大学物理 第五章 刚体的转动

1、5-1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动5-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量5-3 刚体定轴转动动能刚体定轴转动动能 力矩的功力矩的功5-4 绕定轴转动的刚体的角动量绕定轴转动的刚体的角动量 和角动量守恒定律和角动量守恒定律一、刚体一、刚体在外力作用下任意两点间的距离保持不变在外力作用下任意两点间的距离保持不变在外力作用下形状和大小都不变化的物体在外力作用下形状和大小都不变化的物体形状和大小改变不显著，可视为刚体形状和大小改变不显著，可视为刚体形状改变，不能视为刚体形状改变，不能视为刚体形状大小不变形状大小不变可视为刚体可视为刚体刚体是一种理想模型刚体是一种

2、理想模型刚体刚体 有许多物体在外力不甚大时，有许多物体在外力不甚大时，二、刚体的平动和转动二、刚体的平动和转动 平动平动刚体作平动刚体作平动质心运质心运动轨迹动轨迹整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律其中各点的速度、加速度相等，运动轨迹相同其中各点的速度、加速度相等，运动轨迹相同刚体运动时，其中任一直线的方位始终保持不变刚体运动时，其中任一直线的方位始终保持不变转轴转轴转轴转轴作用力作用力平动平动 转动转动转轴转轴转轴转轴转轴转轴转轴转轴放大放大起重吊车起重吊车刚体中所有质点都绕着一直线作圆周运动刚体中所有质点都绕着一直线作圆周运动刚体的一般运动刚体的一

3、般运动平动和转动（转轴位置变）平动和转动（转轴位置变）轮轴平动轮轴平动车轮绕车轮绕轴转动轴转动转轴平动转轴平动绕轴转动绕轴转动转轴转轴可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成三、定轴转动三、定轴转动 特点特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内刚体中任一点都在垂直于轴的平面内转轴转轴转轴转轴转轴转轴转轴固定的转动转轴固定的转动同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等在同一时间间隔内，各质点的角位移相等在同一时间间隔内，各质点的角位移相等作半径不同的圆周运动作半径不同的圆周运动 刚体中各质点的速度和加速度，因其位置和刚

4、体中各质点的速度和加速度，因其位置和到转轴的距离不同而不同到转轴的距离不同而不同 rarar t2n , ,vP转轴转轴r 20021tt t 0匀角速运动匀角速运动有有t 0匀角加速运动匀角加速运动有关系式有关系式描写刚体绕描写刚体绕定轴转动的物理量：定轴转动的物理量：角位移角位移 ， 角速度角速度 ， 角加速度角加速度 。线量与角量的关系线量与角量的关系为为 例题例题5-1 飞轮转速为飞轮转速为1800r/min，因制动而均匀，因制动而均匀rad/s 60rad/s601800220 n s 20, 0 t 飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为20r

5、ad/s 3rad/s2060 t 解解 (1) 设设 为初角速度，由题意得为初角速度，由题意得0 10s时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。10s时飞轮的角速度；时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为设飞轮半径为0.5m，求在，求在t =始到停止转动飞轮转过的转数；始到停止转动飞轮转过的转数；(2)求制动开始后求制动开始后t =地减速，经地减速，经20s停止转动。停止转动。(1)求角加速度和从制动开求角加速度和从制动开rad6002120 att 从开始制动到停止转动飞轮的角位移从开始制动到停止转动飞轮的角位移 及转数及转数N 分分（2）t = 10s

6、 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为rad/s 300 t m/s 71. 4 rv232n2tm/s 10444m/s 71. 4 .rara 相应的切向加速度及法向加速度为相应的切向加速度及法向加速度为（3）t = 10s 时，飞轮边缘上一点的线速度为时，飞轮边缘上一点的线速度为30026002 N别为别为一、力对转轴的力矩一、力对转轴的力矩使物体转动的作用不仅与力的大小有关而且还使物体转动的作用不仅与力的大小有关而且还作用力作用力方向方向转轴转轴作用线作用线到转轴到转轴距离距离（力臂）（力臂）力的大小力的大小F 与力臂与力臂 d 的乘积的乘积FdM 力臂力臂力矩力矩力的作用线与转轴的距离力

