【高考冲刺】最新湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)及解析

1、湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1.（ 5 分）设复数 Zi ,Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，Zi= 1+i，则 ZiZ2=（）A. 2B.- 2 C. 1+i D. 1 - i2. （5 分）设全集 U=R,函数 f（x）=lg（| x+1| - 1）的定义域为 A,集合 B=x| sinnx=0则（？UA）GB 的子集个数为f）A. 7B. 3 C. 8D. 93.（5 分）函数 ffx）=sin（3X）（30，Ov Xn）的图象中相邻对称轴的距 离为，若角的终边

2、经过点，则丄的值为f）24A.比 B.乙 C. 2D.乙24.（5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别是 （ ）367 X()1233 6890013446678890 1224 566678 899002445690 I 68图一开始王结柬图1用二即土Ii=i+l/输岀冊川/A. m=38， n=12B. m=26，n=12 C m=12， n=12 D. m=24，n=10yCs5.（5 分）设不等式组 3yx 表示的平面区域为Qi,不等式（x+2）2+ （y-2）Lx+yC420,

3、 S2015V0,对任意 正整数 n,都有|&| |釦，则 k 的值为（）A. 1006B. 1007 C. 1008 D. 1009正视图吋视订若对每一个确定的, | |的最大值和最小值分别为m, n，则 m - n 的值为（）9. （5 分）已知非零向量|,满足| J =| J =4, ( | -) ? ( )=0,A.随增大而增大B.随增大而减小C.是 2 D.是 410. （5 分）已知如图所示的三棱锥 D-ABC 的四个顶点均在球 0 的球面上，ABC 和厶 DBC 所在平面相互垂直，AB=3, AC=二，BC=CD=BD 二牙，则球 0 的表A.4nB. 12nC. 16n

4、D.36n2 211. （5 分）已知双曲线 C:一 _i （a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标 a2原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q,若/PAQ=60,且，则双曲线 C 的离心率为（）A. 一 B. 一 C. D.-43212. （5 分）已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x 0，1，总存在唯一的 y -1，1，使得 x+y2ey- a=0 成立，则实数 a 的取值范围是（）A. 1， e B.| - .1 C. （1， e D.I -.:ee二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 .（ 5 分）已知 a 0 ,|丄 展开

5、式的常数项为 15，则I: -，- -.-：= .14. （5 分）设 a，b R，关于 x，y 的不等式| x|+| y|v1 和 ax+4by8 无公共解，则 ab 的取值范围是_.15. （ 5 分）正项数列an的前 n 项和为 S，且2 兀二S 弧（n N*），设2an+l-，则数列Cn的前 2016 项的和为_.16.（5 分）已知 F 是椭圆 C: + =1 的右焦点，P 是 C 上一点，A （- 2, 1）,当厶 APF 周长最小时，其面积为_ .三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （ 12 分） ABC 中，已知点 D

6、在 BC 边上，且匸八二.一 |H二，U1AB=3h一 迁（I）求 AD 的长；（U）求 cosC.18.（12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形， ADE BCF均为等边三角形，EF/ AB，EF=AD=AB.2（1）过 BD 作截面与线段 FC 交于点 N,使得 AF/平面 BDN,试确定点 N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值.19.（12 分）2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风莲花”在我国广东省陆丰市甲东 镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾，5.6 万人紧急转移安置，288

7、间房屋倒塌， 46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元.距离陆丰市 222 千米的梅州也 受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 0，2000，（2000，4000，（ 4000，6000 ，（6000, 8000，（8000，10000五组，并作出如下频率分布直方图：（I）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（U）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款现从损失超过 4000 元的 居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为E

8、户，求E的分布列和数学期望；（川）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐 款情况如表，根据表格中所给数据，分别求 b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关？经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元合计捐款超过500 元a=30b捐款不超过 500 元cd=6合计20.（12 分）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F （0，c） （c0）到直线 I: x-y- 2=0 的距离为，设 P 为直线 I 上的点，过点 P 作抛物线 C

9、 的两条切线PA PB,其中 A，B 为切点.P (K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad-bc)2附：临界值表参考公式:(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 当点 P (Xo, yo)为直线 I 上的定点时，求直线 AB 的方程；(3) 当点 P 在直线 I 上移动时，求|AF?|BF 的最小值.21.( 12 分)已知函数 f (x)+bex,点 M (0, 1)在曲线 y=f (x) 上,cx+l且曲线在点 M 处的切线与直线 2x- y=0 垂直.(1) 求 a, b 的

