晶体宏观对称性

1、q 对称的概念对称的概念q 晶体对称的特点晶体对称的特点q 对称元素和对称操作对称元素和对称操作q 对称元素的组合对称元素的组合q 对称型及其推导对称型及其推导q 晶体的对称分类晶体的对称分类1.4 .1 晶体宏观对称性晶体宏观对称性对称性：对称性：对一个物体（或晶体图形）施行某种规对一个物体（或晶体图形）施行某种规律的动作以后，它仍然能够与自身重合（即恢复律的动作以后，它仍然能够与自身重合（即恢复原状）的性质。原状）的性质。12CF2F1反映对称反映对称反演对称反演对称旋转对称旋转对称q 由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同 质点重复，

2、因此，所有的晶体结构都是对称的。质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的。q 晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对 称是有限的，它遵循称是有限的，它遵循“晶体对称定律晶体对称定律” 。q 晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性 质上。质上。q 因此，由以上可见：格子构造使得所有晶体都是对称因此，由以上可见：格子构造使得所有晶体都是对称 的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出 现的。现的。知识的应用钻石常见晶形(立方体、八面体)绿柱石

3、常见晶形 (六方柱)电气石常见晶形 复三方柱石榴石常见晶形 四角三八面体对称操作（对称操作（对称变换对称变换）：）：借助某种几何要素，借助某种几何要素，能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的某种规律的动作，就称为某种规律的动作，就称为“对称操作对称操作”。如如旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）等。等。对称元素（对称要素）：对称元素（对称要素）：对物体（或图形）对物体（或图形）进行对称操作所凭借的几何元素。如进行对称操作所凭借的几何元素。如旋转轴、旋转轴、反映面、反演中心反映面、反演中心有旋转轴、反映有旋转轴、反

4、映面、反演中心的面、反演中心的格点分布图格点分布图 仅仅从仅仅从“有限的晶体图形有限的晶体图形”（宏观晶体）（宏观晶体）的的外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操作，即称作，即称“宏观对称操作宏观对称操作”；这时所借助参考的；这时所借助参考的几何元素，即称几何元素，即称“宏观对称元素宏观对称元素”。 从晶体内部空间格子中相应从晶体内部空间格子中相应“格点格点”的对称的对称性进行考查而施行的对称操作，则称为性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对微观对称操作称操作”；而借以动作的；而借以动作的“几何要素几何要素”即称为即称为“微观操作称元素微观操作

5、称元素”。 总体来说，对称操作（包括宏观和微观在总体来说，对称操作（包括宏观和微观在内），经研究得知，总共只有内），经研究得知，总共只有七种七种独立的形式。独立的形式。一、宏观对称元素一、宏观对称元素1）反演中心或）反演中心或对称中心对称中心（国际国际符号符号i）：为一假想）：为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这个点的的几何点，相应的对称变换是对于这个点的反演反演（倒反（倒反，反，反伸）。伸）。12CF2F12）反映面或对称面反映面或对称面（国际国际符号符号m）：为一假想的）：为一假想的平面，相应的对称平面，相应的对称操作操作为对此平面的反映。为对此平面的反映。3）旋转）旋转轴轴（国际国际

6、符号符号n）：为一假想的直线，相）：为一假想的直线，相应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定角度，各个相同部分就发生一次重复角度，各个相同部分就发生一次重复。 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角整个物体复原需要的最小转角则称为基转角（用（用a a表示表示）；）； n为轴次为轴次，n=360 / a a 。 晶体对称定律晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。可能存在五次及高于六次的对称轴。国际符号：国际符

7、号：1，2，3，4，6名名 称称国际国际符号符号基基 转转 角（角（）轴轴 次（次（n）作图符号作图符号一次对称一次对称二次对称二次对称三次对称三次对称四次对称四次对称六次对称六次对称12346360 180 120 90 60 12346 对称轴的种类对称轴的种类4）象）象转轴转轴（国际符号：国际符号：n ）：亦称旋转反伸轴，）：亦称旋转反伸轴，又称反轴或反演轴等又称反轴或反演轴等，是一种复合的对称是一种复合的对称元元素。素。它的辅助几何要素有两个：一根假想的直线和此它的辅助几何要素有两个：一根假想的直线和此直线上的一个定点。直线上的一个定点。 相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角相应的

8、对称变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的度及对于此定点的反演反演。 象转轴的轴次象转轴的轴次n及基转角及基转角a a都与其所包含的旋转轴都与其所包含的旋转轴相同（即相同（即n=360 / a a ， a = a = 360 / n）。）。）(x, y, z)(-x, -y, -z)1=i象象转轴转轴的复合构成及与其它基本对称元素间的关系的复合构成及与其它基本对称元素间的关系2=m2 m3= 3+i 3 / 3Li4象象转轴转轴中仅有中仅有4次象次象转轴转轴是独立的基本对称元素是独立的基本对称元素6= 3+m3 / 6, m 3总结：总结：描述晶体宏观对称性的对称操作所凭借的描述晶体宏

