材料力学第8章 应力状态

1、2022-4-261材料力学材料力学2022-4-262材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-263FFNFA应力计算公式：应力计算公式：强度条件：强度条件： maxFA其中，许用应力：其中，许用应力： un实验测得材料相应的极限应力实验测得材料相应的极限应力安全因数（安全系数）安全因数（安全系数）材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-264应力计算公式：应力计算公式：强度条件：强度条件：其中，许用应力：其中，许用应力： bn单向拉伸实验单向拉伸实验测得材料的极限应力测得材料的极限应力安全因数（安全系数）安全因数（安全系数）MMMzMyI

2、 max2zhMI材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-265TTTpTI应力计算公式：应力计算公式：强度条件：强度条件： maxPTRI其中，许用切应力：其中，许用切应力： un剪切实验剪切实验测得材料的极限应力测得材料的极限应力安全因数（安全系数）安全因数（安全系数）材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-266可见，对于材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题可见，对于材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题其共同特点是其共同特点是：一是材料的危险截面危险点只承受正应力一是材料的危险截面危险点只承受正应力或切应力或切应力二是需要实验直接确定失效时的极

3、限应力，并依此建立强度准则二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则但是，对于工程上的复杂结构但是，对于工程上的复杂结构危险点同时受正应力危险点同时受正应力和切应力作用和切应力作用，很难用实验确定极限应力，很难用实验确定极限应力如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？应力状态应力状态材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2671. 应力状态的基本概念应力状态的基本概念2. 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析3. 应力圆应力圆4. 主应力与主平面主应力与主平面5. 空间应力状态的概念空间应力状态的概念6. 应力应

4、变关系应力应变关系7. 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-268应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-269应力状态的概念应力状态的概念过一点、在不同方向面过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的上应力的集合，称之为这一点的应力状态应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分

5、析2022-4-2610应力的点的概念应力的点的概念 同一截面上不同点的应力各不相同同一截面上不同点的应力各不相同横截面横截面上切应力分布上切应力分布横截面横截面上正应力上正应力分布分布Mz应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2611应力的面的概念应力的面的概念同一点处不同同一点处不同方向面上的应力各不相同方向面上的应力各不相同受力之前受力之前, ,杆件表面同一点处取一正方形杆件表面同一点处取一正方形受拉后，正方形变成了受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。矩形，直角没有改变。应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料

6、力学第8章章 应力状态分析应力状态分析受拉后，正方形变受拉后，正方形变成菱形。成菱形。2022-4-2612低碳钢拉伸实验低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验铸铁拉伸实验韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2613应力的面的概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相同过同一点不同方向面上的应力各不相同x斜截面上存在正应力和切应力横截面上只有正应力应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2614应力状态的

7、基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2615为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢扭转实验低碳钢扭转实验铸铁扭转实验铸铁扭转实验应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2616同同一点不同方向面上的应力也是各不一点不同方向面上的应力也是各不相同，相同，此此即即应力的面的概念。应力的面的概念。指明 哪一点？哪个方向面？应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2617不仅横截面

8、上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力截面上的应力应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2618微元及其各面上微元及其各面上一点应一点应力状态力状态的的描述描述应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2619三向（空间）三向（空间）应力状态应力状态( Three-Dimensional State of Stresses )yxz x y z

9、xy yx yz zy zx xz应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2620平面（二向）应力状态平面（二向）应力状态yxz x y z xy yx yz zy zx xz应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析yyzzzyyzyyzzzyyz2022-4-2621xyxxy( One Dimensional State of Stresses )( Shearing State of Stresses )应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析

10、应力状态分析( Plane State of Stresses )2022-4-2622三向应力状态三向应力状态平面应力状态平面应力状态应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2623F例：画出图示例：画出图示矩形截面梁在红线截出横截面矩形截面梁在红线截出横截面内不同点的应内不同点的应力状态力状态QMyz1123455432应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析A2022-4-2624T例例2：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态1. 1. 螺旋

11、桨带动轴杆向前，产生拉力螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力FF2. 2. 轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用T应力状态的基本概念应力状态的基本概念材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2625材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2626xxyyyx平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析平面应力状态分析的目的：平面应力状态分析的目的：分析过一点任意角度方向面上的应力分布分析过一点任意角度方向面上的应力分布分析方法：分析方法：将所求方向的斜截面与微元所形成三角形微元取将所求方

