IIR数字滤波器的理论与设计

1、IIR数字滤波器的理论与设计学习目标数字滤波器的基本概念这里所讲的数字滤波器都是一个离散的LTI系统H(E)x(n)y(n)=H(E)x(n)离散LTI系统模型：x(n)、 y(n)分别是系统的输入输出序列H(E)是系统本身的特性（转移算子）系统对于输入的离散序列x(n) 总有对应的输出y(n）。x(n)是离散的信号，每个x(i)可能有不同的幅值，有了前后不同幅值的变化，就可以引出离散信号的频率这一性质。数字滤波器就是对不同频率的数字信号从频域进行信号分离的时序电路或器件或一段程序。数字滤波器按功能分为deeXnxenxeXjnjjnnj)(21)()()(数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本

2、概念CC22| )(|jeH0ACC22| )(|jeH0A220A低通高通带通全通112222| )(|jeH0A系统的描述模拟系统通常用微分方程来描述，离散系统则用差分方程来描述。差分方程可分为非递归型和递归型两大类：非递归型：输出对输入无反馈，输出值仅仅取决于输入值。),1(),(),1(,)(nxnxnxfny0)( )()(iiiainxany为常数Niiiainxany0)( )()(为常数若系统是线性、非移变、因果的，则有若又有iN时， ai=0,则递归型：输出对输入有反馈，输出取决于输入和反馈Miiiiibainybinxany0N1i)( )( )()(为常数、),1(),1

3、(,),1(),(),1(,)(nynygnxnxnxfny若系统是线性、非移变、因果的，则有Miiiiibainybinxany0N1i)( )( )()(为常数、对IIR数字滤波器的差分方程的一般形式两边同时进行双边z变换得：MiiiiizYzbzXzazY0N1i)( )()(NiiiMiiizbzazXzYzH101)()()(得IIR数字滤波器的传递函数：系统的传递函数数字滤波器的基本结构运算单元基本结构运算单元：加法器： y (n)=x1(n)+x2(n)，x1(n)x2(n)x1(n)+ x2(n)乘法器： y (n)=a x (n)，ax(n)ax(n)延迟单元： y (n)=

4、x(n-1)，z-1x(n)x(n-1)IIR数字滤波器的基本结构直接型：按给出的差分方程直接实现。级联型：将系统函数H(z)因式分解为较低的二阶节的乘积，每个双二阶用一个直接型实现，整个系统用双二阶的级联实现。并联型：将系统函数H(z)因式分解为双二阶之和，每个双二阶用一个直接型实现，整个系统函数作为二阶节的并联网络实现。下面举一4阶差分方程为例，叙述三种结构结构举例 “直接型”x(n)b0b1b2b3b4z-1z-1z-1z-1a1a2a3a4z-1z-1z-1z-1y(n)直接型 43214321432143210nyanyanyanyanxbnxbnxbnxbnxbny设有4阶差分方程

5、：1)( )()(04040iainxbinyaiii其中对方程两边同时取双边z变换得传递函数H(z)传递函数直接得到信号流图：41401)()()(iiiiiizbzazXzYzH输出序列的最高差分阶数4即系统的阶数。x(n)y(n)b0b1b2b3b4a1a2a3a4z-1z-1z-1z-1直接型（正准型）整个滤波器由两个网络级联，级联系统总的输入输出和子系统的级联次序无关：从而上述4阶系统的信号流图级联次序可以交换：)()()()()()()()()()()(122111zHzHzHzHzYzYzXzYzXzYzH结构举例 “直接型” 直接型（正准型）的共同缺点：1、系数对滤波器的性能控

6、制作用不明显。2、极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差。3、运算的累积误差较大 KkkkkkNNNNNNNNzAzAzBzBbzazazbbzbbbzazazbzbbzH122,11 ,22,11 ,011010101111011111 KkzAzAzBzBzHkkkkk, 1;1122,11 ,22,11 , 结构举例 “级联型”级联型结构是将系统传递函数H(z)写成具有实系数的二阶节的乘积。将分子和分母多项式分解为各自的根，然后将一对复数共轭根（或者任意两个实数根）组合成二阶多项式。例如H(z)为N阶方程，N为偶数式中K=N/2，Bk,1，Bk,2， Ak,1， Ak,2都是代

