电动力学第一章

1、电动力学B第一章电磁现象的基本规律1本章主要内容§1、矢量分析与§2、电荷与电场§3、电流与磁场§4、Maxwell组§5、介质的电磁性质§6、介质边界上的电磁规律§7、电磁场的能量和能流2矢量分析B·(C×A)=C·(A×B)v 矢量公式：A·(B×C) =A×(B×C)=(A·C)B (A·B)C(fj) =fj + jf·(fA)=A·f + f·A×(fA)= f×A

2、+ f×Av 矢量分析：(A·B) = (A·)B +(B·)A+ A×(×B)+ B×(×A)×(A×B) = A ·B B·A+(B·)A (A·)B×(×A) = (·A) 2 A×f = 0, · ×A= 03矢量分析rrrrrrrrr证明： Ñ ´(a ´ b) = (b ×Ñ )a- (a ×Ñ )b + a(

3、09; × b) - b(Ñ × a)算符具有微分和矢量运算双重性质rÑ´ rrr(a ´ b) =rÑa ´(a ´ b)+Ñb ´(a ´r b)=r× rr Ñ× r=a(Ñ × b) - b(Ñ× b) - b(Ña) + a(a)rrraabbr× rr Ñr ×Ñ ) b=(b ×Ñ )a - b(Ñar a) +

4、a( rb × b) - (arrrabrr Ñ × b) - (ar ×Ñ) b=(b ×Ñ)a - b(Ñ × a) +a(v 算符应用到r和r, 可得一些常用结果v d函数定义及基本性质rr × ròadV = ò n adSÑ ×高斯定理：vrsrròòÑÑ´a) × ndS =a ×dl(定理：s4定义v 各项同性电介质中，P=cee0E, D= eEæ e11e12

5、e13 öæ E1 öæ D1öv 各项异性（线性）介质：3ç D÷ = ç e÷ç E ÷eeeeç2 ÷ç23 ÷ç2 ÷2122ç D ÷ç e÷ç E ÷è 3133 øè3 øè3 øD = åe E (i = 1, 2, 3)32iijjj =1v 写成矢量形式：rrrD = (eE +

6、 eE + e+ (eE + eE + e+ (eE + eE + e13 E3 )e1r r23 E3 )e233 E3 )e3111122211222311322r rr rr rr rr rr rr r= (e+ e12e1e2e2 + e23e2e3 + e31e3e1 + e32e3e211e1e1r rrrr+ e33e3e3 ) × (E1e1+ E2e2+ E3e3 )et = åe e e (i, j = 1, 2, 3)ij ijijr rrr ×årtElel (i, j, l = 1, 2, 3) = e × ED =

7、åeijijeiejl5运算r rr rå：T =T e e (i, j = 1, 2)并矢 ei ej 称为基v 一般vij ijI , i =ij j,T= 1, i ¹j,T= 0：ijjkT1222T1æ1Tö13v 矩阵形式：çT÷T÷23ø33TT2ç1T çT÷T3è132v 对称v、称、无迹运算：和、乘标量、点乘矢量trrrr råijkåijkT12åikåijåiåijAi ei 

8、15; å Tjk ek d ij=Ai TA × T=Ai Tik ek.jk e j ekjkrrrr rråkA e d=T × A=Tij ei e×TTij A j ei .Ak ekijkijkjT11ö÷t矩阵形式：A% T =)÷÷TTTè 3133 ø32v m维n阶6并矢v将并矢推广到任意矢量，得并矢AB, 看成一个量，有九个分量。r rr rr rr rr rr rAB = A1B1e1e1+ A1B2e1e2 B r r+ A2 B3e2e3BrBe2A B r

9、 rB3v 并矢可。v 并矢运算：（AB)·C=A(B·C)C·(AB)=(C·A)B(AB)(CD)=(B·C)(A·D)微商： ·(AB) = (· A)B +(A·)BvtÑ ×ttt¶r¶r¶rT = ¶x (e1 ×T ) + ¶y (e2 ×T ) + ¶z (e3 ×T )v 高斯定理和定理对也适用7§2、电荷与电场Ø 1、Coulomb定律Ø 2、叠加

