂直 x 轴的边境：轴的边境：. 1, 0ml垂直垂直 y 轴的边境：轴的边境：. 0, 1mlYXsxysx,XYsyssy,例例1 如下图，试写出其边境条件。如下图，试写出其边境条件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2), ax 0, 1mlYlmX

34、mlsxysysxysx)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0) 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq阐明：阐明：x = 0 的边境条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：. 0, 0vu0, 0YXqYX , 00, 0YX内容回想：内容回想：1.两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应力特征。应力特征。几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变特征。应变特征。yxxyyx,yxxyyx,xyyz

35、tba水水坝坝滚滚柱柱位移边境条件位移边境条件2.平面问题的根本方程：平面问题的根本方程：1平衡方程：平衡方程：00YyxXyxyxyyxx22几何方程：几何方程：yuxvyvxuxyyx93物理方程：物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2154边境条件：边境条件：12YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,应力边境条件应力边境条件平面应力问题平面应力问题例例2 如下图，试写出其边境条件。如下图，试写出其边境条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段y = 0：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入边境条件公式，有代入边境条件公式，有0)sin(

36、cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2) BC段x = l：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu(3)AC段y =x tan :sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxN例例3 图示水坝，试写出其边境条件。图示水坝，试写出其边境条件。左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyY cosyX 由应力边境条件公式，有由应力边境条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右侧面：右侧面：sin,

37、cosmltanyxtanyx 0YX0cossinxyyx0sincosxyx例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解：解： 平面应力问题，在 AC、AB 边境上无面力作用。即0YXAB 边境：111sin,cosml由应力边境条件公式，有由应力边境条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx1AC 边境：12122sincoscosml代入应力边境条件公式，有代入应力边境条件公式，有0cossin0sincos1

38、111xyyxyx2A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边境，的边境，满足式满足式1和和2，解得，解得0 xyyx A 点处无应力作用点处无应力作用例例5图示楔形体，试写出其边境条件。图示楔形体，试写出其边境条件。图示构件，试写出其边境条件。图示构件，试写出其边境条件。例例6例例5图示楔形体，试写出其边境条件。图示楔形体，试写出其边境条件。0YXsin)90cos(lYlmXmlsxysysxysx)()()()(cos)180cos(m上侧：上侧：0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下侧：下侧：, 0X0l1mqYqsysxysxysx) 1()(0)(0)

39、 1()(0)(0)(sxyqsy)(图示构件，试写出其应力边境条件。图示构件，试写出其应力边境条件。例例6上侧：上侧：, qX 0l1m0Y0) 1()(0)() 1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(syYlmXmlsxysysxysx)()()()(, 0X,sin)90cos(lcosm下侧：下侧：NpYpsysxysxysxcos)(sin()(0cos)()sin()(3混合边境条件混合边境条件(1) 物体上的一部分边境为位移边境，另一部为应力边境。物体上的一部分边境为位移边境，另一部为应力边境。(2) 物体的同一部分边境上，其中一个为位移边境条件，另物体的同一部分

40、边境上，其中一个为位移边境条件，另一为应力边境条件。如：一为应力边境条件。如：图图(a)：0Ysxy 位移边境条件位移边境条件 应力边境条件应力边境条件图图(b)：0sx0 uus0 vvs 位移边境条件位移边境条件 应力边境条件应力边境条件平面问题的根本方程平面问题的根本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程00YyxXyxyxyyxx22. 几何方程几何方程yuxvyvxuxyyx93. 物理方程物理方程平面应力问题平面应力问题)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2154. 边境条件边境条件位移：位移：vvuuss17应力：应力：YlmXmlsxysysxysx)()()()(183

41、.2.7 3.2.7 圣维南原圣维南原理理问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形变分量、位移分量完全满足8个根本个根本方程相对容易，但要使边境条件完全满方程相对容易，但要使边境条件完全满足，往往很困难。足，往往很困难。 如下图，其力的作用点处的边境条如下图，其力的作用点处的边境条件无法列写。件无法列写。1. 静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，假设它们的主矢量、主矩相等，那么两个力两个力系，假设它们的主矢量、主矩相等，那么两个力系为静力等效能系。系为静力等效能系。)(iOOFmMiFR 这种等效只是从平衡

42、的观念而言的，对刚体来而言完全正确，但对变这种等效只是从平衡的观念而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言普通是不等效的。形体而言普通是不等效的。2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：假设把物体的一小部分边境上的面力，变换为分假设把物体的一小部分边境上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著改动，而远处所受的影响可忽略不计。将有显著改动，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP3.圣维南原理的运用圣维南原理的运用(1) 对复杂的力边境，用静力等效的分布面力替代

