定积分及其应用(高数)

1、存在定理的概念存在定理的概念广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用定积分的应用定积分的应用设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i （ii

2、x ），），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，(1)(1)定积分的定义定积分的定义定义定义1.定积分的概念定积分的概念怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分

3、和( )d0( )d( )dabaaabf xxf xxf xx （2） ， (1). (1). 定积分表示一个数，它只与被积函数及积定积分表示一个数，它只与被积函数及积 分区间有关，而与积分变量的记法无关，即分区间有关，而与积分变量的记法无关，即( )d( )dbbaaf xxf tt注意：注意：(3)(3)可积的必要条件：可积的必要条件：( ),( ),f xa bf xa ba.若在上连续，则在上可积。.( ),( ),bf xa bf xa b若在上有界且只有有限个间断点， 则在上可积。, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(

4、曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba (2)(2)定积分的几何意义定积分的几何意义( ),.;.xf xxa xbxx它是介于轴、函数的图形及两条直线之间的各部分面积的代数和在轴上方的面积取正号 在轴下方的面积取负号 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性质性质3 （区间可加性）（区间可加性）2.2.定积分的性质定积分的性质 . , , , :上上结结论论总总成成立立的的位位置置如如何何不不论论补补充充cba性质性质5如果在区间如果在区间,ba上上

5、0)( xf，推论（比较定理或有序性）推论（比较定理或有序性）： 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质4（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）).()()()( , , )( baabMdxxfabmbaxfmMba 则则的的最最大大值值及及最最小小值值上上在在区区间间分分别别是是函函数数及及设设性质性质6:6:估值性质估值性质性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式).()()( , , , , )( baabfdxx

6、fbabaxfba 使得使得上至少存在一个点上至少存在一个点积分区间积分区间则在则在上连续上连续在闭区间在闭区间如果函数如果函数解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx . 2020的的大大小小与与比比较较积积分分值值dxxdxex 例例1 1解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例3.3.证明：证明：21224022xxeedxe证明：令证明：令2( ),0,2xxf x

7、ex则则2( )21xxfxex令令2( )0,210 xxfxex即得驻点为：得驻点为：12x 因为因为1241( ),(0)1,(2)2feffe所以所以2124xxeee从而从而2122224000 xxedxedxe dx即即21224022xxeedxe.)()( xadttfx变上限的定积分函数变上限的定积分函数3.3.变上限的定积分函数及其导数变上限的定积分函数及其导数变上限的定积分函数的性质变上限的定积分函数的性质 说明说明：变上限的定积分函数对积分上限：变上限的定积分函数对积分上限x x的一阶的一阶导数等于将被积函数表达式中的变量记号导数等于将被积函数表达式中的变量记号t t

8、改写为改写为积分上限积分上限x x所得到的函数，而与积分下限所得到的函数，而与积分下限a a无关。无关。 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xaxafxbxbf )()()()(xbxadttfdxdxF( ),( ) ( )( )g xadf t dtf g xg xdx一般地例例 1 xttx0,de)(2 已已知知求求 (x).解解根据定理根据定理 ，得，得 .ede)(220 xxttx 220( ),( )txe dtx思考：已知 求例例 2 0,d)13cos()(xt

9、txF已知已知求求 F (x).解解根据定理根据定理 ，得，得 )(xF 0d)13cos(xtt xtt0d)13cos().13cos( x例例 3 xttx02,d)sin()( 设设求求 (x).解解 (x) xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02 .sin21xx 例例4 4 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定

10、式，应用洛必达法则.cossin. 500的导数对所给定的函数求由参数方程例xyuduyuduxtt.,cos. 6023dxdytdtyxxy求设例证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.证证, 1)(2)(0 dttfxxFx

11、, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 令令( )x因为F在 0，1 上连续，由零点存在定理知，在（0，1）之间至少存在一点00()0.xf x,使得( )0F x 即在（0，1）内至少有一个根。定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式4.4.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式（1）直接积分法）直接积分法5.定积分的计算定积分的计算（2）凑微分法（第一类换元法）凑微分法（第一类换元法）（3）变量替换法（第二类换元法）变量替换法

12、（第二类换元法）（4）分部积分法）分部积分法则有则有 baxxfd)(定积分换元公式定积分换元公式 f )(t tt d)( （1）定积分的换元法）定积分的换元法定理定理1假设函数假设函数( ) , ,f xa b在区间上连续函数函数满足条件满足条件:)(tx 上上或或在在),(, )( t(1) (2) 具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域,baR ;)(,)(ba 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式（2）定积分的）定积分的分部积分分部积分法法设设)(),(xvxu上上在区间在区间,ba有有连续的导数连续的导数,则则 vud定理定理2uv uvd由不定积分的分部积分法由不定积分的