10、原理Ø 3、Gauss定理Ø 4、电场的8Ø 1、Coulomb定律1785年，Coulomb定量研究了静止的电荷对另一电荷的作用。现表述为如下的Coulomb定律：静止、带电Q的点电荷作用在另一带电 q 的点电荷上的作用力为：qrrRrRe(R) ,F =4pe4peR3R2Q00O这里 R = rrrr - r ',re(R) 是R方向的矢量，e0是真空中的介电常数：e = 8.85 ´10-12 Coul2 /(N × m2 ),0Q称为源电荷， q 叫试探电荷。9Ø 2、叠加原理实验表明，多于一个静止的源电荷存在时，试

11、探电荷q 受到的作用力为各个源电荷单独存在时所受到的作用力的矢量叠加：qR1rqQR QåF =1 ii .4peR 3.Ri0i2对连续分布的电荷体系上式变为：Q2.rqRòòò R3F =4pedQ,0V如果连续分布的电荷体系分别为体分布、面分布、线分布，相应的电荷体密度、面密度、线密度分别为r、a、l：dQ = r dv(= a da、ldl ) .10对n 个点电荷Qi （在ri处） ，体电荷密度为：rnårrr(r ') =Qid (r '- ri ').i=1v 如果q是一个静止的试探点电荷，F为该电荷受到的

12、电磁力（源电荷可以运动），引入电场强度：EF/q .这个定义也适用于非静电的普遍情况， 由此知道，在一般情况下，E是时间和空间位置的函数。Ø 3、Gauss定理EiqnQiSS为任意闭合曲面，da 为曲面上的面积元, 方向沿外法向：r×QiQir =dW = QiÒòò 4peÒòò 4peÒòò EiSÒòòSda cosq =E da cosq =da.ieR200SS011r =ÒòòSÒòò

13、;E ' da cosqE '× dajjVEiqS-nQ 'S= ÒòòSÒòò E ×= 0. jdWQj4pe0r =ndanrSrrå= Òòò åEiåòò/ e0.= Q× da +'× daÒEencjiijSSQenc 是在闭合曲面内的总电荷（Enclosed）。r = QÒòò/ eE × da,这就是Gauss定理的

14、形式。enc0rÑ×r =1SòòòV形式：ÒòòSòòòVrdv ',Edv =E × da由1e012散度定理，即（高等数学中的）Gauss定理注意这里的函数关系： E(r) , r (r) ,r ¶+r+Ñ' = r ¶+ r ¶rÑ =r+¶¶¶ ,i ¶x 'j ¶y 'k ¶z ',i ¶xj ¶

15、yk ¶z在上式 1 中，让S面趋于一个点，得：rrrÑ× E(r ) = r(r ') / e0Ñ× E = r / e0= r(r ) / e0 ,这里，2就是Gauss定理的微分形式，从其证明可知，该定理的成立依赖电场 E µ1/ r2.当电荷分布rr已知时，仅2式还不能确定E，只有当 Ñ´ E 也已知，才能完全确定（在适当的边界条件下）。Ev 注意区别源变量和场变量，但当只有源变量时，“ ”可以去掉。13rdlØ 4、电场的rrr × dlQÑò E 

16、5; dlLÑò=4pe=rr3Q0d æ 1 ördr = -ÑòÑò=ç r ÷r3èøL= 0.r= 0.SÑò E × dl3Lrr×r = 0,ÑòLòS=Ñ´ E × daE dl还有闭合路径L这里dl与dav 以后da右手关系。都只用一个L号。14（Stokes）定理由于L是任意的，所以S是任意的，rÑ´×r = 0;E dar

