直线的两点式方程优秀教案

1、直线的两点式方程一、教学目标1 .掌握直线方程的两点式和截距式以及求法；2 .理解直线方程点斜式、斜截式、两点式和截距式四种形式之间的联系和转化；3 .通过直线方程多种形式的学习，让学生体会对统一的辩证唯物主义观点.二、教学重点： 直线方程两点式的推导和应用；教学难点：直线方程的几种形式之间的等价转化.三、教学用具：投影仪或多媒体四、教学过程：(一)导入新课(教师活动)复习旧知，组织板演，并作小结.复习直线方程的点斜式及推导过程.(提问)练习应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：(1) A(2,1), B(6,-3)(2) A(0,5),B(5,0)(3) A(-4,-5),B(0,

2、0)(4) A(4yi),B(X2,y2)(其中 x1x2).(学生活动)其他同学笔答.归纳已知直线上两点求直线方程时，首先利用直线的斜率公式求出斜率k,然后利用点斜式写出直线方程.其中第(4)小题的直线方程为：y - y1y2 - y1 (x- X1),X2 - X1这时可向学生提出：这个答案对我们有什么启示？能否将过两点的直线方程公式化？以此揭 示、板书课题.设计意图：本环节从学生利用上节课学过的直线方程的点斜式，求过两已知点的直线方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要，同时也“悟”出两点式的推导方法，以此导入 新课，目的在于为学生既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础.(二

3、)新课讲授【尝试探求，建立新知】(教师活动)组织探讨，并作分析.【探讨两点式】问题1由y y1 - y2- y1 (x -X1)可以推导出y y1= x X1,这两者表示直线X2-X1y2 - y X2 - X1的范围是否相同？分析1不同，后者必二丫2,即不能表示倾斜角是 0。的直线，显然后者范围缩小了，但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用 后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，可以把这种直线方程取一个什么名 字？(让学生作合情分析)由此得出：当x1 #x2,y1#y2时，经过点P(x1, y1), P2(x2, y2)的直线方程可以写成：

4、y -必 x- xiV2 - yix2 - xi由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式.问题2哪些直线不能用此公式表示？(倾斜角是0或90的直线不能用两点式公式表示)问题3若要包含倾斜角是 0或90。的直线，应把两点式变成什么形式？(应变为(y y1)(x2 x1)=(x x1)(y2 %)的形式)问题4我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其它的途径来进行推 导？分析还可以利用同一直线上任何两点确定的斜率相等进行推导.设P(x,y)是直线l上不同于P(x,yi), P2(x2，y2)的任意一点，由kPPl=kP1P2即得当 y1#y2 时，9=31，即_*=!.x

5、 - x1x2 - x1y2 - y1 x2 - x1所以，公式中的(x1、y1),(x2、y?)对一条具体直线而言，可以用直线上任意两个不同的点代替.练习求过下列两点的直线的两点式方程，再化成斜截式方程：(1) A(2,1),B(0,-3)(2) A(-4,-5),B(010)(3) A(0,5),B(5,0)(4) A(a,0), B(b,0) (a = Qb=0)设计意图：为更好地揭示直线方程的两点式公式的内涵，加深学生对公式的理解，本环节通过创设不同角度的四个问题，供学生思考、分析，让学生体会数学的“对称美”，同时又培养了学生严密的逻辑思维能力，渗透了分类讨论的数学思想.另外，通过学生

6、完成练习，既巩固两点式的应用，又较自然地引导出下一环节讲解的“截距式”【推出截距式】b 在练习(4)中，得到过点A(a,0), B(0,b)的直线方程为y = - x + b,将其变形成为：a若直线与x轴交于点(a, 0),定义a为直线在x轴上的截距，则以上直线方程是由直 线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.用截距式画直线比较方便， 因为可以直接确定直线与 x轴和y轴的交点的坐标.问题1截距式中，a, b表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距 离？(答：不是，应是直线与坐标轴交点的横坐标和纵坐标，故a, b取值为任何非零实数，而不仅仅为正数.)问题2有没有截距

