第九章 振动课件

1、1第九章第九章 振振 动动2(1)机械振动机械振动 物体在一定位置物体在一定位置(稳定平衡位置稳定平衡位置)附近所作的附近所作的来回往来回往复复的运动称为机械振动。的运动称为机械振动。 例如例如: 机械钟摆机械钟摆的运动、的运动、弹簧振子弹簧振子的运动、的运动、心脏心脏的的跳动以及跳动以及其它其它的往复运动等。的往复运动等。振振 动动(2)广义振动广义振动 类似于机械振动的物理现象。例如任何一个物理量类似于机械振动的物理现象。例如任何一个物理量(如物体的位置矢量、电压、电流、电场强度等等如物体的位置矢量、电压、电流、电场强度等等)在某个在某个数值附近数值附近反复变化反复变化，都可以称为振动。，

2、都可以称为振动。3动物的心跳动物的心跳(次次/分分) 大象大象2530马马4050猪猪6080兔兔100松鼠松鼠380鲸鲸8 昆虫翅膀振动的频率昆虫翅膀振动的频率(Hz)雌性蚊子雌性蚊子355415雄性蚊子雄性蚊子455600苍苍 蝇蝇330黄黄 蜂蜂22049-1 简谐振动简谐振动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位一、简谐振动一、简谐振动1.振动振动(1)振动的概念振动的概念 一个物理量的值在观测时间内不停地经过极大值和极一个物理量的值在观测时间内不停地经过极大值和极小值而变化小值而变化, 这种变化状态称为振动。这种变化状态称为振动。(2)振动的传播振动的传播 振动的传播过程称为波动

3、振动的传播过程称为波动(机械波、电磁波、物质波机械波、电磁波、物质波) 。(3)振动的函数表示式振动的函数表示式 x 代表振动量在任意时刻的数值，代表振动量在任意时刻的数值， x 为时间的函数：为时间的函数： tx 52.周期振动周期振动(1)周期振动周期振动 如果每隔一固定的时间如果每隔一固定的时间T，振动量的变化就完全重复，振动量的变化就完全重复一次，这种振动称为周期振动。一次，这种振动称为周期振动。T 称为周期振动的周期。称为周期振动的周期。(2)周期振动的函数表达式周期振动的函数表达式 Tttx Tt2(3)频率频率 振动量的变化每重复一次，称为完成一次全振动。振动量的变化每重复一次，

4、称为完成一次全振动。 单位时间内完成全振动的次数单位时间内完成全振动的次数, 称为频率称为频率, 记为记为 v 。 单位单位: s-1或或Hz。6x(t)=Acos( t+ )(2)简谐振动的特点简谐振动的特点等幅振动；等幅振动； 周期振动周期振动 x(t)=x(t+T )。(3)复杂振动的合成复杂振动的合成 一切复杂的振动都可以看成由许多简谐振动合成的。一切复杂的振动都可以看成由许多简谐振动合成的。3.简谐振动简谐振动(1)简谐振动简谐振动 一物理量随时间的变化规律遵从一物理量随时间的变化规律遵从余弦函数余弦函数关系，则称关系，则称该物理量作简谐振动，简称为谐振动。该物理量作简谐振动，简称为

5、谐振动。 其数学表达式为：其数学表达式为：7(3)描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量T 22 相位相位 ( t + )称为振动的相位，是称为振动的相位，是 t 时刻的；时刻的； 是是t =0时刻时刻的相位，即初相位。的相位，即初相位。A、 、 称为简谐振动的三要素。称为简谐振动的三要素。 x(t)=Acos( t+ )振幅振幅A 振动量最大值的绝对值。振动量最大值的绝对值。频率频率v(周期周期T)或圆频率或圆频率(又称为角频率又称为角频率) 2 T 2 8(4)相位差相位差 x1(t)=A1cos( t+ 1)， x2(t)=A2cos( t+ 2) =( t+ 2)-( t+ 1)=

6、2- 1同相同相 当当 = 2k , ( k =0,1,2,),两振动步调相同。两振动步调相同。x1x2x1A2A2A-1A-OTt1x2x9反相反相 当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 步调相反。步调相反。x1x2x1A2A2A-1A-OTt1x2x10超前和落后超前和落后 若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称 x2 比比 x1 超前超前(x1比比x2 落后落后)。超前、落后以。超前、落后以 0 v 0v 0a 0 a 0a 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A va)2cos( tAv14三、简谐振动的运动