17、09;´ E = 0.4形式。3式是4式的这些的成立不依赖电场的具体形式，仅依赖空间的各向同性。v 关于电场完备组是：Ñ× E = r / e0 ,Ñ´ E = 0.对给定的电荷分布，即确定的r，再加上一定的边界条件，就能从上式确定E。（Gauss定理）15§3、电流与磁场Ø 1、电流密度Ø 2、BiotSavart定律Ø 3、 B 所满足的16Ø 1、电流密度v在中，电场是由电荷产生的。但磁体和运动电荷都能产生磁场。近代物理告诉我们，磁体是由于电荷的运动或带电粒子的自旋而产生。这里带电粒子的自

18、旋可以理解为粒子的运动的一种形式。因此，可以说，磁场是由电荷的运动产生的。v 这里，只限于电荷的宏观运动，即电荷的(机械)运动。若干种电荷在空间的体电荷密度分别是r1 ，r2 ， ， 相应的速度分别是 v1 ，v2 ， ，引入体电流密度：rJ º åra va .a17v 在空间任取一个面积元da()，第一种电荷在时间，通过da的体积为da·v1 ，rrrrå aar v × daJ × da =a时间通过da的总电荷，da是v1即通过da的电流 I。如果电荷分布在一个曲面，相应的面电荷密度为a1 ，a2 ， ，面电流密度为：rK &

19、#186; åaava .a如果电荷分布在一条曲线上，相应的线电荷密度分别为l1 ，l2 ， ，线电流密度为：rI º ålava .a18da·v1v 实验表明，电荷在一切过程中总量不变，即电荷守恒定律。r = - dÑò J × da S= òÑ× Jdv,ò rdv =V由此得：dt= -ò ¶r dv,V¶tVVr让 S 趋于一个点，就得到： Ñ׶rSJ + ¶t= 0.这个称为电流连续性，是电荷守恒的微分

20、形式。v J不随时间变化的电流体系称为恒定电流。对恒定电流，如果· J 0，则· J将为不变的非零常量，因此 ¶r / ¶t 也将为不变的非零常量，这将导致 r 趋于无限大。19Ø 2、BiotSavart定律rJdv 就是dv内电荷电量乘以电荷的速度，对 J º rV,其量纲与qv相同。实验表明， dv 内的电荷受到的作用力为：VjdvrrmrRrJ´ R,rJ (r ')dv 'òdvdF =j (r )dv ´04pR3rVdF中不包括非电磁力， 也不包括Coulumb力，m0 是真

21、空中的磁导率。O20生的磁感应强度B：由上式，可以定义V内电dFjdv×B，该式对随时间变化的电磁场也成立。这表明：rrmJ (r ')dv '´ R,4p òB =0 R3V上式即为 BiotSavart定律由Biot和Savart(1820)，Ampére (182025)总结出来。rrrrò K(r ')da ' 线电荷 ò I (r ')dl 'ò J (r ')dv ' 面电荷VLqv.Sq为体系的电量，当体系只有一个带电粒子时， q就是粒子所带的电量

22、。21一种电荷以相同速度运动Ø 3、 B所r满足的（散度与）rrmJ (r ')dv '´ R =4p òB =0 R3VrrrrR = r - r ' = (x - x ')i + ( y - y ') j + (z - z ')k ,rrR =r - r ' =(x - x ')+ ( y - y ')+ (z - z ') ,222r+Ñ = r+ r¶¶x¶¶y¶ ,Ñ 1 = - R .ijk¶z

23、R3Ré rrm0m01 ùr1RòVòV= -J ´Ñdv ' =Ñ´ J (r ')dv ' =êúpp44ëRûrrmò J (r ') dv '= Ñ´04pRV22再求散度一定为0，即：由于任意矢量函数的rÑ×Ñ´ f (x, y, z) = 0,rÑ× B = 0,后面我们会看到，对随时间变化的磁场，上式也成立。对一个散度为0的矢量场(