43、。对复杂的力边境，用静力等效的分布面力替代。(2) 有些位移边境不易满足时，也可用静力等效的分布面力替代。有些位移边境不易满足时，也可用静力等效的分布面力替代。本卷须知：本卷须知：(1) 必需满足静力等效条件；必需满足静力等效条件；(2) 只能在次要边境上用圣维南原理，在主要边境上不能运用。只能在次要边境上用圣维南原理，在主要边境上不能运用。如：如：AB主要边境主要边境PAP次要边境次要边境例例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边境条件。水坝的应力边境条件。左侧面：左侧面：0, 1ml0YXYl

44、mXmlsxysysxysx)()()()(代入应力边境条件公式代入应力边境条件公式0hxxyhxxy右侧面：右侧面：0, 1ml0,YyX代入应力边境条件公式，有代入应力边境条件公式，有00hxxyhxx上端面：上端面：为次要边境，可由圣维南原理求解。为次要边境，可由圣维南原理求解。y方向力等效：dxyhhy0)(sinP对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx留意：留意：xyy,必需按正向假设！必需按正向假设！yPxyyx上端面：上端面： 方法方法2取图示微元体，取图示微元体，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhy

45、y0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可见，与前面结果一样。可见，与前面结果一样。留意：留意：xyy,必需按正向假设！必需按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，3.2.8 3.2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的根本方程弹性力学平面问题的根本方程1平衡方程：平衡方程：00YyxXyxyxyyxx22几何方程：几何方程：yuxvyvxuxyyx93物理方程：物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2154边境条件：边境条件：12Y

46、lmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,2.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法1按位移求解位移法、刚度法按位移求解位移法、刚度法以以u、v 为根本未知函数，将平衡方程和边境条件都用为根本未知函数，将平衡方程和边境条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。与形变分量。2按应力求解力法，柔度法按应力求解力法，柔度法以应力分量以应力分量 为根本未知函数，将一切方程都用应力分为根本未知函数，将一切方程都用应力分量表示，并求出应力分量量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出，再由几

47、何方程、物理方程求出形变分量与位移。形变分量与位移。3混合求解混合求解以部分位移分量以部分位移分量 和部分应力分量和部分应力分量 为根本未知函数，将，为根本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其他未知量。并求出这些未知量，再求出其他未知量。3. 按位移求解平面问题的根本方程按位移求解平面问题的根本方程1将平衡方程用位移表示将平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (219a将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有02121

48、1021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE202将边境条件用位移表示将边境条件用位移表示位移边境条件：位移边境条件：vvuuss,应力边境条件：应力边境条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2a将式将式a代入，得代入，得YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss211211222117式式20、17、21构成按位移求解问题的根本方程构成按位移求解问题的根本方程阐明：阐明：1对平面应变问题，只需将式中的对平面应变问题，只需将式中的E、作相交换即可。作相交换即可。2普通不用于解析求解

49、，作为数值求解的根本方程。普通不用于解析求解，作为数值求解的根本方程。3按位移求解平面问题的根本方程按位移求解平面问题的根本方程1平衡方程：平衡方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE202边境条件：边境条件：位移边境条件：位移边境条件：vvuuss,17应力边境条件：应力边境条件：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122213.2.9 3.2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程1.变形协调方程相容方程变形协调方程相容方程按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：2平衡微

50、分方程：平衡微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0Yyxyyx0Xyxxyx2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，需寻求补充方程， 从形变、形从形变、形变与应力的关系建立补充方程。变与应力的关系建立补充方程。将几何方程：将几何方程：xvyuyvxuxyyx,9作如下运算：作如下运算：2323xyvyxu2322yxuyx2322xyvxyxvyuxyyxxy22显然有：显然有：yxxyxyyx2222222 形变协调方程或相容方程形变协调方程或相容方程即：即： 必需满足上式才干保证位移分量必需满足上式才干保证位移分量 u、v 的

51、存在与协的存在与协调，才干求得这些位移分量。调，才干求得这些位移分量。xyyx,例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：0, 0yvxu积分得：积分得：)()(21yfvxfu由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：CxyxvyuxyCxydxxdfdyydf)()(21显然，此方程是不能够的，因此不能够求出满足几何方程的解。显然，此方程是不能够的，因此不能够求出满足几何方程的解。0Yyxyyx0Xyxxyx22. 变形协调方程的应力表示变形协调方程的应力表示1平面应力情形平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：将物理方程代入相容方程，得：yx

52、xyxyyx2222222yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (215axXxxyxxy222XxyxxyYyxyxyyYxXyxyxyxxy222222将上述两边相加：将上述两边相加：yYyyxyxy222b将将 (b) 代入代入 (a) ，得：，得：yYxXxyyx)1 ()(2222将将 上式整理得：上式整理得：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(23应力表示的相容方程应力表示的相容方程2平面应变情形平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为： ，