12、向的斜截面与微元所形成三角形微元取出，通过平衡方程求解出，通过平衡方程求解yx xyyx2022-4-2627平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2628平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2629yxxy切应力切应力： 引入正负号之后引入正负号之后xyyx 平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2630方向角方向角由 x 轴指向逆时针方向为正；反之为负。yxxy平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学

13、第8章章 应力状态分析应力状态分析dA2022-4-2631y yx 0 xF 0yF 平衡对象平衡对象x xy平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2632 0 xFxyy yxdAx dA(d sin)sinyA(d cos)sinxyA0(d cos)cosxA(d sin)cosyxA平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2633 0yFxyy yxdAx 课堂思考：根据课堂思考：根据 y y 方向的方向的平衡条件写出平衡条件写出 的表达式的表达式平面应力状态分析平面

14、应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2634xyxxyyxxydA根据根据 和和 方向上的平衡条件：方向上的平衡条件：xy0 xF0yF由三角倍角公式，可得到任意方向面上由三角倍角公式，可得到任意方向面上的正应力的正应力和切应力：和切应力：cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-263550701003070例题例题1：图示微元，表面正应力图示微元，表面正应力与切应力已知与切应力已知。求法向与。求法向与x轴正向成轴正向成30的斜面上所受正

15、应力的斜面上所受正应力与切应力。与切应力。所示应力单位为所示应力单位为MPa。解：解：50, 100, 70, 30 xyxy 30cos2sin222xyxyxy30sin2cos22xyxy50 10050 100cos60( 70)sin602273.1()MPa 50 100sin6070cos60230()MPa平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2636平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析例题例题2：两端密封圆柱形压力容器，圆筒部分由壁厚为两端密封圆柱形压力容器，圆筒部分由

16、壁厚为，宽度为，宽度为b的塑条压成螺旋状并熔接而成。圆筒内径的塑条压成螺旋状并熔接而成。圆筒内径 ，容器承受，容器承受内压强内压强p，若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉，若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的应力的80%80%，试求塑条许可宽度，试求塑条许可宽度b。D2022-4-2637平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2638平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析lp1 2 1 = ?2 = ?222D24Dp224DDp24pD0 xF 2022-4-2639平

17、面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析p12pDll12pD0yF 11 1 (2 l )ppDll1 2 2022-4-2640平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析24pD12pD2022-4-2641平面应力状态分析平面应力状态分析材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析Db24pD12pD22()sin; cosDbbDD由几何关系由几何关系代入代入 表达式，并考虑表达式，并考虑10.8得：得：2.43bD若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的若熔接部分承受的拉应力不得超过塑

18、条中最大拉应力的80%，试求塑条许可宽度试求塑条许可宽度b2022-4-2642材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2643材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2644cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy由微元任意方向面上的正应力由微元任意方向面上的正应力和切应力公式和切应力公式cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy两方程等号左右两边同时平方后相加：两方程等号左右两边同时平方后相加：222221()422xyxyxy材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆x

19、xyyyx2022-4-2645应力圆方程：应力圆方程：222221()422xyxyxy该方程描述了以该方程描述了以 为横轴，为横轴， 为纵轴的坐标系。这种圆称为为纵轴的坐标系。这种圆称为应力圆（应力圆（stress circle）或莫尔圆（）或莫尔圆（Mohr circle）。应力圆的）。应力圆的圆心位于横轴，圆心位于横轴，圆心坐标为：圆心坐标为： 圆半径为：圆半径为：(,0)2xy221()42xyxyO2xyR221()42xyxyR材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆xxyyyx, xxy, , yyx2022-4-2646Oa( x , xy) y yx

20、B y yxBb( y , yx) xyA y yxBxx xyAx xyA y yxB y yxB材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆c(,0)2xy2022-4-2647材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2648yyxxyxAA(,)材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2649yyxxyxADnxAD2材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2650材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2651Oca

21、( x , xy) y yxB y yxBb( y , yx) xyA y yxBxx xyAx xyA y yxB y yxB材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2652材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆课堂练习课堂练习画出下图应力状态的应力圆：画出下图应力状态的应力圆：140MPa80MPa(-140,-80)(0,80)(-70,0)2022-4-2653已知某点两截面应力已知某点两截面应力(MPa)(MPa)，试画出该点应力圆，并求出，试画出该点应力圆，并求出图中两截面夹角。图中两截面夹角。40103020AB材料

