最新教案1初二复习三角形的证明章节复习

1、三角形的证明章节复习【知识梳理】1 .全等三角形的判定和性质微夹角（SAS）已知两边（找直角（HL）找第三边（SSS）I若边为角的对边，则找任意角（AAS）证三角形全等的思路4已知一边一角V找已知角的另一边（SAS） 边为角的邻边!找已知边的对角（AAS）|找夹已知边的另一角（ASA）左俄两角的夹边（ASA 已知两角V|找任意一边（AAS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2 .等腰三角形的判定与性质等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；等腰三角形 三线合一 ”的性质：顶角平

2、分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等.3.等边三角形的判定与性质判定：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形;三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形.性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.5 .直角三角形勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如

3、果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.6 .互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题 称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的 逆定理.7 .线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平

4、分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。8 .角平分线角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】【题型一：全等三角形判定定理和性质定理的应用】【例题1】用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明/ AOC= / BOC 的依据是（）A. SSSB. ASAV >7C. AASD .角平分线上的点到角两边距离相等【例题 2】如图， ABCAADE,若/ B=80°, /C=30； /DAC=35；则/ EAC的

5、度数为(BCD. 25°A. 40°B. 35°C. 30°【例题3】如图，已知 AABCAA'B'C', AD、A'D'分别是 AABC和AA'B'C'的角平分线.(1)请证明 AD = A'D'(2)把上述结论用文字叙述出来；(3)你还能得出其他类似的结论吗【变式1】如图，已知 ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和4ABC全等的图形B.乙和丙D .只有丙A.甲和乙C.只有乙【变式2】如图，在 ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点， ADB 9 EDB 9

6、 EDC ,则 / C 的度数为（B. 20°C. 25°A. 15°【变式3】如图410,在 ABC中，/ ACB = 90； AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分另IJ作l的垂线AE、BF, E、F为垂足.(1)当直线l不与底边 AB相交时，求证：EF = AE+BF.图 4- 10(2)如图411,将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在如下 位置时，EF、AE、BF之间的关系. AD>BD; AD=BD; ADvBD.图 4-11【题型二：等腰三角形判定定理和性质定理的应用】【例题1】(1)等腰三角形的两边长分别为3

7、和6,则这个等腰三角形的周长为(A. 12B. 15C. 12 或 15(2)等腰三角形的一个角是80° ,则它顶角的度数是(A. 80°B. 80°或 20°C. 80°或 50°DE过。且平行于BC ,【例题2如图，在 ABC中，BO平分/ ABC , CO平分/ ACB ,已知 ADE的周长为10cm , BC的长为5cm ,求 ABC的周长.【例题3】如图，/ MON =43 °,点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动， ） 要使 AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）/A.1个B.2个C.3个D.4个o

8、工 方【例题4】如图：E在 ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F ,DF =EF , BD = CE ,过 D 作 DG / AC 交 BC 于 G .求证：(1) GDFCEF;(2) ABC 是等腰三角形.【变式1】已知 ABC中，AB = AC = x, BC =6 ,则腰长x的取值范围是（）A. 0v xv 3 B. x> 3C. 3v xv 6D . x> 6【变式2】如图，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分线交于点E,过点E作 MN / BC交 AB于 M ,交 AC于N ,若BM +CN =9 ,则线段 MN 的长为()A. 6B.7C.

9、8D . 9【变式3】如图，是一个5X5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1 点A和点B在小正方形的顶点上.点C也在小正方形的顶点上.若 ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A. 6B.7C.8D . 9【变式 4】如下图，在 ABC中，/ B=90 ； M是AC上任意一点（M与A不重合）MD XBC,交/ABC的平分线于点 D,求证：MD=MA.【题型三：等边三角形判定定理和性质定理的应用】【例题1】如图，AC=CD=DA=BC=DE ,贝U / BAE 是 / BAC 的(A. 4倍B. 3倍C. 2倍D. 1倍【例题2】如图，等边 ABC的周长是9 , D是AC边上的

