弹塑性力学第一章

1、授课教师：龙志飞授课教师：龙志飞目录目录 第第 一一 章章 绪论绪论 第第 二二 章章 应力分析应力分析 第第 三三 章章 应变分析应变分析 第第 四四 章章 应力应变关系应力应变关系 第第 五五 章章 线弹性力学问题的基本线弹性力学问题的基本 解法和一般性原理解法和一般性原理 第第 六六 章章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第第 七七 章章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹性力学平面问题的极坐标系解答 第第 八八 章章 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转 第第 九九 章章 空间轴对称问题空间轴对称问题 第第 十十 章章 弹性力学问题的能量原理弹性力学问题的能

2、量原理 第第 十一十一 章章 塑性力学基础知识塑性力学基础知识 1.徐芝纶，徐芝纶， 弹性力学：上册弹性力学：上册.第三版第三版,高等教育高等教育出版社出版社.1990年年 2.陆明万陆明万.罗学富罗学富,弹性理论基础弹性理论基础,清华大学出版清华大学出版社社. 1990年年 3.杜庆华杜庆华.余寿文余寿文.姚振汉姚振汉,弹性理论弹性理论,科学出版社科学出版社. 1986年年 4.王龙甫王龙甫,弹性理论弹性理论.第二版第二版,科学出版社科学出版社. 1984年年 5.吴家龙吴家龙,弹性力学：高等教育出版社弹性力学：高等教育出版社.2001年年 1.1 任务：任务： 弹塑性力学是固体力学的一个分

3、支学科，弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它是研究可变形固体当受到外部因素（如载荷它是研究可变形固体当受到外部因素（如载荷作用、温度变化、边界约束移动等）作用时，作用、温度变化、边界约束移动等）作用时，研究变形固体的变化和内力，为保证变形体或研究变形固体的变化和内力，为保证变形体或结构在使用周期内有足够的强度、刚度和稳定结构在使用周期内有足够的强度、刚度和稳定性，提供设计和施工（制造）的依据。性，提供设计和施工（制造）的依据。 弹塑性力学是根据固体材料受外因弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与塑性性质而命名。作用时所呈现的弹性与塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。

4、它们是固体材料变化过程的两个阶段。当外部因素作用时，固体发生变形，如果当当外部因素作用时，固体发生变形，如果当外因去掉，变形体恢复原样（状），称固体外因去掉，变形体恢复原样（状），称固体（材料）处于弹性性质，（材料）处于弹性性质， 单值；单值； 如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并存在永久变形，变形固体在外因作用时已进存在永久变形，变形固体在外因作用时已进入塑性阶段，入塑性阶段， 曲线不是单值函数。曲线不是单值函数。 当然变形体常遇到在物当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性、而另体某一局部处于弹性、而另一区域处于塑性状态，弹塑一区域处于塑性状态，弹塑性交织

5、在一起性交织在一起 。1.2 1.2 研究的对象：研究的对象： 材料力学材料力学和和结构力学结构力学是大学的主干课程，是大学的主干课程，它们也是固体力学中较基本的力学课程。在它们也是固体力学中较基本的力学课程。在许多工程设计中，工程师运用它们进行设计许多工程设计中，工程师运用它们进行设计和计算，但它们研究的对象单一：杆件型构和计算，但它们研究的对象单一：杆件型构件或杆系结构，（一维问题），具有局限性。件或杆系结构，（一维问题），具有局限性。1.2 1.2 研究的对象：研究的对象： 弹塑性力学弹塑性力学研究的对象就广泛的多，除研究的对象就广泛的多，除了杆件外，二维、三维实体结构、板、壳结了杆件外

6、，二维、三维实体结构、板、壳结构。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多，构。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多，具有一般性。具有一般性。 2.12.1基本假设基本假设假设假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积固体材料是连续的介质，即固体体积内处处充满介质，没有任何间隙。内处处充满介质，没有任何间隙。 从材料的微观看此假设不正确。因为粒子从材料的微观看此假设不正确。因为粒子间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分析时，假设析时，假设1是成立的。假设是成立的。假设1的目的：变形体的目的：变形体的各物理量为连续函数（坐标函数）。的各物理量为连续函数（坐标函数）。假