22、力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2654材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2655 x x o245245BEADadcbeE EB B4545拉中有剪的例子：拉中有剪的例子：材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2656c o245245adbe x xEBEB x x材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2657EB x x 轴向拉伸时，轴向拉伸时，45方向方向面上面上既既有正应力又有正应力又有有切应力切应力，正应力不正应力不

23、是最大值是最大值，切应力切应力却却最大。最大。材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2658o 245245 y x BEDA A d(0,- )Ca (0, )eb剪中有拉的例子：剪中有拉的例子：材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2659 y x BEDA A y x BE材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2660 在纯切应力状态下，在纯切应力状态下，4545方向面上方向面上只有只有正应力没有剪正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。应力，而且正应力为最大值。DA A

24、 y x BE材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2661例题例题3：图示圆杆分别采用低碳钢（图示圆杆分别采用低碳钢（a）和铸铁（）和铸铁（b）进行扭转实验，）进行扭转实验，低碳钢断裂面垂直于轴线，铸铁的断裂面与轴线成低碳钢断裂面垂直于轴线，铸铁的断裂面与轴线成45角。角。试采用应力圆分析该两种材料不同的断裂特性。试采用应力圆分析该两种材料不同的断裂特性。（a）低碳钢低碳钢（b）铸铁铸铁材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆2022-4-2662解：解：圆杆扭转，微元为平面应力状态。取圆杆表面微元，可知该圆杆扭转，微元为平面应

25、力状态。取圆杆表面微元，可知该微元的应力状态为纯剪。微元的应力状态为纯剪。材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆x y xOAABBCmaxC2022-4-2663最大切应力的最大切应力的方向角方向角s0与低碳钢的断裂面一致，与低碳钢的断裂面一致， 所以所以低碳钢是剪力引起破坏低碳钢是剪力引起破坏。与铸铁的断裂面一致，所以与铸铁的断裂面一致，所以 铸铁这种脆性破坏是拉应力引起铸铁这种脆性破坏是拉应力引起。最大拉应力的方向角最大拉应力的方向角0 045材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆ABCx y xOABCmax2022-4-2664思考

26、思考：1. 正应力最大时的方向角正应力最大时的方向角与切应力最大与切应力最大时的方向角时的方向角 有什么关系？有什么关系？2. 正应力最大的平面正应力最大的平面上切应力是否上切应力是否一定为零？一定为零？3. 切应力最大切应力最大的平面上正应力是否一定为零？的平面上正应力是否一定为零？5. 平面内平面内最大切应力是否最大切应力是否是过一点所有方向面是过一点所有方向面中切中切应力的应力的最大值？最大值？ 4. 平面内最大正应力与平面内最大正应力与最大切应力之间最大切应力之间有何关系？有何关系？材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析应力圆应力圆Ox y x2xyR2022-4-266

27、5材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2666材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面问题：问题：1. 1. 过一点所有方向面上的最大正应力、最过一点所有方向面上的最大正应力、最大切应力是多少？大切应力是多少？2. 2. 最大正应力所在平面？最大正应力所在平面？2022-4-2667材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面,xxy,yxyxxyy2max2min1422xyxyxy22max142xyxy极值正应力极值正应力最大切应力最大切应力最大正应力最大正应力所在平面所在平面021

28、arctan2xyxy xy2xy020minmaxmax2022-4-2668材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面,xxyxxyy主平面主平面: :主方向：主方向：主应力：主应力：xy2xy020minmaxmaxmaxmin定义定义切应力为零的平面切应力为零的平面 （极值正应力所在平面）（极值正应力所在平面）主平面外法线方向主平面外法线方向主平面上的正应力主平面上的正应力 （极值正应力）（极值正应力）2022-4-2669材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面相邻主平面一定两两相互垂直，由三对互相邻主平面

29、一定两两相互垂直，由三对互垂主平面所构成的微体成为垂主平面所构成的微体成为主平面微体主平面微体主应力：主应力： 3 3个个 （平面内（平面内2 2个平面外个平面外1 1个）个）xxyy0问：空间内一点有几个主应力、主平面、主方向？问：空间内一点有几个主应力、主平面、主方向？主平面和主方向：主平面和主方向： 3 3对对 问：主平面之间的相互关系？问：主平面之间的相互关系？平面应力状态是主应力平面应力状态是主应力 的特殊情况的特殊情况主应力排序主应力排序 01232022-4-26700 002tan2xyxy 由主方向方向角公式：由主方向方向角公式：00222221()4221()4220 xy

