2019届北京市西城区三模数学试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页2019届北京市西城区三模数学试题、单选题1 1 设集合A x2 xa,B0,2,4，右集合AI B中有且仅有 2 2 个兀素，则实数a的取值范围为A A.0,2B B.2,4C C.4,D D.,0【答案】B B【解析】由题意知0,2A且4A，结合数轴即可求得a的取值范围. .【详解】由题意知，AI B= 0,2，则0,2A，故a 2，又4 A，则a 4，所以2 a 4,所以本题答案为 B.B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定AI B中的兀素是解题的关键，属于基础题2 2.设命题P:a,b R,a b a b，则p为A A.

2、a,bR,a babB B.a, bR,a babC C.a,bR,a babD.a,bR,a bab【答案】D D【解析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P:a,b R,a b a b，贝U p为：a,b R,a b a b. .故本题答案为 D.D.【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3 3以A 3, 1,B 2,2为直径的圆的方程是第2 2页共 2121 页A A .x2y xy 80B B.2 2x yx y 90亠22y 802 2x y 90C C.xy xD D.x y【答案】A A【解析

3、】设圆的标准方程,壬【1 田刁主牛玄粉汪一.vfz LUa,b,r，从而求出圆的方程利用待定系数法求出【详解】设圆的标准方程为(x(x a)a)2(y(y b)b)2r r2,由题意得圆心 O(a,b)O(a,b)为A,B的中点,3 32 21 1根据中点坐标公式可得a厂$，b又r rLABJLABJ(3 2(仝4，所以圆的标准方程为:2 2 2 2 2 21 121 12171722(x(x ) ) (y(y ) )，化简整理得x y x y 8 0，2 22 2 2 23 3 3 3所以本题答案为 A.A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于

4、基础题 rr4 4设a,b是非零向量，若对于任意的R，都有abab成立，则v v v vrrrrA A a/bB B. a a b bC CabaD D.a【答案】D D【解析】画出a,b，根据向量的加减法，分别画出a b)的几种情况，由数形结合可得结果 【详解】由题意，得向量a b)是所有向量a b)中模长最小的向量，如图，rbr b第3 3页共 2121 页所以本题答案为 D.D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题5 5设a R,b 0，则 “3a2b”是 “a og3b”的A A 充分而不必要条件B B 必

5、要而不充分条件C C .充要条件D D .既不充分也不必要条件【答案】A A【解析】根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可【详解】若3a2b,b 0，则a log32b，可得a logab;若a logab，可得3ab，无法得到3a2b, 所以3 2b是a log3b的充分而不必要条件 所以本题答案为A.A.【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是:Acr br a1cb时，| AC |最小，满足ab，对于任意的第4 4页共 2121 页4若pq为假命题且qp为假命题，则命题 p p 是命题 q q 的即不充分也不必要条件 5判断命题 p p 与命题 q q 所表示的范围，再

6、根据谁大谁必要，谁小谁充分”的原贝判断命题 p p 与命题 q q 的关系 6 6 .若f X是定义域为R的奇函数，且f X 2 f x，则A A .f X的值域为RB B.f X为周期函数，且 6 6 为其一个周期C C .f X的图像关于X 2对称D D .函数f X的零点有无穷多个【答案】D D【解析】运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可【详解】f X是定义域为R的奇函数，则f( X) f (X),f (0)0,又f(X2) f(X),f(X 4) f(X 2) f(X),即f X是以 4 4 为周期的函数，f(4k) f (0) 0(k Z),所以函数f X的零点有无穷

7、多个；因为f(x 2) f(X) ,f(x 1) 1 f(X)，令t 1 X，则f(t 1) f (1 t),即f(x 1)f(1 X)，所以f x的图象关于X 1对称，由题意无法求出f X的值域，所以本题答案为 D.D.【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键 7 7 .设向量a,b满足a 2,b 1,a問，则a tb的取值范围是件;件;q为真命题且qq为假命题且qq为真命题且qp为假命题，则命题p为真命题，则命题p为真命题，则命题p p 是命题p p 是命题p p 是命题的充分不必要条的必要不充分条的充要条件;【详解】第 4 4 页共 2121

8、 页A A .迈B B.3,C C.2,6D D. 3,6【答案】B B【解析】由模长公式求解即可第6 6页共 2121 页【答案】1丄比较即可. .2【详解】所以有c【点睛】 本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比 较是关键，注意合理地进行等价转化比为1A A .4C C .23rtbra1时取等号，所以本题答案为B.B.【点本题考查向量是基础题8 8设a 0.820.5,bsinl,c Ig 3，贝ya,b,c三数的大小关系是【解利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将 a a, b b, c c 与.4,uuv9 9 如图，设P为ABC