7、表实数的二阶节系数。这些二阶节是结构举例 “级联型”应该特别指出：1.级联型结构的灵敏度特性优于直接型和正准型结构。2.每一级分子的系数确定一对零点，分母的系数确定一对极点，因为子网络的零极点也即整体网络的零极点，所以整个系统的零极点都可以准确的由每一级的系数来调整和控制，这样便于调整滤波器的频率响应性能。3.级联结构具有最少的存储器。x(n)b0z-1z-1A1,1A1,2B1,1B1,2y(n)z-1z-1A2,1A2,2B2,1B2,2上述4阶系统的级联形式为：结构举例 “并联型”并联结构是将N阶的系统函数H(z)利用部分分式展开写成二阶节之和： KkzAzAzBBzHkkkkk, 1;

8、122,11 ,11 ,0, 其中每一个二阶节：110111011NMNkNkNNbb zbzC za za z 仅当M N1,0,11210,1,21KMNkkkkkkkBB zC zA zAz 仅当M NNNMMzazazbzbbzXzYzH111101)()()(结构举例 “并联型”上述4阶IIR滤波器用并联形式实现B1,0B1,1A1,1A1,2z1z1C0B2,0A2,1A2,2z1z1B2,1x(n)y(n)并联支路的极点也是整个网络的极点，而并联支路的零点却不是整个网络的零点，因此并联网络能独立的调整系统的极点位置，但不能控制零点。并联结构的灵敏度由于直接型和正准型，运算累积误差

9、比级连型小。IIR数字滤波器设计过程按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标用一个因果稳定的离散系统的系统函数H(z)逼近此性能指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法IIR数字滤波器设计方法NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(IIR数字滤波器的系统函数是z的有理函数，可表示为系统函数的设计就是要确定系数 或者零、极点 ，以使滤波器满足给定的性能要求。这种设计一般有3种方法。ibiaicid1.零极点位置累试法。当滤波器性能未达到要求时，通过多次改变零极点位置来达到要求。此法只适用

10、于简单滤波器。2.用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中较多的采用这种方法。本节将详细介绍这种方法。3.用计算机辅助设计，优化技术设计。IIR数字滤波器设计原理模拟滤波器的数字仿真所谓数字仿真即设计出的数字滤波器Ld的输入输出序列恰好等于一模拟滤波器La的输入输出时间信号的取样。LaLdx(n)y(n)x(t)y(t)即要求所设计的数字滤波器的输入x(n)等于x(t)的抽样信号x(nT)时，输出y(n)也恰好等于y(t)的抽样信号。下面分别从时域和频域来分析所设计的系统Ld的单位冲击响应h(n)和频率特性H(ej)分别应满足的条件。IIR数字滤波器设计原理模拟滤波器的数字

11、仿真时域仿真的条件1.要设计一个数字系统要设计一个数字系统Ld去仿真一个模拟系统去仿真一个模拟系统La，从时域来讲主要考，从时域来讲主要考虑设计其单位冲击响应虑设计其单位冲击响应h(n)应满足何种条件，才能实现仿真。应满足何种条件，才能实现仿真。2.设数字系统设数字系统Ld与其需要仿真的模拟系统与其需要仿真的模拟系统La的单位冲击响应、输入输的单位冲击响应、输入输出分别是：出分别是：h(n)、x(n)、y(n)；ha(t)、xa(t)、ya(t)。3.对于一个线性时不变的因果的模拟系统，其输入输出关系为：对于一个线性时不变的因果的模拟系统，其输入输出关系为：ddhtxthtxtyaa00)()