53、 得得124平面应力情形平面应力情形应力表示的相容方程应力表示的相容方程平面应变情形平面应变情形当膂力当膂力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程一样，即为常数时，两种平面问题的相容方程一样，即yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx253.按应力求解平面问题的根本方程按应力求解平面问题的根本方程1平衡方程平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx22相容方程形变协调方程相容方程形变协调方程yYxXxyyx)1 ()(2222233边境条件：边境条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(18平面应力情形平面应力情形阐明：阐明：1对位移边境问题，不易按应对位移边境问题，不

54、易按应力求解。力求解。2对应力边境问题，且为单连对应力边境问题，且为单连通问题，满足上述方程的解通问题，满足上述方程的解是独一正确解。是独一正确解。3对多连通问题，满足上述方对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条程外，还需满足位移单值条件，才是独一正确解。件，才是独一正确解。例例8下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判别它下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判别它们能否为能够的应力场与应变场不计膂力。们能否为能够的应力场与应变场不计膂力。12;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx解解ab1 将式将式a代入平衡

55、方程：代入平衡方程：0Yyxyyx0Xyxxyx203322xyxy033 yy 满足满足将式将式a代入相容方程：代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式式a不是一组能够不是一组能够的应力场。的应力场。例例8下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判别它下面给出平面应力问题单连通域的应力场和应变场，试分别判别它们能否为能够的应力场与应变场不计膂力。们能否为能够的应力场与应变场不计膂力。12;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyxab2解解将式将式b代入应变表示的相容方程：代入

56、应变表示的相容方程：yxxyxyyx2222202222222CCyxxyxyyxCyx222022xyCyxxy22式式b满足相容方程，满足相容方程，b为能够的应变分量。为能够的应变分量。例例9图示矩形截面悬臂梁，在自在端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自在端受集中力P作用，不计膂力。试根据作用，不计膂力。试根据资料力学公式，写出弯曲应力资料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0，然后阐明这些表达式能否代表正确解。，然后阐明这些表达式能否代表正确解。xyxy解解资料力学解答：资料力学解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式式

57、a满足平衡方程和相容方程？满足平衡方程和相容方程？a式式a能否满足边境条件？能否满足边境条件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx2显然，平衡微分方程满足。显然，平衡微分方程满足。00 yIPyIP0000式式a满足相容方程。满足相容方程。再验证，式再验证，式a能否满足边境条件？能否满足边境条件？0, 022hyyxhyy 满足满足00 xx满足满足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhhx近似满足近似满足近似满足近似满足结论：式结论：式a为正确解为正确解0)(

58、2222yxyx代入相容方程：代入相容方程：02222xyIPyx0上、下侧边境：上、下侧边境：右侧边境：右侧边境：左侧边境：左侧边境：3.2.10 3.2.10 常膂力情况下的简化常膂力情况下的简化1.常膂力下平面问题的相容方程常膂力下平面问题的相容方程令：令：22222yx 拉普拉斯拉普拉斯Laplace算子算子那么相容方程可表示为：那么相容方程可表示为：yYxXyx11)(2yYxXyx)1 ()(2 平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当膂力当膂力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程一样，即为常数时，两种平面问题的相容方程一样，即0)(2yx0)(2222yxyx或

59、或252.常膂力下平面问题的根本方程常膂力下平面问题的根本方程1平衡方程平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx22相容方程形变协调方程相容方程形变协调方程3边境条件边境条件YlmXmlsxysysxysx)()()()(180)(2yx4位移单值条件位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。10)(2yx Laplace方程，方程，或称调和方程。或称调和方程。2常膂力下，方程中不含常膂力下，方程中不含E、a两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果x 一样一样xyy,yxzvuxy, 不同。不同。但但b不同资料，具有一样外力不同资料，具有一样外力和边境条件时，其计算结和边境条件时，其计

60、算结果一样。果一样。 光弹性实验原理。光弹性实验原理。3用平面应力实验模型，替代平用平面应力实验模型，替代平面应变实验模型，为实验应力面应变实验模型，为实验应力分析提供实际根底。分析提供实际根底。满足：满足： 的函数的函数0),(2yxf),(yxf称为调和函数解析函数。称为调和函数解析函数。3.常膂力下膂力与面力的变换常膂力下膂力与面力的变换0Xyxxyx0Yyxyxy平衡方程平衡方程:0)(2yx相容方程相容方程:YlmXmlsxysysxysx)()()()(边境条件边境条件:令：令：常膂力下，常膂力下， 满足的方程：满足的方程：xyyx,XxxxYyyyxyxy(a)将式将式(b)代入