9、观对称性的对称操作所凭借的独立对称元素只有：独立对称元素只有：1，2，3，4，6；i,i,m, 4 共八个共八个宏观晶体对称要素宏观晶体对称要素二、晶体宏观对称元素的组合二、晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在一个独立的宏观对称元素，也可能体中可以只存在一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照有由一种或几种对称元素按照组合程序及组合定律组合程序及组合定律进行合理组合的形式存在。进行合理组合的形式存在。 组合的两条限制：组合的两条限制：对于宏观对称元素而言，这对于宏观对称元素而言，这些元素组

10、合时必受以下两条的限制：些元素组合时必受以下两条的限制：(1)(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通过质心，即通过一个公共点。通过质心，即通过一个公共点。(2)(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相容的对称元素，如相容的对称元素，如5 5 、77。组合程序：组合程序：组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对上进行对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。称面与对称中心的组

11、合。对称要素组合定理对称要素组合定理欧拉定理：欧拉定理：通过两旋转轴的交点必能找到第通过两旋转轴的交点必能找到第三根旋转轴，新轴的作用等于原两旋转轴的三根旋转轴，新轴的作用等于原两旋转轴的作用之积。新轴之轴次，以及新轴与两原始作用之积。新轴之轴次，以及新轴与两原始旋转轴之夹角取决于两原始轴的基转角及其旋转轴之夹角取决于两原始轴的基转角及其夹角。夹角。 定理二：定理二：通过两个二次旋转轴的交点并与它们垂通过两个二次旋转轴的交点并与它们垂直的直线恒为一旋转轴，后者之基转角为该两个直的直线恒为一旋转轴，后者之基转角为该两个二次旋转轴交角之两倍。二次旋转轴交角之两倍。定理三：定理三：两对称面之交线恒为

12、一旋转轴，其基转两对称面之交线恒为一旋转轴，其基转角为该两对称面交角之两倍。角为该两对称面交角之两倍。定理四：定理四：通过二次旋转轴与对称面之交点并垂直通过二次旋转轴与对称面之交点并垂直 于该二次旋转轴的对称面上的直线恒为一倒转轴，于该二次旋转轴的对称面上的直线恒为一倒转轴，后者之基转角等于该二次旋转轴与对称面交角之后者之基转角等于该二次旋转轴与对称面交角之余角的两倍。余角的两倍。定理五：定理五：如有一个二次旋转轴与垂直它的对称面如有一个二次旋转轴与垂直它的对称面共同存在时，则二者之交点恒为对称中心。共同存在时，则二者之交点恒为对称中心。 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体晶体形态中，

13、全部对称要素的组合，称为该晶体形态的形态的对称型对称型或或点群点群。一般来说，当强调对称要。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。素时称对称型，强调对称操作时称点群。为什么叫点群？为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。有一点不动，所以称为点群。 根据晶体中可能存在的对称要素及根据晶体中可能存在的对称要素及按照以上程序、限制按照以上程序、限制及组合定理进行组合，及组合定理进行组合，推导出晶体中可能出现的对称型推导出晶体中可能出现的对称型

14、（点群）是非常有限的，仅有（点群）是非常有限的，仅有32个。个。群的定义：若有一个元素的集合若有一个元素的集合G（E，A，B，）满）满足以下条件，则称该集合足以下条件，则称该集合G构成一个群。构成一个群。（1）封闭性；）封闭性；（2）G中有单位元中有单位元E；（3）逆元素；）逆元素；（4）结合律）结合律 A（BC）（）（AB）C 若干个点对称操作若干个点对称操作Oi（又称对称元素，注意（又称对称元素，注意与对称性区别）的组合与对称性区别）的组合C（集合），满足：（集合），满足：（1）封闭性：）封闭性：Oj Oi C = Oj (Oi C) = Oj C； （2）单位元：全同操作）单位元：全同操

15、作1； （3）逆元：）逆元：Oi-1 C = Oi-1 Oi C = 1 C = C； （4）结合律：）结合律：Oi (Oj Ok) = (Oi Oj)Okw故一个确定晶体的全部对称操作构成一故一个确定晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作均为群中的一个元素。个群，每个操作均为群中的一个元素。w反映所有晶体宏观对称性的反映所有晶体宏观对称性的3232种点对称种点对称类型可用类型可用3232种点群来表示（命名），或种点群来表示（命名），或说属于说属于3232种点群。种点群。 把晶体按照点对称性进行分类，可分成把晶体按照点对称性进行分类，可分成32类类 把把B格子按照点对称性进行分类，可分格子按照