9、内一点，且AP1 uuv AB31 UUV AC，贝V ABP与ABC的面积之413162Tba 选 C.C.第7 7页共 2121 页【答案】A A作 PDPD / / /AC/AC 交AB于点D，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出SADP【详解】如图，作 PD/ACPD/AC 交AB于点D,1SAPB1-SABC，即-4，4SABC4所以本题答案为 A.A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本 题的关键 1010 .已知正方体ABCD AB1C1D1的棱长为 1 1，平面 与此正方体相交 对于实数d 0 d、3，如果正方体ABCD A1B

10、1C1D1的八个顶点中恰好有m个点到平面 的距离等于d，那么下列结论中，一定正确的是A A.m 6B B.m 5C C.m 4D D.m 3【答案】B B【解析】 此题画出正方体模型即可快速判断m m 的取值. .【详解】如图（1 1）恰好有 3 3 个点到平面 的距离为d;如图（2 2）恰好有 4 4 个点到平面 的距离为d;如图（3 3）恰好有 6 6 个点到平面的距离为d. .所以本题答案为 B.B.【解与SABC的比例，再由SADP与SAPB的比例,可得到结果 uuu则APUULT UUUTuuuAD DP，由题意，AD1 uuuAB，3所以SADPLULT 1 UUUTDP AC，且

11、ADP4111-| AB| |AC|sin CAB SABC3412CAB 180，UUUT 1 UUU又AD -AB，所以，SAPB33SADP第8 8页共 2121 页本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活 应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题二、填空题3x 2y 4 0,1111设x,y满足约束条件x 4y 6 0,，则z x2y2的最大值为 _x 20,【答案】2929【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】3x 2y 4 0,由约束条

12、件x 4y 6 0,作出可行域如图:x 20,联立，解得A(2,5),【点第9 9页共 2121 页x 20,目标函数z x2y2是以原点为圆心，以z为半径的圆,由图可知，此圆经过点 A A 时，半径、一z最大，此时z也最大，最大值为z 225229. .所以本题答案为 29.29.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围1212 在某批次的某种灯泡中，随机抽取200200 个样品 并对其寿命进行追踪调查，

13、将结果列成频率分布表如下：寿命(天)频数频率200,3004040a300,40060600.30.3400,500b0.40.4500,60020200.10.1合计2002001 1某人从灯泡样品中随机地购买了n n N*个，如果这n个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样 所得的结果相同，则n的最小值为 _ . .【答案】1010【解析】先求出 a a, b b，根据分层抽样的比例引入正整数k k 表示 n n,从而得出n的最小值. .【详解】由题意得，a=0.2a=0.2, b=80b=80,由表可知，灯泡样品第一组有4040 个，第二组有 6060 个，第三组有 8080 个，第四组有

14、 2020 个，所以四个组的比例为 2:3412:341，所以按分层抽样法，购买的 灯泡数为n=2k+3k+4k+kn=2k+3k+4k+k =10k(k=10k(kN*)N*),所以n的最小值为 10.10.【点睛】第1010页共 2121 页本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题 第1111页共 2121 页21答案不唯一，如y x 4【详解】说明原命题是假命题【答案】 答案不唯一，如ann 1【解析】根据等差数列的性质可得到满足条件的数列【详解】由题意知，不妨设ann1,则amn(m n)1(m n)2ama*, 很明显an为递减数列，说明原

15、命题是假命题所以ann 1，答案不唯一，符合条件即可【点睛】本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是13.13.能说明若f X 1f x对于任意的x 0,都成立,f X在0,是减函数 ”为假命题的一个函数是【答【解根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数由题不妨设f (x)则f(x1) f(x)2x0,都成但是 f f (x)(x)在0,-4是单调递增的，在是单调递减的，所以本题答案21，答案不唯一,4符合条件即可【点本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在0,上不是单调递减的函数，再检验是否满足命题中的条件，属基础题1414 .能说明

16、在数列an中，若对于任意的mn N,am naman，则an为递增数列”为假命题的一个等差数列是. .(写出数列的通项公式)第1212页共 2121 页否满足命题中的条件，属基础题1515 某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为【解析】 利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积【详解】2此四棱锥的高为 2，底面是长为、.、2，宽为 2 2 的矩形，所以体积V 1 2.2.2-.334所以本题答案为4. .3【点睛】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力 解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可