12、()()()()()()()()()()()()0()()()2()()0()(limlimlimlim00000tykThkTtxTkThkTtxThTtxhtxTkTTTTtyTTkaTaaaTT)()()(ahtx其中该积分即为0区间曲线()下的面积，此面积可近似地用求和来计算（即将 轴离散化为：0、T、2T、）：ddhtxthtxtyaa00)()()()()()()()()()()2()()0()(limlimlim0000tykThkTtxTkTTTTtyTTkaTT)()()(ahtx其中该积分即为0区间曲线()下的面积，此面积可近似地用求和来计算（即将 轴离散化为：0、T、2T

13、、）：0()T(4T)0() 这下面的面积值便是y(t)时域仿真的条件0)()()()()(kknxkhnxnhny000)()()()()()()()(kkkaTTknxkhkTnTxkhkThkTnTxTnTynTy)()(kTThkha其中：上述等式当中要求T趋于0等号才成立。但抽样周期T不可能为0，那么当T足够小的时候，再把变量t用nT代替（即对模拟系统La的输出y(t)进行时间轴抽样），有：4.而数字系统而数字系统h(n)的输入为的输入为x(n)的时，其输出为：的时，其输出为：5.也就是说：如果数字滤波器也就是说：如果数字滤波器Ld的冲击响应的冲击响应h(n)=T ha(nT)，则当

14、其输入为，则当其输入为模拟滤波器输入模拟滤波器输入x(t)的抽样的抽样x(nT)时，其输出就为模拟滤波器输出时，其输出就为模拟滤波器输出y(t)的抽的抽样样y(nT)，即，即Ld是此模拟滤波器是此模拟滤波器La的数字仿真。的数字仿真。从时域的观点来看，数字仿真的条件是：从时域的观点来看，数字仿真的条件是：h(n)=T ha(nT);(T足够小足够小)令x(n)=x(nT)，则数字系统的输出y(n)=y(nT)，即数字滤波器的输出与模拟系统的抽样输出结果相同。时域仿真的条件IIR数字滤波器设计原理模拟滤波器的数字仿真频域仿真的条件1.由于已知时域仿真的条件即：数字系统的单位冲击响应由于已知时域仿

15、真的条件即：数字系统的单位冲击响应h(n)要等于要等于模拟系统的单位冲击响应模拟系统的单位冲击响应h(t)的抽样的抽样h(nT)乘上乘上T。2.同理，频域仿真要找的条件即：数字系统的频率响应同理，频域仿真要找的条件即：数字系统的频率响应H(ej)与模拟与模拟系统的频率响应系统的频率响应H()之间要满足何种关系。之间要满足何种关系。3.下面来推导下面来推导H(ej)和和H()之间的关系：之间的关系：)()(snanTjnanXenTxTnjnenx)(njnaenTx)()(jeX)(aX)(1snanXT )( nTxa)( txa)(nx将相应的模拟信号的取样xa(nT)和模拟系统的频率响应

16、Xa()替换为ha(nT)和Ha()：频域仿真的条件)()(snanTjnanHenThT)()()()()(snajnjnnTjnnTjnanHeHenhenhenThT)()(nhnThTa)()(snajnHeH令得4.所以频域仿真的条件是所以频域仿真的条件是H(ej)和和H()满足如下关系：满足如下关系：频域仿真的条件5.H(ej)和和H()满足关系：满足关系：)()()(snaTjjnHeHeH可看出：可看出：如果如果Ha()被限制在一个周期内，则被限制在一个周期内，则H(ej)在此区间内与在此区间内与Ha()完全完全一致。如果一致。如果Ha()不被限制在不被限制在-s/2 s/2之

17、内，则之内，则H(ej)将产生将产生混叠失真。混叠失真。| )(| | )(|TjjeHeH2/s2/sss从频域的观点来看，数字仿真的条件是从频域的观点来看，数字仿真的条件是: | s/2=/T时，时，Ha()=0即：模拟系统的最高频率即：模拟系统的最高频率m s/2=/T ，其中，其中T是抽样周期。是抽样周期。用模拟滤波器理论来设计数字滤波器脉冲响应不变法要设计一个数字滤波器去仿真一个模拟滤波器有脉冲响应不变法和双线性变换法。其设计过程都是由给定的模拟滤波器的系统函数Ha(s)去变换出相应的数字滤波器的系统函数H(z)。NiiiapsAsH1)(NitpiaatueAsHLthi11)()