10、值；(2)如果当XM0 时，都有 f (x) +kex,求 k 的取值范围.ex-l请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 :坐标系与参数方程22.(10 分)选修 4 - 4;坐标系与参数方程已知曲线 G 的参数方程是，： ! ( 为参数),以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是p=2 正方形 ABCD 的顶点都 在 C2上，且 A,B, C, D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2,).(1) 求点 A, B, C, D 的直角坐标；(2) 设 P 为 C 上任意一点，求 I PA2+|PB2+|

11、pq2+l PD2的取值范围.选修 4-5:不等式选讲23.设 f (x) =|x| - |2x- 1|，记 f (x)- 1 的解集为 M .(1) 求集合 M；(2) 已知 a M，比较 a2- a+1 与的大小.2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1.( 5 分)设复数 Z1 ,Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，Zi= 1+i，则 ZiZ2=()A. 2 B.- 2 C. 1+i D. 1 - i【解答】解：复数 Z1，Z2在复平面内的对应点

12、关于实轴对称，Z1= 1+i， 所以 Z2=1- i，二 Z1Z2= (1+i) (1 - i) =2.故选：A.2. (5 分)设全集 U=R,函数 f(x)=lg(| x+1| - 1)的定义域为 A,集合 B=x| sinnx=0则(？UA)GB 的子集个数为()A. 7 B. 3C. 8 D. 9【解答】解：由|x+1| - 1 0,得|x+1| 1,即 xv-2 或 x0. A=x| xv- 2 或 x 0，则?UA=x| - 2x 0;由 sinnx=0 得：nx=k,nk Z，. x=k，k 乙则 B=x| sinnx=0=x| x=k，kZ，则(？UA)GB=x| - 2x0,

13、0v X n)的图象中相邻对称轴的距离为三，若角的终边经过点，则的值为()A.二 B.二 C. 2 D. 二【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为 2L,可得周期 T=n 那么s =22角的终边经过点 ，在第一象限.即 tan =-,36故得 f (x) =sin (2x+)6贝=sin(+) =cos =.门 4 2662故选：A4.（5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩,开始367 X() 1 233 6890013446678890 1224 566678 899002445690 I 68图（二）的算法框图中输入的a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m,

14、n 分别是6789否图A. m=38, n=12B. m=26, n=12 C m=12, n=12 D. m=24, n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于 80 的人数，和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数，由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩大于等于 80 的人数有 80, 80, 81,84, 84, 85, 86, 89, 90, 91 , 96, 98,共 12 人，故 n=12,由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩小于 60 的人数有 43, 46, 47, 48,50, 51, 52, 53, 53

15、, 56, 58, 59,共 12 人，则在 50 名学生的成绩中，成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 50 - 12- 12=26, 故m=26故选：B.5.（5 分）设不等式组 3yX表示的平面区域为01,不等式（X+2）2+ （y-2）2z 表示的平面区域为0,不等式（x+2）2+ （y-2）20 时，f (x) 0,二 2- m0，故 mv2.=二 iII(K2+IO)2Tf (x)有两个绝对值大于 1 的极值点， m - /=0 有两个绝对值大于 1 的解,二 m 1. 故选：D.俯视用A. 11 B. J C. J D.-【解答】解：由多面体的三视图得: 该多面体为如图所示

16、的四棱锥 P- ABCD其中底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， 平面 PAD 丄平面 ABCD点 P 到平面 ABCD 的距离为 1, AB 丄平面 PAD,： AB 丄 PA则该多面体各面的面积中最大的是PA二 -:该多面体各面的面积中最大的是 PAB 的面积:& PAf|=故选：C.8.(5 分)设等差数列an的前 n 项和为 S，且满足&oi40, S2015V0,对任意 正整数n,都有佝| |比|，则 k 的值为()A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S20142014 ( Bi + annij

17、)= =1007 (a1007+a1008) 0,-&1007+&1008 0同理由 S?015 0 可得 2015a1008 0,可得 a10080, a1008| a1008|对任意正整数 n,都有|an| |Ok| , k 的值为 1008故选：C.9.(5 分)已知非零向量,满足| J=| J=4,(1-) ? ( - ) =0,若对每一个确定的,1 I 的最大值和最小值分别为 m, n，则 m - n 的值为()A.随| ：|增大而增大 B.随|二|增大而减小C.是 2 D.是 4【解答】解：假设；=（4, 0）、b = （2, 25）、c = （x, y）,T（二-