24、B)，r总可以引入另一个矢量场(A)：B º Ñ´ A,这里A 称为磁矢势，这个式子对随时间变化的磁场也同样成立。由上页关于B的表A =，可以把A取为：rrmJ (r ')Rò 0 4pdv ',V由于任意一个标量函数的梯度的Ñ´Ñg(x, y, z) = 0,为0，即：23对一确定的磁场，磁r矢势A可以不同，A Þ A + Ñg(x, y, z)对应的B相同。S包含所有电流，J在边界上为0v B的：rÑ´rB = Ñ´(Ñ´ A

25、)= Ñ(Ñ× A) -Ñ A,2darrmJVJ (r ')RòÑ× A =Ñ×dv ' = 0 4pV11Ñ= -Ñ',rr 'rrr -rrr - r 'rSÑ× J (r ') = J ×Ñ 1r11r= -×Ñ'-Ñ '×= -Ñ '× J .JJRmRRRRrrrÑ '× J

26、(r ') dv ' = -mJ (r ') ×r '4p ò= -0 4p Ñò0da0，RRVS24r= - m0r1r4p ò J (r ')Ñdv ' = m J (r ).R0Ñ´ B = -Ñ A22r - rV= -4pd (rr '),总结以上结果，得到关于B的：12rÑ× B = 0,rÑ´rB = m0J (r ).形式：òÑ× B dv = 0,V（Amp&#

27、233;re定理）由1求ærÑ×örr左边ç òB dv÷ = Ñò B × da = 0.è VøS25rrrr由2得： òÑ´ B ×ò=m0J (r ) ×da,SdaSSr× dl ,= m I= Ñò,B0encL这里，Ienc 是被闭合曲线 L 围住（encloesed）的总电流，即被L 套住的总电流。这里， L的环绕方向和da的方向用与以前相同的方法确定。L这样就得到形式的

28、Ñò B × da = 0,SÑò B× dl = m0Ienc ,L：r3426§4、MaxwellØ 1、Faraday定律Ø 2、Maxwell组组的一般形式27在上面2节，我们主要限于讨论r、J不随时间变化体系， 相应的E、B也不随时间变化。不随时间变化的电磁场满足的完备如下：Ñ× E = r / e0 ,Ñ´ E = 0.Ñ× B = 0,Ñ´ B = m0J.这里电场和磁场相互（Gauss定理）（Ampé

29、re定理）。dav 现在把上述物理量推广到随时间变化情形。SØ 1、Faraday定律r对任一曲面S，ò B× daS称为磁通量F。L28e º Ñò E ×dl 称为感生电动势，L右手关系。da电场沿环路的L这里的dl与da实验表明，e 与磁通量有如：rdre = -ò B× da,dtFaraday（1831）定律Srrrrr¶rdrrÑò E ×dlòòSòS= Ñ´ E× da = -B×

30、 da= -B× da,¶dttLrSrÑ´ E = -¶B / ¶t,这可以看作静电学中的对应规律的推广，因为对静电场，B 始终为0，上式给出E的为0。29Ø 2、Maxwell组的一般形式在静电磁场中，我们得到:Ñ× E = r / e0 , 1（Gauss定理）Coulomb定律 Ñ´ E = 0.2BiotSavart定律34（Ampére定理）Ñ× B = 0,rrÑ´ B = m0 J (r ).对随时间变化的电磁场， 2式

31、由Faraday定律取代：Ñ´ E = -¶B / ¶t,2 （Faraday定律）对随时间变化的电磁场，如果电荷守恒是正确的，4一定是错的， 因为对该式求散度，左边为0，30r右边= m0Ñ× J = m0 (-¶r / ¶t),r 一般是随时间变化的，上式一般不为0。如果假定1式是正确的：m (- ¶r ) = -m¶ (e Ñ× r= -Ñ×(m e ¶E ),E)000¶t¶t00¶t如果把Ampé