10、中点BC的延长线上.若DE =DB ,则CE的长为【例题3】如图，M、N点分别在等边三角形的BC、 CA(1)求证：/ BQM =60° ;（2）如图，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，说明理由.B v CM国图【变式1】如图，等边 ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE ,连接AD、BE交于F点，则/ FAE+Z AEF的度数是（）A. 60°B, 110°C, 120° D, 135°【变式2】如图，C为线段BD上一点（不与点B , D重合），在

11、BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE , AD与BE交于一点F , AD与CE交于点H , BE与 AC交于点G.（1）求证：BE = AD ;（2）求 / AFG 的度数；（3）求证：CG=CH.【题型四：肩美直角三角形定理的应用】【例题1】如图，矩形纸片ABCD中，AD边与对角线BD重合，折痕为DG ,长lcAB =4, AD =3,折叠纸片使则AG的长为（）EA. 1B. 4C. -D. 232【例题2】6 .如图，在5 X5的方格纸中，每- 直角？请说明理由.一个小正方形的边长都为1, / BCD是不是MIl'T""in r 丁 1ii siiiii

12、iU RiiiiQiiraMiifliiiiiiMniiiiiiiJ rc【例题 3如图，在 ABC中，/ C=90 °, / B=30 °, AD是/ BAC的平分线，若CD =2 ,那么BD等于（A. 6B. 4C. 3D. 2D【变式1】如图.矩形纸片ABCD中，已知AD =8 ,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE ,且EF=3 .则AB的长A. 3B. 4C. 5【变式2】正方形网格中的每个小正方形边长都是1 .每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画（1）在图1中，画 ABC ,使 ABC的三边长分别为3、272、55 ;（2

13、）在图2中，画ADEF,使4DEF为钝角三角形且面积为2.邺【变式 3】如图，AC=BC=10 cm , / B=15 °, AD ± BC 于点 D,则AD的长为（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm【题型五：线段的垂直平分线定理的应用】【例题1】如图，在 ABC中，/ C=90 °, / B=15 °, AB的垂直平 分线交AB于E,交BC于 D, BD =8 ,则AC =.【例题2】如图，在 ABC中，分别以点A和点B为圆心，,一 1大于一AB的长为半径回弧，两弧相交于点M, N,作直线2MN ,交BC于点D ,连接AD .若 ADC

14、的周长为10 ,AB =7 ,则 ABC的周长为（）A. 7B. 14C. 17D . 20【例题3】如图，在Rt ABC中，/ B=90 °, ED是AC的垂直平分线，交AC于点 D ,交BC于点E .已知/ BAE =10° ,则/ C的度数为（）A. 30°B. 40°C, 50°D, 60°【例题4】如 图所示，在Rt ABC中，/ ACB =90 °, AC =BC , D为BC边上的中点，CE，AD于点E , BF / AC交CE的延长线于点F ,求证：AB垂直平分DF .【变式1】如图，在 ABC中，已知AC

15、=29 ,于点D ,交AC于点E . BCE的周长等于A. 2lB. 22C. 23【变式2】如图，A、B表示两个仓库，要在A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？你能画图说明吗？'B【变式3】如图，AD为/ BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M,交AC于N,试说明MD / AC .【变式4】如图，在 ABC中，AB=AC , D是 AB的中点，且 DE，AB, BCE的周长为8cm,且 AC - BC =2cm ,求 AB、BC 的长.【题型六：角平分线定理的应用】【例题1】如图，Rt ABC中，/ C=90 °, / AB

16、C的平分线BD交AC于D ,若CD =3cm,则点D到AB的距离DE是（A. 5cmB. 4 cm【例题2】如图，直线a、 b、c,表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（A. 一处B.C.七处【例题3】求作一点P,使PC = PD ,且点P到AC, AB的距离相等.D .无数处迹，不必写出作法）【例题4】（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）.设计了如下（I）Z AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM =PN ,过角尺顶点P的射线OP就是/ AO

17、B（n ） / AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM = ON ,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM =PN ,过角尺顶点P的射线OP就是/ AOB的平分线.（1）方案（I）、方案（n）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（I ） PM =PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM ± OA , PN ± OB .此方案是否可行？请说明理由.0【变式1】如图，OP平分/ MON , PA，ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D .