7、式不能表示的直线？(答：有，当直线在x轴或y轴上的截距为零的时候.截距式不能表示过原点以及与坐标轴平行的直线.故使用截距式表示直线方程时，应注意单独考虑这几种情形，分类讨论， 防止遗漏.)练习2.说出下列直线的方程，并画出图形：(1)倾斜角为45 ,在y轴上的截距为0;(2)在工轴上的截距是5,在y轴上的截距是6;(3)在工轴上的截距是3,与y轴平行； (4)在y轴上的截距是4,与x轴平行。设计意图：在讲完两点工后，紧接着讲解截距工，有利于比较两种表式的方程，从而有助于不生理解两者之间的内在联系和区别，在具体应用截虎式时能考虑到截距为0与不为0的两种情况，并建立完善的知识结构。【例题示范，变式

8、训练】(教师活动)投影例题和练习，要求同学独立完成变式练习。字幕例1.三角形的顶点是 A(5,0),B(3,-3),C(0,2),求这个三角形三边所在直线的方程。分析1为使所求直线方程更简单、方便、根据A, B, C坐标的特征，求 AB所在直线的方程应选用两点式；求 BC所在直线的方程应选用斜截式；求AC所在直线的方程应选用截距式。解：(详见课本例3解答过程)字幕(变式一)求例1中 ABC的三边上的中线所在的直线方程。(变式二)已知 AABC的三个顶点为 A(2,8), B(Y,0),C(6,0),求过点B且将AABC 面积平分的直线方程。(答案：x2y + 4=0)设计意图：例1主要训练学生

9、在复杂的背景中，如何选用直线方程的四种特殊形式求直线方程，变式题主要训练学生举一反三的学习能力。字幕例2.求过点P(-2,-1),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。分析要注意分类讨论，不要遗漏截距为0的直线。1投影1解：若直线截距为0,设所求直线方程为 y = kx ,将点(-2,-1)代入求得k =，2故所求直线方程为y = 1x。2若直线在两坐标轴上的截距不为0,则设直线方程为)+2=1 ,把点(一2, 1)代入求得a aa = -3 ,则直线方程为x + y +3 = 0。1综上所述，所求直线方程为y=1x或x + y+ 3 = 0。2字幕1 (变式一)求经过点 P(1,2)且与两坐标

10、轴构成等腰直角三角形的直线方程。投影设所求方程形如x y =1,将P(1,2)代入求得a = 3或a = 1,故所求直线a a方程为x+y =3或x y+1 = 0。(变式二)一条直线过点 A(1,2),且与两坐标轴的正方向所围成的三角形面积是4,求这条直线的方程。投影1解：设所求直线方程为+ y =1(a 0,b0),则, a3:1, a b 1 , ab = 412a = 2,9=4.所以，所求直线方程为 -1.24字幕1 (变式三)已知直线l过点A(1,4)且在第一象限与坐标轴所围成的三角形面积 最小，求直线l的方程。投影解：设l的方程为%+ ? =1(a A0,b 0),a a因为l过

11、点A(1,4),14所以1 4 =1.a b1 4 所以 1 =1 4 _2a a1 一所以ab -4 ab - 8.214.因此，当且仅当 一=一时，三角形面积有最小值8。a b1 +4 d-十一 =1, r 八此时有a b=产=2,1 _4” =8.a b所以l在方程为x + y=1,即4x + y8 = 0。 2 8注：本题不可以引导学生采用直线方程的点斜式求解。设计意图：例2及变式题力求由浅入深，层层梯进地训练学生对直线方程的截距式的应用，加深学生在使用截距式时应单独考虑截距为0的情况的印象，通过教师及时调控、讲评,帮助学生进一步完善认知结构。(三)小结(师生共同完成)通过列表从名称、

12、形式、已知条件、使用范围、示意图等方面对所学 直线方程的上种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较。投影1直线方程的名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式斜截式两点式截距式设计意图：为帮助学生用联系的观点来学习知识，又能把四种形式的直线方程加以区别，以便更好地运用它们，本环节主要采用比较法的形式小结。五、布置作业1 .课本作业：课本，习题 第7, 8, 10题。2 .思考题(1)过点P(1,2)的直线分别交x,y轴于A,B两点，若点P恰为线段AB的中点，求此直线的方程。(2)求与两坐标轴正方向围成面积为2个单位的三角形，并且截距之差为3的直线方程。(3)直线Ax + By+C =0通过第二、三、四象限，则系数A,B,C需满足条件()。(A) A,B,C 同号(B) AC 0,BC 0(C) C=0,AB0(D) A=0,BC0(4)直线Ax+by-1=0在y轴上的截距是1,而且它的倾斜角是直线J3x y = 33的倾斜角的2倍