17、以 根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断1616 现有 5 5 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有_ 种. .（用数字作答）【答案】3636【解析】先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法， 在此条件下，计算甲不排在两端的排法, 最后相减即可得到结果 侧（左）视如图:第 3333 页共 2323 页【详解】3231由题意得 5 5 人排成一排，甲、乙两人不相邻，有A3A4种排法，其中甲排在两端，有2A3A3种排法，则 6 6 人排成一排，甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有A3A42A|A336（种）排法 所以本题答案为 36.36.【点睛】排列、组合问题由

18、于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这 类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分 组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向 同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题3737 甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖 在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中vv 表示猜测某人获奖，x表示猜测某人未获奖，而C则表示对某人是否获奖未发表意见 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获 奖者是_ . .甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测vxxv乙的猜测xOOv丙的猜测xvxv

19、丁的猜测OOvx【答案】乙、丁【解析】本题首先可根据题意中的四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即 可得出结果 【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若 乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错 误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖 第1414页共 2121 页所以tansincos所以f1.32(2)函数f x的定义域为R,且 x化简，得f x 13 tan xcos2x所以本题答案为乙、丁【

20、点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据四个人中有且只有两个人的猜测是正确的题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，查推理能力，是简单题 三、解答题1818 .已知函数f x 1、3tanx cos2x. .(i)若 是第二象限角，且sin上6，求f的值；3(n)求函数f x的定义域和值域. .【答案】(i)1庇(n)函数f x的定义域为x x R,且 x k ,k321 3值域为 ，一2 2【解析】(1 1)由 为第二象限角及sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos及tan的值，再代入f x中即可得到结果. .x的范围，即可得到函数值域【详解】”

21、将(2(2)函数 f fx解析式利用二倍角和辅助角公式将f x化为一个角的正弦函数,根据解：(1 1)因为是第二象限角，且sin所以cos.1 sin2第1515页共 2121 页sinx21、3- cos xcosxcoscos2x x 3 3 sinsin xcosxxcosx1 cos2x . 3 .小sin 2x2 2sin 2x -6因为xR,且x k- , k Z,2所以2x72k66所以1sin2x 1. .1 3所以函数fx的值域为越0. .)【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系

22、式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型 1919.如图，在正四棱柱ABCD中，AB 1,AA 3，过顶点A,G的平（注：或许有人会认为因为x k，所以f x20”，其实不然，因为第1616页共 2121 页面与棱BB1,DD1分别交于M,N两点（不在棱的端点处）（1 1）求证：四边形AMC!N是平行四边形；（2 2）求证：AM与AN不垂直；（3 3） 若平面AMC!N与棱BC所在直线交于点P,当四边形AMC!N为菱形时，求PC长 【答案】（1 1）证明见解析；（2 2）证明见解析；（3 3）PC=2. .【解析】（1 1）由平面ABB1A1与平面DCCQ没有交点，可得AM

23、与NG不相交，又AM与NG共面，所以AM /NC1，同理可证AN/MC1，得证；（2 2）由四边形AMC1N是平行四边形，且MN AC1，则AMC1N不可能是矩形，所以AM与AN不垂直；（3 3） 先证RtVABM RtVCQM， 可得M为BB1的中点， 从而得出B是PC的中点，可得PC. .【详解】（1 1）依题意A, M，G,N都在平面 ACAC1上，因此 AMAM 平面 AGAG，NC1平面 AGAG，又AM平面ABB1A，NC1平面DCC1D1，平面ABB1A1与平面DCC1D1平行，即两个平面没有交点，则AM与NG不相交，又AM与NG共面，所以AM /NC1，同理可证AN/ /MC1

24、，所以四边形AMC1N是平行四边形；第1717页共 2121 页（2 2） 因为M，N两点不在棱的端点处，所以MNBD1AG，又四边形AMC1N是平行四边形，MN AC1，则AMC1N不可能是矩形，所以AM与AN不垂直；（3 3）如图，延长GM交CB的延长线于点P，第 i5i5 页共 2i2i 页若四边形AMC1N为菱形，则AM MC1，易证RtVABM RtVC1B1M,所以 BMBM BMBM，即M为BB1的中点，1因此BM -CCi, 且BM /CCi，所以BM是VPCCi的中位线，2则B是PC的中点，所以PC 2BC 2. .【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线

