图像几何运算

1、图像几何运算几何运算改变像素之间的空间位置，没有改变灰度等级值，需要两个独立的算法：空间变换和灰度值插值 图像的几何运算几何运算也叫几何变换：包括图象的平移，旋转，镜象变换，转置，放缩等。一平移(translation)将图像沿水平或垂直方向移动位置后，获得新的图像的变换方式。例如：图像坐标中象素点（x0 ,y0)移动到（x1,y1) 位置灰度不变。（x0 ,y0 )点，经过平移（tx,ty），变为点（x1,y1）两点之间的关系 为：x1=x0+tx; y1=y0+ty.以矩阵的形式表示为 :我们更关心的是它的逆变换： 因为：我们想知道的是平移后的图象中每个像素的颜色 。x0=x1-tx ,

2、y0=y1-ty例如：新图中左上角点的RGB值是多少？很显然，该点是原图中的某一点经过平移后得到的，这两点的颜色肯定是一样的，所以只要知道了原图那点的RGB值即可。那么到底新图中的左上角点对应原图中的哪一点呢？将左上角点的坐标（0,0）代入公式(2)，得到x0=-tx；y0=-ty；所以新图中的(0,0)点的颜色和原图中（-tx,-ty）的一样。设用 表示新图，用 表示原图。( , )g x y( , )f x y(0,0)g在新图的坐标系中是左上角的象素，原图00(,)f xy中的象素在新坐标系中的位置变成了f（tx,-ty)，新的坐标系中g(0,0)f(-tx,-ty)。例如：平移后出现的

3、问题1、如果新图中有一点（x1,y1），按照公式(2)得到的(x0,y0)不在原图中该怎么办？通常的做法是，把该点的RGB值统一设成(0,0,0)或者(255,255,255)。2、平移后的图象是否要放大？一种做法是不放大，移出的部分被截断，如下图所示，图2为原图，图3为移动后的图。这种处理，文件大小不会改变。平移前的图平移后的图像还有一种做法是：将图象放大，使得能够显示下所有部分 移动后被放大图像这种处理，文件大小要改变。设原图的宽和高分别是w1,h1则新图的宽和高变为w1+|tx|和h1+|ty|，加绝对值符号是因为tx,ty有可能为负 .下面给出Translation的源代码。算法的思想

4、是先将所有区域填成白色，然后找平移后显示区域的左上角点(x0,y0)和右下角点(x1,y1)。分几种情况： 先看x方向(width指图象的宽度) l1.tx-width很显然，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理2-widthtx0，如图5所示图像向左上方移动图象区域的x范围从0到width-|tx|,对应原图的范围从|tx|到width图530txwidth , 如图6所示 , 图像向右下方平移0txwidth,0tyheight的情况图象区域的x范围从tx到width,对应原图的范围从0到width-tx 图64txwidth,图象完全移出了屏幕，不用做任何处理 。y方向是对应的（方向是对应

5、的（height表示图象的高度表示图象的高度1ty-height，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理2-heightty0，图象区域的y范围从0到height-|ty|,对应原图的范围从|ty|到height30tyheight ，图象区域的y范围从ty到height,对应原图的范围从0到height-ty4tyheight，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理 ） 这种做法利用了位图存储的连续性，即同一行的像素在内存中是相邻的。利用memcpy函数，从(x0,y0)点开始，一次可以拷贝一整行（宽度为x1-x0），然后将内存指针移到(x0,y0+1)处，拷贝下一行，这样拷贝(y1-y0)行就完成

6、了全部操作，避免了一个一个像素的计算，提高了效率。 图像平移实例1.图像平移按钮属性修改2.创建translation 的窗体，添加两个按钮，2个textbox控件，2个label控件和1个groupbox控件3.Translation窗体的按钮click事件，2个get属性访问器4.图像平移按钮的click事件(主)保持原图像尺寸大小不变，超出的尺寸被截断，不足的部分以白色像素填充X=x+x0 Y=y+y0 (4.1) 把坐标原点（0 ,0)平移到（x0,y0）图像镜象(mirror) 镜象分水平镜象和垂直镜象两种 原图水平镜像垂直镜像镜象的变换矩阵很简单，设原图宽为w，高为h，变换后，图的