18、()(脉冲响应不变法的设计过程如下：1.已知一模拟滤波器系统函数：NiiMiiNiiiMiiiapsqsAsbsasH1100)()()(设MN)2.为方便求出其时域单位脉冲响应，将上式化为部分分式之和的形式：3.由拉氏反变换得模拟滤波器在时域的单位脉冲响应：脉冲响应不变法NinTpinTueATnThTnhi1)()()(|1|:|1)()()()(1111011TpTpNiTpiNinnTpinnNinTpinniiiiiezzeROCzeATzeATznTueATznhzH 4.由时域的数字仿真的条件（即脉冲响应不变准则）可得相应的数字滤波器的脉冲响应：5.再对两边进行Z变换，即可得到数

19、字滤波器的系统函数：用脉冲响应不变法来设计数字滤波器，只需将给出的模拟滤波器的系统函用脉冲响应不变法来设计数字滤波器，只需将给出的模拟滤波器的系统函数数Ha(s)化为部分分式之和的形式，找出极点化为部分分式之和的形式，找出极点pi和系数和系数Ai ，带入数字滤波器传，带入数字滤波器传函当中即可。函当中即可。NiiiapsAsH1)(NiTpizeATzHi111)(z平面ImRe脉冲响应不变法 s z由上述Ha(s) 和H(z)的表达式可看出：si=pi是模拟滤波器的一个极点，则相应的zi=ePiT就是数字滤波器里的一个极点。推而广之，则可得到脉冲响应不变法下的s平面和z平面的映射关系：z=e

20、sT 令z=ej，s=+j可得z平面的模、幅角和s平面的实部、虚部之间对应的关系：s平面2sTTjTjTjeeeTeT,101010的周期是2的周期是2/T注意，由的周期性可见，必须满足模拟滤波器的最高频率ms/2或频响Ha()必须在/T, /T上严格限带的。用模拟滤波器理论来设计数字滤波器双线性变换法双线性变换法的思想是：将模拟滤波器的传递函数形式化为完全以积分器（1/s）构成的网络函数形式。然后由数字网络来代替模拟积分器，从而整个滤波器网络都转化成了数字的。1.由积分器构成的模拟滤波器的系统函数形式；) NM( 1)(1000以方便说明设NjjjNjjjNiiiMiiiasdscAsbsa

21、sH2.由传递函数得信流图：双线性变换法的设计过程如下：X(s)Y(s)c0c1c2cN-1cNd1d2dN-1dNs-1s-1s-1A3.积分器的数字形式推导已知：u(t) 1/s ，若积分器的输入输出为xa(t)、 ya(t)，则有：taadxty0)()(2112)()()()()(0012ttatataaadxdxdxtyty设有0t1t2，可得：)()(21)()(122112tttxtxtytyaaaa当t1 趋于t2时，可得：)()(2)()(nTxTnTxTTnTynTyaaaa令t1=nTT，t2 =nT；即t1 t2 ，则T0时，有下式成立：令y(n)=ya(nT)，x(n

22、)=xz(nT)，得到数字式积分器的差分方程：)() 1(2) 1()(nxnxTnyny双线性变换法)()(2)()(11zXzXzTzYzzY对数字式积分器的差分方程两边进行Z变换，可得数字式积分器的传递函数：)() 1(2) 1()(nxnxTnyny11112)()(zzTzXzY4.当T足够小的时候，信流图当中的模拟积分器传递函数就可以由数字积分器传函代替。从而得到性能与模拟滤波器相近数字滤波器。)T( 112111足够小要求zzTs双线性变换法双线性变换法5.从而可得模拟滤波器的复频率与数字滤波器的复频率之间的关系：sTsTz2211112zzTs或用双线性变换法来设计数字滤波器，