7、的作用线与转轴的距离与力的方向以及作用线和转轴的距离有关与力的方向以及作用线和转轴的距离有关力臂为力臂为 sinrd 力臂为零，力矩等于零力臂为零，力矩等于零1.1.力位于垂直于转轴的平面内力位于垂直于转轴的平面内Frd转轴转轴 rFFrM sin2.2.力不在垂直于转轴的平面内力不在垂直于转轴的平面内F2F1Fr 转轴转轴 sinrFM 将作用力分解为将作用力分解为垂直于转轴的平面垂直于转轴的平面与转轴平行与转轴平行与转轴垂直与转轴垂直两个分力两个分力2F1F如果力的作用线通过转轴如果力的作用线通过转轴一般规定：一般规定：使刚体沿反时针方向转动的使刚体沿反时针方向转动的力矩为正力矩为正使刚体

8、沿顺时针方向转动的使刚体沿顺时针方向转动的力矩为负力矩为负各个力对转轴的各个力对转轴的力矩的代数和力矩的代数和 MMMM刚体内各质点间内力对转轴的合力矩为零。刚体内各质点间内力对转轴的合力矩为零。与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩为零与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩为零；与转轴平行的力对转轴的力矩为零；与转轴平行的力对转轴的力矩为零；对于定轴转动的刚体：对于定轴转动的刚体：刚体所受刚体所受的合力矩的合力矩二、转动定律二、转动定律刚体可看成由无数质点组成刚体可看成由无数质点组成iFir转轴转轴与转轴垂直的截面与转轴垂直的截面t iFiPiF t iF 外力外力内力内力质点质点Pi的的切向运

9、动为切向运动为 iiiiiirmamFF ttt两边乘以两边乘以 ir 2ttiiiiiirmrFrF 对所有质点求和，得对所有质点求和，得 iiiiiiiiirmrFrF )(2tt每个质点绕定轴作半径不同的圆周运动每个质点绕定轴作半径不同的圆周运动内力成对出现，内力成对出现，内力产生的力矩和等于零，即内力产生的力矩和等于零，即0t iiirF对一定的转轴，刚体的对一定的转轴，刚体的转动惯量转动惯量表示为表示为 iiirmJ得刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，得刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比， JM 转动定律转动定律外力产生的力矩的代数和为外力产生的力矩的代数和为iiirFM

10、t与刚体的转动惯量成反比，即与刚体的转动惯量成反比，即三、转动惯量三、转动惯量转动惯量是物体的转动惯性大小的量度转动惯量是物体的转动惯性大小的量度根据转动惯量的定义根据转动惯量的定义 iiirmJ决定刚体的转动惯量大小的因素决定刚体的转动惯量大小的因素为为 刚体的总质量刚体的总质量 刚体的质量分布刚体的质量分布 刚体的转轴的位置刚体的转轴的位置转轴转轴I转轴转轴II总质量总质量 mim irir 反之，转动状态容易改变反之，转动状态容易改变转动惯量越大，欲改变其转动状态越困难转动惯量越大，欲改变其转动状态越困难 质点组成的系统的质点组成的系统的转动惯量转动惯量 2332222112rmrmrm

11、rmJiii1. 转动惯量的计算转动惯量的计算 质量连续分布的物体的质量连续分布的物体的转动惯量转动惯量 mrJd2lmdd 线密度线密度转轴转轴线元线元rL LlrJd2 面密度面密度Smdd 转轴转轴面元面元rS SSrJd2 体密度体密度Vmdd r转轴转轴体元体元V VVrJd2 质量均匀分布的几种刚体的转动惯量质量均匀分布的几种刚体的转动惯量2mRJ 221mRJ 252mRJ 2121mLJ 231mLJ 例题例题5-2 求质量为求质量为 m、长为、长为 l 的均匀细棒对于的均匀细棒对于质量为质量为 xmdd 3212122121ddlxxmxJ 棒的质量线密度棒的质量线密度 ，代

12、入上式得，代入上式得lm 2121mlJ OOxdxx解解 在棒上取距轴在棒上取距轴OO为为x、长为、长为dx的一小段的一小段根据转动惯量定义，棒对轴根据转动惯量定义，棒对轴OO的转动惯量为的转动惯量为通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。403221d2drxxmxJr 2rm 221mrJ 例题例题5-3 求质量为求质量为 m、半径为、半径为 r 的匀质圆盘的匀质圆盘解解 在圆盘上取半径为在圆盘上取半径为 x，宽，宽dx 的圆环的圆环xxd2xxmd2d 圆盘的质量面密度圆盘的质量面密度代入上式得代入上式得对于通过圆心而垂直于圆平面的轴的转动惯量。对于