16、点对称性进行分类，可分成成7类，称为类，称为七种晶系七种晶系。 对称性的高低晶系特征对称元素晶胞类型点 群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号低三斜无12单斜 或m345 正交两个互相垂直的m或三个互相垂的67 8中四方910 11 122223i490acbaa=90cba90=acba1cic2cschc22DvD2hD212m2m2222mm222mmmi2mim, 2, 22m,233,m4c4shc44D444m44, 4,mi, 44290=acba1422对称性的高低晶系特征对称元素晶胞类型点点 群群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号中四方131415三方菱面体晶胞161718六方晶胞

17、1920im ,5,24,4vc4dD2hD4mm4m24224mmmm4,4m2,22,490=acba4390120=acba3cic33Dvc3dD3333m3323i ,323,3m3,3im,3 ,23 , 312090=acba2m对称性的高低晶系特征对称元素晶胞类型点点 群群对称元素序号熊夫里斯记号国际记号中六方21222324252627高立方 在立方的体对角线方向2829303132mmm612090=acba6chc3hc66Dvc6hD3hD6622mm626m226666m6),3(6mim, 626,6m6,6mm4,23), 3(6im ,7,26,64 390=a

18、cbaThTOdThO2323m432m34423mm23,34im ,3,23,34m6,43,34im ,9,26,43,3426,43,34续表： 根据晶胞类型的不同，即与其相对应的平根据晶胞类型的不同，即与其相对应的平行六面体形状的差异，可将行六面体形状的差异，可将3232点群分为点群分为7 7类，类，即即7 7个晶系。个晶系。 七个晶系按照对称性的高低又可并归为三七个晶系按照对称性的高低又可并归为三个晶族，即：个晶族，即：晶晶 族族包含的晶系包含的晶系对称性强弱对称性强弱高级晶族高级晶族立方晶系立方晶系对称性最高对称性最高中级晶族中级晶族六方、四方、三方晶系六方、四方、三方晶系 对称

19、性较弱对称性较弱低级晶族低级晶族正交、单斜、三斜晶系正交、单斜、三斜晶系 对称性最弱对称性最弱 可以根据其宏观外形的特征对称元素来判定可以根据其宏观外形的特征对称元素来判定晶体的晶系。晶体的晶系。 在结晶多面体中，可以有一个在结晶多面体中，可以有一个要素单独存在，也可以有若干对称要素单独存在，也可以有若干对称要素组合在一起共存。要素组合在一起共存。 对称要素的组合服从以下规律：对称要素的组合服从以下规律： 二、对称要素组合定理二、对称要素组合定理欧拉定理：通过两旋转轴的交点必能找到第三根欧拉定理：通过两旋转轴的交点必能找到第三根旋转轴，新轴的作用等于原两旋转轴的作用之积。旋转轴，新轴的作用等于

20、原两旋转轴的作用之积。新轴之轴次，以及新轴与两原始旋转轴之夹角取新轴之轴次，以及新轴与两原始旋转轴之夹角取决于两原始轴的基转角及其夹角。决于两原始轴的基转角及其夹角。OA,OB为两个旋转轴，基转角依次为a,，它们之间的交角为。如果把上述关系进一步应用球面三角原理进行如果把上述关系进一步应用球面三角原理进行分析计算，就可以得出如下一系列定量关系：分析计算，就可以得出如下一系列定量关系：a，分别为OA,OB的基转角为OA,OB的交角OC的基转角为OC与OA,OB之间交角为和u欧拉定理适用范围：欧拉定理适用范围：两正轴组合产生正轴两正轴组合产生正轴两反轴组合产生正轴两反轴组合产生正轴一个正轴与一个反

21、轴组合产生反轴一个正轴与一个反轴组合产生反轴定理二：通过两个二次旋转轴的交点并与它们垂定理二：通过两个二次旋转轴的交点并与它们垂直的直线恒为一旋转轴，后者之基转角为该两个直的直线恒为一旋转轴，后者之基转角为该两个二次旋转轴交角之两倍。二次旋转轴交角之两倍。证明：a=180 cos(/2)=-cos cos(/2)=cos(180+) =360 +2 =2 cosu=cos=0 u= =90 定理三：两对称面之交线恒为一旋转轴，其基转定理三：两对称面之交线恒为一旋转轴，其基转角为该两对称面交角之两倍。角为该两对称面交角之两倍。证明：对称面等效于二次反轴，所以OA,OB都为Li2,OC为旋转轴（正轴） a=180 cos(/2)=-cos cos(/2)=cos(180+) =2 cosu=cos=0 u= =90 OC垂直两二次反轴，即OC垂直两对称面的法线OC平行于两对称面，OC是两对称面的交线定理四：通过二次旋转轴与对称面之交点并垂直定理四：通过二次旋转轴与对称面之交点并垂直于该二次旋转轴的对称面