23、只需将给出的模拟滤波器的系用双线性变换法来设计数字滤波器，只需将给出的模拟滤波器的系统函数统函数Ha(s)当中的当中的s替换为一个关于替换为一个关于z成双线性关系的网络即可。成双线性关系的网络即可。11112| )()(zzTsasHzH6.令s=+j，z=rej 可得z平面与s平面的映射关系：TarctgTarctg2221222222TTr双线性变换法 s zj0s平面Im(z)Re(z)z平面即：101010rrr22220TarctgTarctgTarctg讨论s平面的虚轴与z平面的单位圆之间的映射关系，令=0可得双线性变换法下模拟滤波器的角频率与数字滤波器的角频率 之间的关系：或22

24、tgT-22Tarctg由关系式可知与之间有如图非线性关系：22tgT从而使所设计的数字滤波器的截止频率发生变化。设计当中应式子：把已经得到的数字滤波器截止频率c预先变换为。下面先叙述模拟滤波器的特性，再举例由已知的模拟滤波器传递函数来变换为相应的数字滤波器。一般情况下的理想的低通滤 波器的幅频特性如图1-1所示。模拟滤波器特性 理想低通|Ha(j)|10c图1-1 理想低通滤波器幅频特性但是，根据傅氏变换的对偶性可知频带有限信号在时域中 是无时限信号。所以如图所示理想的低通滤波器在实际中 是做不出来的。 | )(|jHac1 , -cc01)(2cP频域理想的低通滤波器在实际中是做不出来的。

25、因为实际 上真正的时域无时限信号是不存在的，也没有单位冲击响应是无时限响应的非因果系统。推导模拟滤波器特性 时域时域t)(tSaccc0cc模拟滤波器特性 B型滤波器所以，实际的滤波器都是通过在频域人为的构造一些函数，使之幅频特性尽可能的接近理想的滤波特性。例如：NcajH2211| )(| 在 小于 处接近于1，在 大于 处接近于0，并且随着N的增大， 越逼近于理想低通的滤波特性。c2| )(|jHac2| )(|jHa/c0.51.0N=2N=4N=5120| )(|jHa模拟滤波器特性 C型滤波器这种典型的逼近方式称作Butterworth逼近Chebyshev逼近NcajH2211)(

26、此外，还有Chebyshev逼近和Cauer逼近（椭圆逼近）)(11| )(|222NaCjH)(NC其中： 为一常数， 为Chebyshev多项式/c00.51221341.0| )(|jHa)(NC)coscosh(harN)arccoscos(N110这两种滤波器的传递函数可以由幅频特性推得)()(2)(2111NNasssssssH)()()(110NNcasssssssHButterworth:Chebyshev:推导推导模拟滤波器特性 传递函数设计举例例例1 分别用脉冲响应不变法和双线性变换法将如图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。RC解解 模拟滤波器的传递函数为：RCaasa

27、sHa1)()(，由脉冲响应不变法转换得数字滤波器数字滤波器H1(z)111)(zeaTzHaT e-aT z-1a z-1a1a2由双线性变换法转换得数字滤波器数字滤波器H2(z)22211)()(211211112211aTaTaaTaTazazasHzHzzTsa，例例2 用双线性变换法设计4阶Butterworth IIR低通数字滤波器，其通带截止频率fc=10KHz，抽样频率fs=40KHz 试求：1)该低通IIR数字滤波器的传递函数H(z) 2)画出该数字滤波器的级联型结构。解：解： (第一步) 首先得到此数字滤波器的通带截止角频率：22sccff设计举例)()()()(32104sssssssssHcassccftgftgT22222(第二步) 预畸变，求出相应的模拟滤波器的通带截止频率：(第三步) 由模拟滤波器的标准形式（4阶Butterworth型）推出数字滤波器的级联结构：已知4阶的Butterworth型模拟滤波器的传递函数：其极点在s平面上的分布：易知：NiNjcies221可以将si代入到Ha(s)当中，再带入双线性变换式，经整理后得到数字滤波器的级联型结构式。但整理的复杂度会随着阶数N的增加而急遽增大。设计举例871850jcjceses，可得：8113892