32、re定理改写为下面的形式，就可以避免上式：r¶ErÑ´ B = m0 J (r ) + m0e0¶t .41、3、2、4四式了电磁场的完备，称为Maxwell组：31位移电流Ñ× E = r / e0 ,Ñ× B = 0,1234组(1865)MaxwellÑ´ Er= -¶rB / ¶t,¶ErÑ´ B = m0J (r ) + m e.00¶t在静磁场中，体积元dv r中的电r 荷受到磁场的作用力为：F = Jdv ´ B

33、,rF = rdvE,在静电场中，实验表明，当同时存在随时间变化的电磁场时，dv内的电荷受到的作用力为Lorentz力公式:rF = rdvE + Jdv ´ B,体积内的电荷受到的作用力r ，即力密度为：f = rE + J ´ B.32把上面的电荷密度看作各个点电荷的贡献：rrrr råårq d (r - r )v ,J =v=aaiiiiai这里，i是r对体积内的带电粒子求和。rJdv = åqivi ,（求和限于dv内）i当dv内只有一个点电荷q时，r´ B.F = qE + qvLorentz力公式变为：Maxwll组中的

34、4个和Lorentz力公式经典电动力学的基础。电荷守恒可以由Maxwell 的4式取散度并利用组推出，1即得。对33§5、物质的电磁性质Ø 1、导体Ø 2、电介质的极化Ø 3、电介质中的Gauss定理Ø 4、磁介质的磁化Ø 5、磁化电流Ø 6、物质中的Maxwell34Ø 1、导体通常，物质可分为导体、半导体和电介质。可以在宏观尺度上自由运动的电荷称为自由电荷。 对很多导体，自由电流密度与电场的关系有Ohm定律给出： Jf =s E，s 为电导率,在一定条件下为常量v 导体有如下静电特性：q 导体内部的电场为0；因

35、为电场不为0，自由电荷将运动，与静电场q 导体内部的总电荷密度为0；。r = e0Ñ× E = 0;E = 0,q 导体中的净电荷只能存在于表面上；q 表面电场与导体表面垂直(不然自由电荷将沿表面运动)35Ø 2、电介质的极化电介质由特定的组成，通常电介质中的带电粒子都属于。整个呈电中型，即r = lim DQ = 0,DvDv®0这里，Dv趋于0是指趋于某一宏观小、微观大的量，例如103倍尺度。l对如右图的电荷体系，电偶极矩为： rqqåi(Dv内)p = ql .由此引入介质的极化强度：rpirP = lim.DvDv®036在没

36、有外电场时，介质通常是电中性的，极化强度为0。: 每个:单个的电偶极矩为0。的电偶极矩不为0.非极性极性 但各个的电偶极矩的取向是无规的，所以介质整体上的极化强度也为0。当加入外电场后，p的电荷分布、极性的取向非极性等将发生改变，从而使介质的极化强度不为0. 当电场不强时，许多介质是线性、各向同性的，线性是指极化强度与电场的1次方成正比，各向同性是指极化强度与电场的方向相同。37OHHOOCPaE e0ceE ,对线性、各向同性介质：ce称为极化率，依赖介质的种类、温度、密度等， 但不依赖电场强度。如果在介质内部，ce不随位置变化，就称这种介质为均匀介质。rrD º e0E + Pv

37、 引入电位移D:如果只限于线性、各向同性介质， rr上式 e0 (1+ ce )E º e0er E º e E,e 称为介电常数。38Ø 3、电介质中的Gauss定理极化电荷由于极化在介质中任意一个封闭曲面S内产生的电荷。daS的电偶极矩都是 ql ，设介质中数密度n可以不同。不同地方，介质的+qrrdaP(r ) = nql .由此得S内的电荷为：rr =-Ñò l × danq = -Ñò P × da= -òÑ× Pdv = ò rPdv,lSSrVV39这