30、xyxyxyxyxy cos2sin222xyxyxxy解析法求平面应力状态下的三个主应力解析法求平面应力状态下的三个主应力材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-267122221()4221()4220 xyxyxyxyxyxy 将以上三个主应力将以上三个主应力 按照按照代数值代数值由大到小排列，并由大到小排列，并分别用分别用 表示表示, 123, 123则有：则有：材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2672FFFFFF123,FA 0, 0123, 0FA123, 0, FF

31、AA ,FA 0 ,FA 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2673材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同 224212xyyxyx 224212xyyxyx 0 2 p xy xocbead 1232022-4-2674主应力排序主应力排序 xy xoadcbe 1203材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的

32、排序略有不同应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同2022-4-2675 xy xoadcbe 1023材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同主应力排序主应力排序2022-4-2676yyxxyxxyyxxy材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2677材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2678例 题 4应力状态如图所示。

33、应力状态如图所示。1.确定主应力确定主应力 1写出主应力写出主应力 1、 2、 3的表达式；的表达式； 2若已知若已知 x63.7 MPa， xy=76.4 MPa，当坐标轴，当坐标轴x、y反时针方向反时针方向 旋转旋转 =120 后至后至x、y ，求，求: x、xy 。应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 221422xyxyxy 221422xyxyxy 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-26791.确定主应力确定主应力应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 因为因为 y0，所以有，所以有042122

34、2xyxx0421222 xyxx又因为是平面应力状态，故有又因为是平面应力状态，故有0 221422xyxyxy 221422xyxyxy 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2680于是，根据于是，根据 1 2 3的排列顺序，得的排列顺序，得 2232221421204212xyxxxyxx0421222xyxx0421222 xyxx0 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-26812.计算方向面法线旋转后的应力分量计算方向面法线旋转后的应力分量 将已知数据将已知数据 x63

35、.7 MPa， y0， xy yx=76.4 MPa， =120 等代入任等代入任意方向面意方向面上应力分量的表达式上应力分量的表达式 ，求得：，求得：66663 7010 cos 2 1202 76 4 10 sin 2 120282.1 10 Pa82.1MPax .66637 010sin 2 120764 10 cos 2 1202xy .MPa865Pa108656.材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2682pFpFeMeM30DxxD例题例题5： 如图，薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用。圆管平均直径如图，薄壁圆管受扭转和拉伸同

36、时作用。圆管平均直径D50mm，壁厚，壁厚2mm。外加力偶矩。外加力偶矩Me600Nm，轴向载荷，轴向载荷22pDWFp20kN。薄壁管截面的扭转截面模量可近似取为。薄壁管截面的扭转截面模量可近似取为 。1. 求圆管表面上过求圆管表面上过D点与母线夹角为点与母线夹角为30的斜截面上的应力。的斜截面上的应力。2. 求求D点的主应力与点的主应力与最大切应力。最大切应力。30120120120材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2683解：解：1. 取微元，利用拉伸和圆轴扭转公式计算微元各面上的应力：取微元，利用拉伸和圆轴扭转公式计算微元各面

37、上的应力：3220 1063.7/63.7502ppFFNN mmMPaADmmmm2. 求斜截面上的应力，首先：求斜截面上的应力，首先：xDx3012012012063.7, 0, 76.4, 120 xyxyMPaMPa 120cos2sin222xyxyxy120sin2cos22xyxy则则232322 60076.4(50 10)(2 10)eepMMN mMPaWDmm50.3MPa 10.7MPa材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2684解：解：3. 确定主应力与确定主应力与最大切应力：最大切应力：根据最大主应力计算公式

38、根据最大主应力计算公式221()4 22xyxyxy 114.6, 50.9MPaMPa求得面内主应力求得面内主应力0 另因为平面应力状态，有另因为平面应力状态，有按照代数值大小排序，按照代数值大小排序，D点的三个主应力为：点的三个主应力为：123114.6, 0, 50.9MPaMPa D点的点的最大切应力为最大切应力为：13max114.6( 50.9)82.7522MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析主应力与主平面主应力与主平面2022-4-2685材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2686材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应

39、力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念Ox y x2xy22max1()42xyxyR22max1()422xyxy x y z xy yx yz zy zx xz2022-4-2687材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念 x yz xy yx yz zy zx xz2022-4-2688材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念 xy xI 2 3第第I I组组方向面内的方向面内的最大切应力最大切应力232所在平面内的应力不受所在平面内的应力不受 的影响的影响23, 12022-4-26