13、分部积分法abbaab及及N-L公式公式. bababauvuvvudd类似于不定积分的分部积分法：类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三反、对、幂、指、三”奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式（3）重要公式）重要公式,)(上连续上连续在在当当aaxf 且有且有,)()1(为偶函数为偶函数xf则则 aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(为奇函数为奇函数xf则则 aaxxf0d)( xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 0

14、0例例 2011( )()f xfxdx0例例 xxxxdsindcos20102010 2200dcosdsin xxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数 54 7632 1 65 87 43 21 2 xxxxdcosdsin207207 109.d)(d)(,)(0为任何常数为任何常数则则的周期的周期是连续函数是连续函数如果如果axxfxxfxfTTaaT 这个公式就是说：这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.例例1 1 设设 , 求求

15、 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx. 6 例例2 2 求求 解解220(1)x xdx212222001(1)(1)(1)x xdxx xdxx xdx1233015()()2xx dxxx dx例例3 3 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin5

16、2x.54 例例 4计算下列定积分计算下列定积分. 解解;de1e)1(11xxx .dcos)2(462xx xxxde1e)1(11 )e1(de1111xx 11)e1ln( x; 1e11ln)e1ln( xxdcos)2(462 xx d )2cos1(2146 46462d2cos41d21xxx462sin416421 x.834124 例例5 5 解解 203dsin xx 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 23203cos31cos xx 解解 aaxxax022)0(d1令令,sintax ttaxdcosd 原式原式 ttc

17、ossin 20dcossinsincos121 ttttt 20cossinln21221 tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 20 tcostd tsintcos tsin 21例例6：例例7 7 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则例例8 8 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos

18、2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例9 9：设设,02( ),2lkxxf xlcxl求求0( )( )0, xxf t dtl在上的表达式。上的表达式。时，解：当20lx dtktdttfxxx002022121kxktx,2时当lxl dttfdttfdttfxxllx2200dtcdtktxll220 xllctkt220221,2812lxckl lxlxckllxkxx2,218120,2122故故2021:( )0,2.1xtI xdttt 例10 求在上的最大值与最小值2020221:( )0,212

19、1( )0,2121( ),0,21xxtI xdttttI xdtttxI xxxx 解 由于在上可导,故在上连续,且, ( )0,xI x12当 = 时11222122200211( )(1)11tIdtd tttttt 而122340ln1lntt 02021(0)0,1tIdttt 22201(2)(1)1Id tttt 220ln1ln3tt 123( )ln,2ln3.4I xxx故在处取得最小值在处取得最大值2021( ).1xtI xdttt 求的最大值与最小值思考：思考：例例11 11 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求设设解解 法一法一,2tx 令令

20、tx 2txdd e137 tt d )1(012 td1 1 31 31d)2(xxf)(tf 10dtet法二法二 )2(xf即即 , 2, 2, 54)2(22xexxxxfx 31d)2(xxf 1 3e137 , 02 x,)2(12 x, 02 x,)2( xexxxd)54(2 xexd2 226. 广义积分广义积分 （1）无穷限的广义积分）无穷限的广义积分 （2）无界函数的广义积分）无界函数的广义积分 定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间), a上连续，取上连续，取ab ，如果极限，如果极限 babdxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(

21、xf在无穷区间在无穷区间), a上的广义积上的广义积分，记作分，记作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .（1）无穷限的广义积分）无穷限的广义积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(li

22、m当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 设函数设函数)(xf在区间在区间),(上连续上连续, ,如果如果广义积分广义积分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收敛，则都收敛，则称上述两广义积分之和为函数称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间在无穷区间),(上的广义积分，记作上的广义积分，记作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. .例例1 1

23、 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 证证明明广广义义积积分分 11dxxp当当1 p时时收收敛敛，当当1 p时时发发散散.证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx

24、1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当

25、极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .（2）无界函数的广义积分）无界函数的广义积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间),ba上连续，上连续，而在点而在点b的左邻域内无界的左邻域内无界. .取取0 ，如果极限，如果极限 badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广义积分，上的广义积分，记作记作 badxxf)( badxxf)(lim0. .当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上除

26、除点点)(bcac 外外连连续续，而而在在点点c的的邻邻域域内内无无界界. .如如果果两两个个广广义义积积分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收敛敛，则则定定义义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .例例4 4 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa

27、.2 证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxq7. 定积分的应用定积分的应用1、平面图形的面积、平面图形的面积 ( )( )dbaAf xg xx 21( )( )d dcAyyy2、旋转体的体积、旋转体的体积2 ( ) d（绕 轴旋转）baVf xxx 2 ( )dcVydyy（绕 轴旋转）3、平面曲线的弧长、平面曲线的弧长1 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxf

28、A)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA(1) 直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.(2) 参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数2、 旋转体的体积旋转体的体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cddxxrxRVba22)()(例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物