18、 4【变式2】如图，利用尺规求作所有点P,使点P同时满足下列两个条件：点P到A,B两点的距离相等；点P到直线11 , l 2的距离相等.（要求保留作图痕迹，不必写出【变式3】已知：如图所示， ABC中，/ C=90 °, AD是/ BAC的平分线，DE，AB于E ,F 在 AC 上，BD = DF .求证：CF=EB.【题型七：反证法、互逆命题、互逆定理】【例题1】否定自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A. a、b、c都是奇数B. a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. a、b、c都是偶数D. a、b、c中至少有两个偶数【例题2】说出下列命题的逆命题，并判断每对

19、命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（ 3）如果ab=0,那么a=0, b=0;（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等【变式1】用反证法证明命题三角形的内角中至少有一个不大于60。时，反证假设正确的是【变式2】证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.【巩固练习】1 .使两个直角三角形全等的条件是（）2.在 Rt ABC 中，/ C=90° , AC =9 , BC=12，则点 C 至U AB 的距离 是（）A.假设三内角都不大于 60°B.假设三内角都大于 60°C.假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有

20、两个大于60°A.C.A.A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点则/ D等于（平分线交AD于E,连接EC;则/ AEC等于（A. 100B. 105C. 115C. 5一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等一条边对应相等D.两条边对应相等12B. 25八 9C.一44D.还3.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的C.三条高的交点D.三条角平分线的交点4.如图，在 ABC 中，DE垂直平分 AB , FG 垂直平分 AC ,A. 6.5 cm5.如图，点DA. 50B. 65°C. 55°D. 706.如图，/ ABC =50°

21、, AD垂直平 分线段BC于点D , / ABC的D . 120PD，OA 于点 D,PE，OB 于点 E, OP =13 ,A. 13B. 12D . 1365BC=13cm,则AEG的周长为B. 13cmC. 26cmD . 15为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，/ A=35 ° ,7.如图，/ POA = / POB ,OD =12 , PD =5 ,贝U PE =8 .如下 图左，在矩形ABCD 中，点P在 AB上，且PC平分/ ACB .若PB =3 , AC =10 , 则 PAC的面积为.CD9 .已知：如上图右，AB / CD ,。为/ BAC、/ ACD的平分

22、线的交点，OE，AC于点E, 若两平行线间的距离为6,则OE=.10 .如图， ACB和 ECD都是等腰直角三角形，A, C, D三点在同一直线上，连接 BD , AE ,并延长AE交BD于F .(1)求证： ACE 9 BCD ;(2)直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论.11 .已知：如图，/ B= / C=90° , M是 BC的中点，DM 平分/ ADC .(1)若连接AM ,则AM是否平分/ BAD ?请你证明你的结论；(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.D C12 .如图，AD为 ABC的角平分线，DE，AB , DF，AC ,垂足分别为E , F ,连

23、接EF , EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论.13 .如图，在 ABC中，DE垂直平分 AB ,分另交 AB、BC于 D、E点.MN 垂 直平分AC ,分另1J交AC、BC于M、N点.(1)若/ BAC =100° ,求 / EAN 的度数；(2)若/ BAC =70° ,求 / EAN 的度数；(3)若/ BAC = a(aW90),直接写出用a表示/ EAN大小的代数式.A图1图2【课后练习】1 .利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是()A.已知斜边和一锐角B.已知一直角边和一锐角C.已知斜边和一直角边D.已知两个锐角2 .如图，直线l上有三个正方形a, b, c,若a, c的面积分别为5和11,则b的面积A. 4B. 6C. 163 .如图，有A、B、C三个居民小区