7、设假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内物体的材料是均匀的。认为物体内各点的材料性质相同（力学特性相同），所各点的材料性质相同（力学特性相同），所以从物体内任一部分中取出微元体进行研究，以从物体内任一部分中取出微元体进行研究，它的力学性质代表了整个物体的力学性质。它的力学性质代表了整个物体的力学性质。假设假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物小变形假设。物体在外因作用下，物体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。假设假设4：应力与应变关系为线性。此假设适应力与应变关系为线性。此假设适用于线弹性理论。用于线弹性理论。2.2 2.2 基本规律基本规律 完成弹塑

8、性力学任务所要遵循的三个基完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基本规律（或应满足的三方面的条件）：本规律（或应满足的三方面的条件）：1. 平衡规律平衡规律：固体受到外力与自身的内力要固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程，在弹性理论中它们为微分方满足平衡方程，在弹性理论中它们为微分方程（程（3个）。2. 几何连续性规律几何连续性规律：要求变形前连续的物要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物体，由这个规律建立体，变形后仍为连续物体，由这个规律建立几何方程（几何方程（6个）或变形协调方程，均为微个）或变形协调方程，均为微分方程。分方程。3. 物理（本构）关系物理（本构）关系：应力（内力）应力（内力）与

9、应变（变形）之间的关系，据材料的与应变（变形）之间的关系，据材料的不同性质不同性质 来建立，最常见的为各向来建立，最常见的为各向同性材料。同性材料。在线弹性中本构方程为线性代数方程在线弹性中本构方程为线性代数方程（6个）。个）。数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、 数值解法。数值解法。实验方法：电测方法、光测方法等。实验方法：电测方法、光测方法等。 由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列表示简捷，近

10、几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。在笛卡尔坐标系中采用。 5.1 力学中常用的物理量力学中常用的物理量1.标量标量： 只有大小、没有方向性的物理量，与只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。坐标系选择无关。 用字母表示，如温度用字母表示，如温度T、时间、时间t、密度、密度 等。标量无下标。等。标量无下标。2. 矢量矢量：有大小，又有方向性的物理量：有大小，又有方向性的物理量 矢量的符号记法。矢量的符号记法。 31

11、332211iiiererererr 如矢径如矢径 （或黑体）、位移（或黑体）、位移 、力、力 等，等， ruF矢量也可以用它的标量表示：矢量也可以用它的标量表示： x1 3ex3 2e1ex2r 其中其中 、 、 为坐标的基方向（单位向量），为坐标的基方向（单位向量），r1、r2、r3为为r在坐标轴的投影（分量），都有在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。一个下标。1e2e3ex1 3ex3 2e1ex2r31332211iiieueueueuu3. 张量张量：有大小，并具有多重方向性的量：有大小，并具有多重方向性的量3131333321121111.ijjiijeeeeeeee每个分量用一

12、个标量（具有两个下标）与两个每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢），称为二阶张量。矢并在一起基矢量（并矢），称为二阶张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 如应力如应力 、应变、应变 ，张，张量的符号记法。量的符号记法。5.2求和约定求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了书写简捷，采用求和约定。书写简捷，采用求和约定。求和约定求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示

13、该项在该指标的取值范围内现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。下标为哑标。 哑标如：哑标如：31 12 23 31i ii iirrer ererere31 12 23 31i ii iiuu eu eu eu eu ejiijijjiijeeeeeeeeee3131333321121111.由于哑标由于哑标i仅表示要遍历求和，因此哑标可以仅表示要遍历求和，因此哑标可以成对的任意换标。成对的任意换标。 jjr ejju e5.3自由指标自由指标 一个表达式中如果出现非重复的标号或一一个表达式中如果出现

14、非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的而且为相同字母的个方程每项中出现非重复的而且为相同字母的指标，称为自由指标。指标，称为自由指标。 矢径矢径 r 的表示：的表示： 矢径的三个分量为矢径的三个分量为ri (i=1,2,3)，用，用ri表示矢径；表示矢径； 同样位移矢量同样位移矢量u，用用ui表示位移，表示位移， ij 表示表示应力应力 张量。张量。jijiyax 111112213322112222333311322333xa ya ya yxa ya ya yxa ya ya yi 为自由指标，取i=1,2,3 表示三个方程。 j为哑指标，表示求和。 5.4 克罗内克符号克罗内克符号 i

15、j （Kronecker delta） 定义：定义： ij（i,j为自由指标）共有九个分量，为自由指标）共有九个分量， i,j 各取各取13。 时当时当jijiij01)3 , 2 , 1,ji（由由 ij 定义定义9个个元素组成矩元素组成矩阵为单位阵：阵为单位阵： I100010001333231232221131211 ij符号的应用符号的应用 笛卡尔坐标系的笛卡尔坐标系的基向量的点积基向量的点积 时时jijieeji01ijjiee由由 ij 定义及哑标、自由标定义，可得：定义及哑标、自由标定义，可得：112233ii1 12233ijjiiiaaaa1 1223310ikkjijiji