7、宽和高不变.水平镜象为： 垂直镜象为 图像镜像实例1.Mirror窗体2个按钮控件，1个groupbox控件和2个Radiobutton控件2.给Mirror窗体的2个按钮添加click事件和1个get属性访问器3.主窗体的图像镜像按钮，添加click事件（主）以水平中轴线为对称轴，两边像素值互换图像缩放（zoom） 图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍，沿y轴方向比例缩放fy。当fx fy时，称为图像的全比例缩放。当fx fy时，图像象素间的相对位置会发生畸变。设原图像中的点P(x0,，y0),比例缩放后在新的图像中对应点P(x,y)， P(x0,，y0)和 P(x,y)之

8、间的对应关系如图所示： 比例缩放前后两点之间的关系用矩阵表示为：00000010011xxfxyfyy 10 xxf x10yyf y其逆矩阵为：0010010011001xyfxxyyf0 xxxf0yyyf插值算法（Interpolation） 比例缩放所产生的图像中有可能在原图中找不到相应的象素点,我们采用的做法是找与之最临近的点，我们采用的做法是找与之最临近的点 。即利用邻域的像素来估计新的像素值 的处理方法就是插值算法。常用的插值算法有：最邻近插值（Nearest Neighbour Interpolation）。 线形插值(Linear Interpolation)。双线形插值（B

9、ilinear Intrepolation） 曲线插值（Curvilinear Interpolation） （1）最临近插值图像变换后找不到相应的象素点时，直接赋值为和它最相近的的象素值的插值算法。例如：在图像的缩放中，将一幅66的图像按比例缩小，fxfy1/2,图像的长和宽均缩小到原来的一半，成为一幅33的图像。 原图像的象素从（0，0）到（5，5），新图像的象素从（0，0）到（2，2）。如下图：66的原图f新图中的灰度值利用缩放公式0 xxxf0yyyf计算得到X0=0/0.5=0 y0 =0 X1=1/0.5= 2 y1=2 X2=2/0.5=4 y2=4 g(0,0)=f(0,0)

10、, g(0,1)=f(0,2) , g(0,2)=f(0,4), g(1,0)=f(2,0), g(1,1)=f(2,2), g(1,2)=f(2,4) g(2,0)=f(4,0), g(2,1)=f(4,2) ,g(2,2)=f4,4)33的新图g66的原图f图像缩小，可以在原图像中挑选信息，缩小之后的图与原图像比较丢失了很多信息。图像放大处理中，需要对放大后多出来的空格填入适当的象素值，采用最临近插值法举例如下：44的以原图f长和宽各放大2倍，利用公式得到88的新图像。新图像中各象素位置X0=0 Y0=0 X1=0.5 Y1=0.5 X2=1 Y2=1 X31.5 Y3=1.5 X4=2

11、Y4=2 X5=2.5 Y5=2.5 X6=3 Y6=3 X7=3.5 Y7=3.5g(0,0)=f(0,0) g(0,1)=f(0,0.5) g(0,2)=f(0,1) g(0,3)=f(0,1.5) g(0,4)=f(0,2) g(0,5)=f(0,2.5) g(0,6)=f(0,3) g(0,7)=f(0,3.5) g(1,0)=f(0.5,0) g(1,1)=f(0.5,0.5) g(1,2)=f(0.5,1) g(1,3)f(0.5,1.5) g(1,4)=f(0.5,2) g(1,5)=f(0.5,2.5) g(1,6)=f(0.5，3） g(1,7)=f(0.5,3.5) g(2

12、,0)=f(1,0) g(2,1)=f(1,0.5)g(2,2)=f(1,1） g(2,3)=f(1,1.5) g(2,4)=f(1,2) g(2,5)=f(1,2.5) g(2,6)=f(2,3） g(2,7)=f(1,3.5) g(3,0)=f(1.5,0) g(3,1)=f(1.5,0.5) g(3,2)=f(f(1.5,1) g(3,3)=f(1.5,1.5) g(3,4)=f(1.5,2) g(3,5)=f(1.5,2.5） g(3,6)=f(1.5,3) g(3,7)=f(1.5,3.5) g(4,0)=f(2,0) g(4,1)f(2,0.5) g(4,2)=f(2,1) g(4

13、,3)=f(2,1.5） g(4,4)=f(2,2) g(4,5)=f(2,2.5) g(4,6)=f(2,3) g(4,7)=f(2,3.5) g(5,0)=f(2.5,0) g(5,1)f(2.5,0.5) g(5,2)=f（2.5,1) g(5,3)=f(2.5,1.5） g(5,4)=f(2.5,2) g(5,5)=f(2.5,2.5) g(5,6)=f(2.5,3) g(5,7)=f(2.5,3.5) g(6,0)=f(3,0) g(6,1)f(3,0.5) g(6,2)=f（3,1) g(6,3)=f(3,1.5） g(6,4)=f(3,2) g(6,5)=f(3,2.5) g(6