7、学及动力学特征三、简谐振动的运动学及动力学特征1.运动学特征运动学特征xtAtxa2222)cos(dd 质点的加速度与其位移正比且反向。质点的加速度与其位移正比且反向。2.动力学特征动力学特征xmmaF2 质点所受的力与其位移正比且反向。即质点所质点所受的力与其位移正比且反向。即质点所受的力总是指向平衡位置的，故称为受的力总是指向平衡位置的，故称为回复力回复力。15四、简谐振动的微分方程四、简谐振动的微分方程xtxa222dd 由此式由此式可得：可得：0dd222 xtx 此式简谐振动的微分方程此式简谐振动的微分方程。是上述微分方程的解，称为是上述微分方程的解，称为简谐运动的运动方程简谐运动

8、的运动方程，简称，简称为简谐运动方程。为简谐运动方程。x(t)=Acos( t+ )16五、弹簧振子五、弹簧振子1.谐振子谐振子(1)谐振子谐振子 做简谐振动的物体做简谐振动的物体, 称为简谐振子称为简谐振子, 简称为谐振子。简称为谐振子。(2)谐振系统谐振系统 谐振子和对其施加恢复力的物体组成的系统称为谐振谐振子和对其施加恢复力的物体组成的系统称为谐振系统。系统。(3)弹簧谐振子弹簧谐振子 由质量可以忽略的弹簧和一个刚体组成的振动系统称由质量可以忽略的弹簧和一个刚体组成的振动系统称为弹簧振子。为弹簧振子。17182.水平放置的弹簧振子水平放置的弹簧振子xxomv0 F0 xF0 vAx ox

9、0 F0 xmvoAx F0 vo-kxF xAA-xa2 ma0 a0 ama19(1) 受力特点受力特点(3)固有固有(圆圆)频率和周期频率和周期kxF txmmaF 及及由由22ddmk kmT 22 0dd222 xtx mk (4)位移表达式位移表达式F= -kx(2) 动力学方程动力学方程x(t)=Acos( t+ )0dd22 xmktx20(5)利用初始条件，求利用初始条件，求A、 已知在已知在t=0时时，角频率为，角频率为 ，初位移为初位移为x0，初速度为，初速度为v0。 sin,cos00A Ax v 0022020arctan,x xA vv此关系式可以作为公式使用，很重

10、要。根据已知的初始条此关系式可以作为公式使用，很重要。根据已知的初始条件件( 、x0、v0)，可通过此关系式求出运动方程。，可通过此关系式求出运动方程。219-2 旋转矢量法旋转矢量法一、简谐振动的描述方法一、简谐振动的描述方法1. 解析法解析法已知表达式已知表达式A、T、 ；或已知；或已知A、T、 表达式。表达式。由由 x=Acos( t+ )2. 曲线法曲线法oxmx0 = 0oA-Atx = /2T 已知曲线已知曲线 A、T、 ； 已知已知 A、T、 曲线。曲线。3.指数法指数法 tiAex22二、旋转矢量法二、旋转矢量法A 1.以质点的平衡位置以质点的平衡位置O为坐标原点，振动所在直线

11、为为坐标原点，振动所在直线为 x 轴，轴，建立极坐标系。建立极坐标系。3.令该矢量逆时针匀令该矢量逆时针匀速转动，角速度等于速转动，角速度等于质点振动的圆频率质点振动的圆频率 t txx = A cos( t + ) OAAx2.由原点由原点O向外画一个矢量向外画一个矢量 ，使其模等于质点的振幅，使其模等于质点的振幅A。当当t=0时，与时，与 x 轴的夹角为轴的夹角为 。A4.t 时刻该矢量时刻该矢量 向向 x 轴轴的投影就表示该时刻振的投影就表示该时刻振动质点的位移。动质点的位移。A23振动圆频率：振动圆频率： 振振 幅：幅：振动初相位：振动初相位： t 时刻相位：时刻相位： tx = A