18、）?（ b - ）=0,（ 4- x,- y） ? （2 - x, 2 : - y） =x2+y2- 6x- 2Cy+8=0,即（x- 3）2+ （y- ：）2=4,满足条件的向量的终点在以（3,二）为圆心、半径等于 2 的圆上，| |的最大值与最小值分别为 m=2+2 二，n=2 二-2, m - n=4,故选：D.10. （5 分）已知如图所示的三棱锥 D-ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，ABC 和厶 DBC 所在平面相互垂直，AB=3, AC=二,BC=CD=BD 二牙，则球 O 的表 面积为（）A.4nB. 12nC. 16nD.36n【解答】解：AB=3 AC=, BC=2,

19、AB2+AC2=BC2，AC 丄 AB, ABC 的外接圆的半径为 =, ABC 和 DBC 所在平面相互垂直，球心在 BC 边的高上，设球心到平面 ABC 的距离为 h,则 h2+3=R2=（汇 y 仁-h）2, h=1, R=2,球 0 的表面积为 4nR=16n.故选：C.2 211. (5 分)已知双曲线 C:一 _i (a0, b0)的右顶点为 A, 0 为坐标a2原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P, Q,若/PAQ=60,且L- ，则双曲线 C 的离心率为()A.二 B.二 C.二 D.-432【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为 y=i, A (a,

20、0),P (m,),(m0),a由 n .：=3 I：,可得 Q (3m，二),PQ 的中点为 H (2m,),解得 m=. , r=2c2 c则 |PQ=2=r, 即为 d=，即有-? 故选 C.圆的半径为 r=| PQ| =-=2m?,由 AH 丄 PQ,可得 e=:A 到渐近线的距离为 d可得 h=-12. （5 分）已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x 0,1，总存在唯一的 y -1,1，使得 x+y2ey- a=0 成立，则实数 a 的取值范围是（）A. 1, e B. ： 丄二C. （1, e D.- 丄 JEE【解答】解：由 x+y2ey- a=0 成立，解得/ey=a-

21、x，对任意的 x 0，1，总存在唯一的 y - 1，1，使得 x+y2ey- a=0 成立， a- 1 （-1）2e-J 且 a-012xe1，解得丄wa0,-:展开式的常数项为 15,则丨_ ；：,=： .【解答】解:的展开式的通项公式为yx3r-6_Tr+1= ? (- 1)r?a6-r?:.-14. (5 分)设 a, b R,关于 x, y 的不等式| x|+| y|v1 和 ax+4by8 无公共解, 则 ab的取值范围是 -16, 16.【解答】解：关于 x, y 的不等式|x|+| y|v1 表示的可行域如图的阴影部分：可 行域与坐标轴的交点坐标(1, 0), (0, 1), (

22、0,- 1) , (- 1, 0),关于 x , y 的不等式| x|+| y| v 1 和 ax+4by 8 无公共解，贝 U ax+4by8 表示的范围在可行域外侧，当 a0 , b0 时满足题意,可得 1, 1,可得 0vab0 , bv0 时满足题意,可得 -1,二二卜,可得：-2bv0 , 0va8ba可得-160 时满足题意,可得 打，E.;/-i,可得：0vb 2, - 8 av0b a可得-16 abv0 ,当 av0 , bv0 时满足题意，可得 人可得：-2wbv0, 8wabav0, 0vab 8 无公共解；故 ab 的取值范围是：-16 , 16;故答案为：-16 ,

23、16.15.(5 分)正项数列an的前 n 项和为 Sn，且2S2+a(n N*),设Jxi【解答】解：正项数列an的前 n 项和为 Sn,且._(n N*),整理得：an+1- an=1, 当n=1时，.|_ ，,解得：a1=1,所以：数列外是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.贝 U an=1+ n 1=n,数列cn的前2016项的和为：丁厂_ J 書一一匚亠打；=1+ ,2017二 2016=.故答案为：丄20172 216. (5 分)已知 F 是椭圆 C:+ =1 的右焦点，P 是 C 上一点，A ( 2, 1),当厶 APF 周长最小时，其面积为 4 .2 2【解答】解：椭圆 C

24、:于+1 =1 的 a=2 , b=2, c=4,设左焦点为 F ( 4, 0),右焦点为 F(4, 0). APF 周长为 | AF|+| AP+I PF| =| AF|+| AP|+ (2a | PF| )=| AF|+| AP| - | PF+ 2a | AF| - | AF|+ 2a,则数列 g的前2016项的和为一则:2Sn+l= an+l2+an+1,得:2an+l= an+l则:c=(-l)nVl 曲 1J2Sn所以:1nfl当且仅当 A, P, F三点共线，即 P 位于 x 轴上方时，三角形周长最小.此时直线 AF的方程为 yJ（x+4）,代入 x2+5y2=20 中，可求得