16、jijijij 3( )( )iiiiaa 如果如果 ij 符号的两个指标中有一个指标和同符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成那个重指标替换成 ij 的另一个指标，而的另一个指标，而 ij 自自动消失。动消失。 ij 也称为也称为 换标符号换标符号。两个任意向量点积两个任意向量点积 () ()i ijja baeb eijijiiabab5.5 排列符号排列符号（levicivtita）eijk定义：定义： 中任意两指标相同时若逆排列顺序）时，）或（，或（若正排列顺序时或或若kjikjikjieijk,0

17、123231)3 , 1 , 2(),(1)2 , 1 , 3() 1 , 3 , 2()3 , 2 , 1 (),(1 eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有共有27个元素。个元素。 排列符号的作用可以简化公式书写，如：排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1 三阶行列式：三阶行列式： kjiijkkjiijkAAAeAAAeAAAAAAAAAA321321333231232221131211（共六项，三项为正，三项为负）。（共六项，三项为正，三项为负）。 2. 基向量的叉积：右手系基向量的叉积：右手系 3123321eeeee3213312eeeee 任意基向量的叉积可写为任意基向

18、量的叉积可写为 kkijkijkjieeeeee3向量叉积的展开式：向量叉积的展开式： iieaajjebb 而而 kkecbackkijjikijkjijjiieebaeebaebeabakkijjikijkjijjiieebaeebaebeaba 得 jikijjiijkkbaebaeckjiijkebaebbbaaaeeebac3213213215.6 梯度（梯度（grad）、散度（）、散度（div）、）、 旋度旋度rot或或curl）：）：1标量场的梯度：标量场的梯度： 标量场标量场 ( xi,) 的梯度为：的梯度为： 标量场：标量场： = ( x1,x2,x3 )= ( xi,) 标

19、量场标量场 ( xi,) 的梯度为：的梯度为： ,iiiigradeex 其中 iixeiix,123123eeeijkxxxxyz 标量场的梯度为一矢量场，类推矢量场的标量场的梯度为一矢量场，类推矢量场的梯度为二阶张量。梯度为二阶张量。23 ,22,21 , 标量场梯度的方向与等值面标量场梯度的方向与等值面 ( xi,)=C垂直，垂直，大小为大小为 ( xi,)在其法线方向上的方向导数在其法线方向上的方向导数2矢量场的散度：矢量场的散度： 矢量矢量 定义向量场的散度为定义向量场的散度为 iieVViixVijxVjjxiVeVeVVdiviiiji,或或 332211xVxVxVV类推对张量

20、场也可得它的散度。类推对张量场也可得它的散度。 3矢量场的旋度：矢量场的旋度：jijjijk kiiVrotVcurlVVeV ee exx123123,123ijkj ikxxxeeee V eVVViieVV矢量矢量 ，定义向量场的旋度为，定义向量场的旋度为4拉普拉斯算子（拉普拉斯算子（laplace opertor）：2()()div grad 标量场中的拉普拉斯算子定义为标量场中的拉普拉斯算子定义为标量场标量场 ( xi,)的梯度的散度，的梯度的散度，是一个标量，是一个标量，2()()div grad 标量场标量场 ( xi,)的梯度的散度，是一个标量的梯度的散度，是一个标量2()()

21、ijijijijiieexxx xxx 222,222123iixxx 矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量梯度的散度：是一个向量 ()()ijkkijVeeV exx ()()ijkkijVeeV exx ()()kkijkijkijijVVee eexxxx ()()kkijkijkijijVVee eexxxx ,()()kikii jjijjjjVVeeVexxxx5.7高斯（高斯（Gauss）公式（散度定理）：）公式（散度定理）： 矢量场矢量场 定义在三维域定义在三维域V内，内，S为为V的表的表面。在表面上任一微元面面。在表面上任一微元面dS，单位外法线，单位外法线 为为（ ）。若）。若 在在VS上有连续偏导数，则：上有连续偏导数，则：iieuunjjennuSVdSundVu矢量场散度的体积积分等于矢量场在表面法矢量场散度的体积积分等于矢量场在表面法线上投影的积分。线上投影的积分。SSiiViiVdSundSnudV