14、,6)=f(3,3) g(6,7)=f(3,3.5) g(7,0)=f(3.5,0) g(7,1)f(3.5,0.5) g(7,2)=f(3.5,1) g(7,3)=f(3.5,1.5） g(7,4)=f(3.5,2) g(7,5)=f(3.5,2.5) g(7,6)=f(3.5,3) g(7,7)=f(3.5,3.5) 放大后88的新图(2)线形插值线形插值是使用原图中两个值来构造所求坐标处的值。例如：如图所示，如果已经知道了两点x0,x2处的函数值f(x0),f(x2)，现在要求x1处的函数值f(x1)。我们假设函数是线性的，利用几何知识可以知道:20110020()()()()()f x

15、f xf xxxf xxx双线性插值在图象处理中需要将线形插值扩展到二维的情况，即采用双线形插值（Bilinear Intrepolation）例如：已知四点 f(x0,y0),f(x2,y2) ，f(x2,y0),f(x2,y2) 的灰度，要求g（x1,y1)点的灰度，可以先在水平方向上由f(x0,y0),f(x2,y2)线形插值求出g(x0,y1)，f(x2,y0),f(x2,y2)线形插值求出g(x2,y1)，然后在垂直方向上由g(x0,y1) ,g(x2,y1)线形插值求出g(x1,y1) 020001100020( ,)( ,)( , )()( ,)f x yf x yg x yyy

16、f x yyy222021102020( ,)( ,)( , )()( ,)f x yf x yg x yyyf x yyy212111100120( , )( , )( , )()( , )f x yf x yg x yxxf x yxx双线性插值可以通过三次运算的到。处理效果比较满意。这种处理具有低通滤波性质，使高频分量受到损失，图像轮廓模糊。另外，图像处理中还使用双曲线插值，及三次内插法解决图像缩放及图像旋转后的灰度填充。图像缩放实例将图像中某点（x,y）经过缩小放大后位置变成(x,y）：x=ax y=by (4.5)1.主窗体添加图像缩放控件2.创建zoom的windows窗体，该窗体

17、用于选择缩放量以及用何种灰度插值法。2个button控件，1个groupbox控件2个radiobutton控件，2个label控件和2个textbox控件3.为zoom窗体添加click事件和3个get属性访问器，分别获得横向缩放量和纵向缩放量以及使用哪种插值法4.主窗体的图像缩放按钮的click事件（主）图像旋转(rotation) 图像旋转是指图像以某一点作为轴转过一定的角度。通常的做法是以图象的中心为圆心旋转。例如：图7旋转30度（顺时针方向）后的图象如图8所示. 可以看出，旋转后图象变大了。 图8旋转后的图图7原图若要使旋转后保持原尺寸图像就要进行裁切有些内容就会损失。我们采用第一种

18、做法 图像旋转变换矩阵 先来看一下，将一个点顺时针旋转a角后的坐标变换公式，如图10所示，r为该点到原点的距离，在旋转过程中，r保持不变。b为r与x轴之间的角度。 x0=r*cos(b)； y0=r*sin(b)图10旋转前：x0=r*cos(b)； y0=r*sin(b) 旋转a角度后 ：1*cos()xrba*cos( )cos( )*sin( )sin( )rbarba00cos( )sin( )xaya1*sin()yrba*sin( )cos( )*cos( )sin( )rbarba00cos( )sin( )yaxa以矩阵的形式表示 其逆矩阵的形式表示为上面的公式中，坐标系I是以图象的中心为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向。它和以图象左上角点，向右为x轴正方向，向下为y轴正方向的坐标系II之间的转换关系如何呢？ 两种坐标系间的转换关系 逆变换为 ：按照上面的公式，我们可以把变换分成3步：第一： 将坐标系II变成I ；第二： 将该点顺时针旋转a角；第三： 将坐标系I变回II ，这样，我们就得到了变换矩阵，是上面三个矩阵的级联。 上面公式中Wold表示原图的宽 ,Hold表示原图 的高,Wnew新图的宽 ,Hnew新图的高 ，可以看出 Wnew=max(|x4-x1|,|x3-x2|) ; Hnew=max(|y4-y1|,