40、89材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念第第IIII组组方向面内的方向面内的最大切应力最大切应力132所在平面内的应力不受所在平面内的应力不受 的影响的影响13, 2III 2 3 xy xO 12022-4-2690材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念第第IIIIII组组方向面内的方向面内的最大切应力最大切应力122所在平面内的应力不受所在平面内的应力不受 的影响的影响12, 3III xy xO 3III 2 12022-4-2691对任意一个应力状态，均可以找到一个特殊的方向角，使得微

41、对任意一个应力状态，均可以找到一个特殊的方向角，使得微元上仅有三个主应力元上仅有三个主应力 作用。作用。123(,) 123231312232 132 122 12313max =2最大切应力材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022-4-2692 1III 3III 2O xy x微元微元任意方向面上的应力任意方向面上的应力对应着对应着三向应力圆阴影区三向应力圆阴影区域某域某一点的坐标。一点的坐标。max1min313max2最大正应力：最大正应力：最大切应力：最大切应力：最小正应力：最小正应力：三向应力状态下：三向应力状态下：材料力学第

42、材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念三向三向应力圆应力圆2022-4-2693三向应力状态如图所三向应力状态如图所示，图中应力的单位为示，图中应力的单位为MPa。例例 题题 6主应力及微元内的主应力及微元内的最最大切应力。大切应力。材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022-4-2694故微元上平行于故微元上平行于 的方向面上的应力值与的方向面上的应力值与 无关。因此，无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力应力 和和 时，

43、可以将所给的应力状态视为平面应力状态。时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。 所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即60MPa材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022-4-2695这与平面应力状态相类似。于是，平面应力状态下这与平面应力状态相类似。于是，平面应力状态下主应主应力力 和和 公式可直接应用公式可直接应用 0421222xyxx0421222 xyxx所给的应力状态中有一个主应所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即力是已知的，即60MPa材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力

44、状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022-4-2696 本例中本例中 x x=20 Mpa， xyxy=40 MPa。据此，求得。据此，求得 622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22622662010120 10440 10Pa51.23MPa22 60MPa0421222xyxx0421222 xyxx材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022-4-2697根据根据 1 2 3的排列顺序，可以写出的排列顺序，可以写出 MPa2351MPa2331MPa60321.微元内的微元内的最大切应力最大切应力

45、 55.6MPaMPa1055.6Pa21023511060266631max.622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22622662010120 10440 10Pa51.23MPa22 60MPa材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022-4-2698 例例 题题 7 yx xo max20030050(MPa)平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切应最大切应 力力 max。材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022

46、-4-2699 xO x y 2005030050(MPa) max平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切应力最大切应力 max。材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022-4-26100 O x x y 300100(MPa) max例例 题题 9平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切应力最大切应力 max。ab材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析空间应力状态的概念空间应力状态的概念2022-4-26101材料力学第材料力学第8章章 应力状

47、态分析应力状态分析2022-4-2610211xxxExyxE 泊松比泊松比各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2610323111231E 22311E 33121E 12E3E11E各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-261041xxyE1yyxEzxyE xyxyGxy y x 对于平面应力状态，广义胡克定律为对于平面应力状态，广义胡克定律为各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力状

48、态分析应力状态分析2022-4-26105证明：对于各向同性材料，三个弹性常数满足以下关系各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析例 题 2 1EG2022-4-26106各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析解：解：构造一个剪中有拉的应力状态O0 , 0 , /xyxyG4522xyG45135 , 45451351()1()1EEE2 1EG2022-4-26107如图，边长为a的钢块嵌在理想刚性的槽内，并受集中力F 作用。已知钢块弹性模量E，泊松比，求钢块的主

49、应力，主应变。各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析例题 Faaaaxyz10 xxyzE 0z/yFA 其中xyzFA 211yyzxFEEA 11zzxyFEEA 2022-4-26108一大小未知的矩形平板双向受拉，拉应力已知，平板弹性模量E，受力前在平板内画有一个半径为a的圆。问：受力后该圆的面积为多少？各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析例题 xy2022-4-26109材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-26110空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-2611111d d dy zx22d d dx zy33d d dy xz2 1 3 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析2022-4-261121 122331d d d2x y z dW =1122331d dd21d dd21d dd2y zxx zyx yz=dV 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力