12、cos( t + ) t 时刻位移：时刻位移： t+ oxt = tAAx5.旋转矢量法的用途旋转矢量法的用途(1)形象描述一维简谐运动位移随时间的变化规律。形象描述一维简谐运动位移随时间的变化规律。(2)可以用旋转矢量法确定初相位、角速度、振幅。可以用旋转矢量法确定初相位、角速度、振幅。(3)判断两个振动的相位关系。判断两个振动的相位关系。(4)进行振动的合成。进行振动的合成。A246.旋转矢量法描述一维简谐运动位移和时间的对应关系旋转矢量法描述一维简谐运动位移和时间的对应关系257.旋转矢量法描述相位差旋转矢量法描述相位差(1)对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们之间步对于两个同频率的

13、简谐运动，相位差表示它们之间步调上的差异调上的差异。 x1(t)=A1cos( t+ 1)， x2(t)=A2cos( t+ 2) =( t+ 2)-( t+ 1)= 2- 1 , , 同同步步，0221 xto2x1x2A1Axo1A2A 2126 , , ,反反相相， 210 xo1A2A xto2x1x2A1A ,xx , ,)(2201221落落后后或或超超前前， xto2x1x2A1Axo1A2A 27(2)对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间所需的时间。1212)()(tttt 12ttt)cos(11 tAx)co

14、s(22 tAxxtoba2AA3 - 3 TTt6123 xoat bt0t 28例例 一质量为一质量为0.01kg的物体作简谐运动的物体作简谐运动, 其振幅为其振幅为0.08m, 周周期为期为4s, 起始时刻物体在起始时刻物体在x=0.04m处处, 向向ox轴负方向运动轴负方向运动(如如图图)。试求。试求: (1) t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力；( 2)由起始位置运动到由起始位置运动到x= -0.04 m处所需要的最短时间处所需要的最短时间。o08. 0 04. 0 04. 008. 0m/xvs4m, 08. 0kg,01. 0 TA m 已知

15、已知:0m, 04. 0, 00 vxt求求: min2;,s, 0 .11t Fxt 29m04.00 xt，代入简谐运动方程：代入简谐运动方程：)02cos(08.004.0 3 解解: (1)求简谐运动方程，设简谐运动方程的形式为：求简谐运动方程，设简谐运动方程的形式为：1s22 T m08. 0 A o08.004.004.008.0/mxA 300 v3 )cos( tAx)32cos(08.0 tx30s0 .1 t代入代入m069. 0 x)32cos(08.0 tx得得xmkxF2 N 1070. 1069. 0201. 032 - o08. 004. 004. 008. 0m

16、/xvFxa2 xmmaF2 31(2)由起始位置运动到由起始位置运动到x = -0.04 m处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。o08. 004. 004. 008. 0m/x23)21arccos( ts 667. 0322332 -)32cos(08. 0 tx)32cos(08. 004. 0 t323 ts 667. 032 t1srad2 o08. 004. 004. 008. 0m/x3起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3339-3 单摆和复摆单摆和复摆一、单摆一、单摆(数学摆数学摆)1.单摆单摆 质量为质量为m的质点悬的质点悬挂在上端固定于挂在上端固定于O点的长点的长为为l的细

17、绳的下端的细绳的下端, 绳质绳质量不计且不可伸长。把量不计且不可伸长。把重物略加移动后就可在重物略加移动后就可在竖直平面内来回摆动，竖直平面内来回摆动，这种装置称为这种装置称为单摆单摆。 cosmg sinmgmgTlOCBB 0 a0 a34 sinmgmgTlOCBB 0 a0 a2.单摆摆动周期的计算单摆摆动周期的计算(1)由牛顿定律计算由牛顿定律计算在平衡位置右方为正。在平衡位置右方为正。22ddsintmlmamg 代代入入上上式式可可得得：很很小小时时，当当,sin lgt 22dd t0dd222 0dd22 lgtlg 2 t glTmcos,22 lg , 35 mgTlOC

18、BB (2)根据转动定律计算根据转动定律计算重力重力mg和张力和张力T对质点的合力矩为：对质点的合力矩为： M=-mglsin 由转动定律：由转动定律：22ddddtJtJJM 22222ddddsintmltJmgl 0sindd22 lgt0dd22 lgt tglTlgmcos ,22 ,36(3)结果分析结果分析 物体所受的恢复力是重力的切向分力。在物体所受的恢复力是重力的切向分力。在 很小时，很小时，此力与角位移此力与角位移 成正比成正比，方向指向平衡位置，是一种准弹，方向指向平衡位置，是一种准弹性力。性力。 单摆的周期完全取决于重力加速度单摆的周期完全取决于重力加速度g和摆长和摆长