38、里rp 为极化（Polarized）产生的电荷密度。rP = -Ñ× P.从最后一个等式得：用相同的方法，得介质表面的面电荷密度：a= P × rn.Pn为介质表面的外法向矢量。介质中除了属于各个的电荷，也可能有自由电荷rf 。在介质中Ñ× E = r / e0= (r f+ rp ) / e0= r f / e0 -Ñ× P / e0,rÑ×(e E +Ñ× D = r,P) = r,f0f40Ø 4、磁介质的磁化nS对的电流圈，其磁矩为：m = rnSI.In为的法向矢量

39、，与电流正向右手关系。磁介质中的磁化强度M定义为：råi(Dv内)mriM = lim.DvDv®0磁场强度H由下式定义：rrB º m0 (H + M ).这里B是比H更基本的物理量，这是因为B是由电荷的运动产生的，M在只有少数时没有定义，因此H也没有定义。41与电介质相似，根据M与H的关系，磁介质可以分为线性和非线性，各向同性和各向异性。对线性、各向同性磁介质，rM º cm H,cm称为磁化率。对这类r 磁介质r ，B = m0 (H + cm H )º mH,= m0 (1+ cm )Hm 称为磁导率r 。注意B = mHr只对r 线性

40、、各向同性磁介质成立但 B º m0 (H + M )却普遍成立。42Ø 4、磁化电流求由于磁化产生的通过磁介质中的任意一个曲面S的电流arM =nI a.磁化强度为：不同地方，I电流圈的数密度n可以不同。从右图可以看出，只有被S的边界线套住的电流圈对通过S面的磁化电流才有贡献。43规定S面的磁化电流正向与S面边界线环绕方向为右手螺旋关系。放大边界线上的一小段dl 如右图。以a作底面， dl作中线得到一圆柱，中心不在该柱体内的对磁化电流没有贡献。只有中心在柱体内的电流圈电流圈对磁化电流才有贡献。设磁化电流密度为Jm，得：rrrò JÑò

41、2;ò× da =a × dl nI =ÑM × dl =Ñ´ M × da,SmSL rLJm = Ñ´ M.rr= M ´ n,在磁介质的边界上的磁化面电流密度为：Kmn为边界的外法向矢量。44Jm、Km中的带电粒子都只是在尺度上运动，对应的自由体电流密度Jf 和自由面电流密度Kf中的带电粒子都可以在远大于v 极化电流的宏观尺度上运动。如果电极化强度随时间变化，则极化电荷密度变化，因此导致的电流密度称为极化电流密度Jp，¶rpr= -Ñ×根据电荷守恒：

42、J p ,¶trr与 rP= -Ñ× P联立得：J p = ¶P / ¶t.J f+ JmrJ =rr因此，总电流密度为：+ J p .45Ø 6、物质中的MaxwellrrrÑ´=r+r+¶E ,1J p + eBJ fJm由修正后的Ampére定理得：m0¶t0Ñ´ M¶P / ¶tr-rr=rr+¶J f+(e0EP),Ñ´( 1 BM )m¶tr 0rr¶Ñ´ H =

43、J f+ ¶t D.最后得：Ñ× D = r f ,Ñ× B = 0,Ñ´ E = -¶B / ¶t,1234介质中的Maxwell组rÑ´rr¶H = J f+ ¶t D.46rÑòD × da = Qf,5encSr = 0,Ñò B × da6相应的形式SÑòrd= -r×rròB × da ,7E dldtLSr×r= Ir+ ddtròòSD ×da.Ñ H dlLf8enc47§6、介质边界上的电磁规律把Maxwell在介质中的形式用于介质边界，就得到介质边界上的电磁规律，即边值关系。对5和6这种包含闭合面n2的，把S面取为的扁合子，表1t忽略合子侧面的面积。对7和8这种包含线的，把 L环路取为表的窄矩形，忽略环路围成的面积。最后得：D2n D1n af ，B2n B1n 0 ，n× ( E2 E1 ) 0 ， 即 E1t