13、通过圆心而垂直于圆平面的轴的转动惯量。圆盘对通过圆心圆盘对通过圆心O而垂直圆平面的轴的转动惯量为而垂直圆平面的轴的转动惯量为质量为质量为面积为面积为2. 转动定律的应用转动定律的应用基本步骤：基本步骤： 隔离法选择研究对象；隔离法选择研究对象； 质点受力分析和刚体受力矩分析；质点受力分析和刚体受力矩分析； 对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律；对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律； 建立角量与线量的关系，求解方程；建立角量与线量的关系，求解方程； 结果分析及讨论。结果分析及讨论。例题例题5-4 半径分别为半径分别为R1、R2的阶梯形滑轮，的阶梯形滑轮，转转m1m2m2m1T1FT1F T2

14、FT2F NFgm1gm21a2a解解T2T2T1T1 ,FFFF 假设假设滑轮沿顺时针方向转动滑轮沿顺时针方向转动对轻绳应有对轻绳应有受力分析受力分析角加速度角加速度 及各绳中张力及各绳中张力FT1、FT2。为为m1、m2的物体，忽略滑轮与轴间摩擦，求滑轮的的物体，忽略滑轮与轴间摩擦，求滑轮的动动惯量为惯量为 J ，其上反向绕有两根细绳，其上反向绕有两根细绳，各悬挂质量各悬挂质量选取物体运动方向为坐标轴正向选取物体运动方向为坐标轴正向11T11amFgm 滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度 2211,Ra Ra 解以上各式得解以上各式得gRmRmJRmR

15、m2222112211 gmRmRmJRRmRmJRgmF1222211212222111T 根据牛顿第二定律和转动定律可得根据牛顿第二定律和转动定律可得222T2amgmF JRFRF 2T21T1 gmRmRmJRRmRmJRgmF2222211211211222T 一、转动动能一、转动动能221iim v 质量为质量为 的质点动能为的质点动能为im 等于所有质点动能相等于所有质点动能相加加 2222k212121 JrmmEiiiiii v转动惯量转动惯量 iir v转轴转轴irimiv 刚体转动动能刚体转动动能二、力矩的功二、力矩的功 d dsind cosddMFrsFrFW MMM

16、W 00dd垂直于转轴的平面垂直于转轴的平面Fr转轴转轴 O drd在外力在外力 作用下作用下F ddrs 外力外力 在位移在位移 中的功为中的功为Frd当刚体在力矩当刚体在力矩M作用下角位移为作用下角位移为 时，力矩的功时，力矩的功 如果力矩恒定不变如果力矩恒定不变rd力的作用点位移力的作用点位移 的大小为的大小为 d角位移角位移 ddddddJttJMW tJJM dd 212221 21 d 21 JJJW 根据转动定律，合外力矩为根据转动定律，合外力矩为在在dt时间内刚体角位移为时间内刚体角位移为tdd 则则当刚体角速度由当刚体角速度由 变为变为 时，合外力矩的功时，合外力矩的功1 2

17、 合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量例题例题5-5 质量为质量为 m、长为、长为 l 的均匀细杆的均匀细杆可绕水可绕水 dsin2d lmgW0vOAgmh m CNF重力矩所作元功为重力矩所作元功为当杆沿升高方向有角位移当杆沿升高方向有角位移d 时，时，解解高度。高度。气阻力和轴上摩擦，求杆摆动时端点气阻力和轴上摩擦，求杆摆动时端点A 升高的最大升高的最大231mlJ 点时的速率为点时的速率为v0，杆的转动惯量为杆的转动惯量为 ，忽略空，忽略空平光滑轴平光滑轴 O在竖直平面内自由转动。端点在竖直平面内自由转动。端点A 过过最低最低 mm0

18、0dsin2d lmgWW2006121021vmJmghW 当杆从平衡位置转到最大角位移当杆从平衡位置转到最大角位移 m处，处，)cos1(m lh因因mghW21 平衡位置处平衡位置处l00v 0 则得则得gh320v 重力矩所作总功为重力矩所作总功为，得，得合外力的功等于转动动能的增量，得合外力的功等于转动动能的增量，得转到最大角位移转到最大角位移 m处处 ，)cos1(2m lmg刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量为为转轴转轴irimiv 对转轴的角动量对转轴的角动量为为iiirm v JrmrmrmLiiiiiiiiii 22vtLtJtJMddd) (ddd 转动定律转动定律可写为可写为此式不但适用于绕定轴转动的刚体此式不但适用于绕定轴转动的刚