25、段长的求解问题， 意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力； 解答本题关键在于能利用直线与直线、 直线与平 面、平面与平面关系的相互转化，属中档题2020 .如图，在四棱柱ABCD AiBiCiDi中，底面ABCD是正方形，平面AiDBi平面ABCD，AD 1，AA2 过顶点D，B“的平面与棱BC，ADi分别交于M，N两点 (H)求证：四边形DMBiN是平行四边形;(川)若AD CD，试判断二面角D MBiC的大小能否为45?说明理由第 i6i6 页 共 2i2i 页答案】（ 1 1）证明见解析； （2 2）证明见解析； （3 3）不能为45【解析】（1）由平面A1DB1平面ABCD，可得AD

26、平面A1DB1，从而证明AD DB1；（2 2）由平面ABCD与平面ABCD没有交点，可得DM与 NBI不相交，又DM与 NBI共面，所以DM /NBI，同理可证DN/MBI，得证；（3 3）作CEMBI交MBi于 点E，延长CE交BBI于点F，连接DE，根据三垂线定理，确定二面角D MBiC的平面角 CEDCED ，若CED=45o，CE CD 1，由大角对大边知CF BC 1，两 者矛盾，故二面角D MBiC的大小不能为45. .【详解】（1 1）由平面AiDBi平面ABCD，平面AiDBiI平面ABCD CD，且AD CD，所以AD平面AiDBi，又DBi平面AiDBi，所以AD DBi

27、；（ 2 2）依题意D，M，Bi，N都在平面DBi上，因此DM平面DBi，NBi平面DBi，又DM平面ABCD，NBi平面ABCD，平面ABCD与平面ABCD平行，即两个平面没有交点，则DM与NBi不相交，又DM与NBi共面，所以DM /NBI，同理可证DN /MBi，所以四边形DMBiN是平行四边形；（3 3） 不能 如图，作CE MBi交MBi于点E，延长CE交 BBI于点F,连接DE，第2020页共 2121 页由AD CD,AD CD,AD AD=D,所以CD平面ADD!A，则CD平面BCGB!，又CE MB根据三垂线定理，得到DE MB1，所以 CEDCED 是二面角D MB1C的平

28、面角,若CED=45,贝V VCED是等腰直角三角形，CE CD 1,又CFB= BiEFFBiE 90FBiE 90,所以VCFB中，由大角对大边知CF BC 1,所以CE CF 1，这与上面CE CD 1相矛盾,所以二面角D MB1C的大小不能为45. .【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直 线 与 平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题a ln x b2121 .已知函数f x，曲线y f x在点1, f 1处的切线方程为x 1 xx 2y 3 0. .(i)求a,b的

29、值；(n)若k 0，求证：对于任意x 1,【答案】(i) a a 1 1,b 1(n)见解析 【解析】(1 1)根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及 切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组,求出a,b值；(2 2)首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得21k 1 x 122ln x -1 xxIn x kxx 1 xx【解析】(1 1)由抛物线的性质，当PQ x轴时,PQ最小；（2 2）设点P x-, y1,本题考查了利用导数求切线的斜率，禾U用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题, 以及不等式证明问题，考查了分析及

30、解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函 数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键22222 设F为抛物线C : y 4x的焦点，P,Q为抛物线C上的两个动点，O为坐标原构造函数h xk 1 x212ln x并判断其符号，这里应注意x的取值范围，从而证明不等式【详解：(1 1)x 1aIn xx2x 1由于直线2y0的斜率为舟，且过点1,1,(2(2)由(1 1)所以f x考虑函数11【点睛】所以1,12In x2ln1 x22x0,故当b 1,2解得 a a1ln xx 12ln x1 xk 1 x21 2x k x2210. .x 1,0，即f时,ln xx 1x【解析】(1 1)由抛

31、物线的性质，当PQ x轴时,PQ最小；（2 2）设点P x-, y1,(I)若点F在线段PQ上，求PQ的最小值;(n)当OP PQ时，求点Q纵坐标的取值范围. .第 1818 页共 2121 页【答案】(I)4(D),8 U 8,第2323页共 2121 页uuu uurOP PQ 0得到三个方程，消去 X Xi,X,X2，得到关于yi的一元二次方程，利用判别式即可求出y2的范围. .【详解】小，最小值为2p，即为 4.4.解不等式，得点Q纵坐标y2的范围为，8 U 8,【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点 是复杂式子的变形能力不足，导致错解. .22323已知椭圆C： y2i的右顶点为A，点P在y轴上，线段AP与椭圆C的交点B2在第一象限，过点B的直线l与椭圆C相切，且直线I交x轴于M. .设过点A且平行于 直线I的直线交y轴于点Q. .(I)当B为线段AP的中