25、P（0，2）,2故SAPF=SPFFSAFFX2X8丄X1X8=4.2 2三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12 分） ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且石 I Ln.F.-.-:，.-1AB=3 尸（I）求 AD 的长；【解答】解：（I）由得到：AD 丄 AC,所以 zlil：AD,所以 AD=3. （6 分）“）在厶 ABD 中，由正弦定理可知，一二sinBAD sinADB又由 11-：可知二 O1.（8分）所以，（10 分）因为_:,即! 1-1 -（12分）18.（12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形

26、 ABCD 为矩形， ADE BCF均为等边三角形，EF/ AB，EF=AD=AB.2（1）过 BD 作截面与线段 FC 交于点 N,使得 AF/平面 BDN,试确定点 N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值.【解答】解：（1）当 N 为 CF 的中点时，AF/平面 BDN. 证明：连结 AC 交 BD 于M，连结 MN .四边形 ABCD 是矩形，二 M 是 AC 的中点， N 是 CF 的中点， MN / AF,又 AF?平面 BDN，MN?平面 BDN, AF/平面 BDN.（2）过 F 作 F0 丄平面 ABCD 垂足为 0,过 0

27、 作 x 轴丄 AB,作 y 轴丄 BC 于 P, 则 P为 BC 的中点.以 0 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，,EF=：.=1,A0P=（AB- EF =, AQ,-色，0）, B （丄，丄,0）, C （-丄,丄，0）, F（ 0, 0,返），N （-丄, 22222224右弊粧（0, 2, 0）,7F=（-丄，丄，返），丽（-丄，-丄，返）.222444设平面 ABF 的法向量为& （x, y, z）,贝讣丁呼,AF二02y=0” _1卜 3 屮伍 _o,令 z2 得时=（2,0,心j）,:匸-1, | ,|=乙 | *| 二丰.COS 二-=-|n|BN|3直线 B

28、N 与平面 ABF 所成角的正弦值为|cosv，【1| =-.319. (12 分)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风莲花”在我国广东省陆丰市甲东 镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾，5.6 万人紧急转移安置，288 间房屋倒塌， 46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元.距离陆丰市 222 千米的梅州也 受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 0, 2000 , (2000, 4000 , ( 4000, 6000,(6000, 8000 , (8000, 10000五组，并作出如下频率

29、分布直方图：(I)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(U)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款.现从损失超过4000 元的Ey设 AD=1，贝 UBF=1,居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为E户，求E的分布列和数学期望；(川)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐 款情况如表，根据表格中所给数据，分别求 b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元

30、有关？经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元合计捐款超过500 元a=30b捐款不超过 500 元cd=6合计【解答】解：(I)记每户居民的平均损失为：，元，贝 = (1000X0.00015+3000X0.0002+5000X0.00009+7000X0.00003+9000X0.00003)X2000=3360 (2 分)(U)由频率分布直方图，得：损失超过 4000 元的居民有：(0.00009+0.00003+0.00003)X2000X50=15户， E的可能取值为 0, 1, 2，)% 22 仁=)=-=,(C =)= = ：,%35P (K2k)0.150.100.0

31、50.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad-bc)2附：临界值表参考公式：，匚2仁=)=7，V15 C 的分布列为：012P22121353535ECgx =(川)如图：经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元合计捐款超过500 元30939捐款不超过 500 元5611合计3515502=；4.046 3.841,所以有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500 元和自身经济损失是否 4000 元有关.(12 分)20.(12 分)已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F (0,c) (c0)

32、到直线 I: x -y- 2=0的距离为二设 P 为直线 I 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线PA PB,其中 A, B 为切点.(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 当点 P (x0, y0)为直线 I 上的定点时，求直线 AB 的方程；(3) 当点 P 在直线 I 上移动时，求|AF?|BF 的最小值.【解答】 解：(1)焦点 F( 0, c) ( c 0)到直线 I : x - y - 2=0 的距离：，解得 c=1,V2 V2 2所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.(2)设.11 .，由(1)得抛物线 C 的方程为，.:，即-，.，2又因为切线 PA 的斜率为.-，整理得丁 =二.丄1 2丄2jK1TX2KiKn直线 AB 的斜率-KI42所以直线 AB 的方程为 7r ,：，：，：，整理得一.+匸，即： ，因为点 P (Xo，yo)为直线 I: X- y- 2=0