19、l，而与，而与摆球的质量无关。摆球的质量无关。在小摆角的情况下，单摆的周期又与在小摆角的情况下，单摆的周期又与振幅无关，所以单摆可用作振幅无关，所以单摆可用作计时计时。同时还可以用来。同时还可以用来测量测量重力加速度重力加速度g。glT 2 373.大摆角时单摆周期的计算大摆角时单摆周期的计算 mmglT 21sin64921sin411242 由于式中含有的由于式中含有的 m的各项逐项变得越来越小，因的各项逐项变得越来越小，因此，只要取足够的项数就可以将周期计算到所要求的任此，只要取足够的项数就可以将周期计算到所要求的任何精度。例如：何精度。例如： m=15时，实际周期比时，实际周期比 m很

20、小时的周很小时的周期相差不超过期相差不超过0.5%。38二、复摆二、复摆(物理摆物理摆)1.复摆复摆 质量为质量为m的任意形状的物体的任意形状的物体(可视为刚体可视为刚体)，悬挂于不，悬挂于不通过重心通过重心C的水平轴的水平轴ZZ，在重力作用下，物体绕其平衡，在重力作用下，物体绕其平衡位置来回摆动，这样的系统称为复摆位置来回摆动，这样的系统称为复摆(或称为物理摆或称为物理摆)。 ZZ CmgO l2.复摆摆动周期的计算复摆摆动周期的计算(1)根据转动定律计算根据转动定律计算 重力重力mg对对O轴的力矩为：轴的力矩为： Mz=mglsin 根据转动根据转动定律可得定律可得:22ddsintJlm

21、g 39当复摆小角度摆动时：当复摆小角度摆动时：Jl gm 0dd22 Jl gmt sin22ddsintJlmg (2)结果分析结果分析 对于给定的单摆或复摆，它们的对于给定的单摆或复摆，它们的l、m、g、J都是确都是确定的，因此在定的，因此在 很小时，它们的很小时，它们的周期和频率都是确定的，周期和频率都是确定的，与初始条件无关，这一性质称为等时性。与初始条件无关，这一性质称为等时性。在小摆角的情在小摆角的情况下，它们不仅可以用来况下，它们不仅可以用来计时计时。同时还可以用来。同时还可以用来测量测量重重力加速度力加速度 g 和物体绕定轴转动时的和物体绕定轴转动时的转动惯量转动惯量J。 单

22、单摆摆lg 409-4 谐振运动的能量谐振运动的能量(以水平弹簧谐振子为例以水平弹簧谐振子为例)1.简谐振动系统的能量分布简谐振动系统的能量分布(1)动能动能)(sin21212222 tAmmEkv tkAtAmkm2222sin21sin21mk 0,21min2max kkEkAE动能变化范围：动能变化范围：2411kAdtETETttkk 平均动能：平均动能：41(2)势能势能)(cos2121222 tkAkxEp0,21min2max ppEkAE势能变化范围：势能变化范围：2411kAdtETETttpp 平均势能：平均势能：(3) 机械能机械能2222121AmkAEEEpk

23、2.简谐振动系统能量分布的特点简谐振动系统能量分布的特点(1)动能和势能随时间作周期性变化，总的机械能守恒。动能和势能随时间作周期性变化，总的机械能守恒。(2)总能量和振幅的平方成正比，这一结论对于任一谐振总能量和振幅的平方成正比，这一结论对于任一谐振系统都是正确的。系统都是正确的。(3)动能和势能的频率是谐振子频率的二倍。动能和势能的频率是谐振子频率的二倍。mk 42EEpEkEtOxtAx cos tO tkAEk22sin21)(cos2122 tkAEp4T2T43TT45Ttv43简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线kEpExAApExOEBC443.由能量守恒推导简谐运动的运动方程由能

24、量守恒推导简谐运动的运动方程常量常量 222121kxmEEEpkv对时间求导对时间求导:02121dddd22 kxmttEv0dddd txkxtmvv22dddd ,ddtxt tx vv0dd222 xtx 0dd22 xmktx45例例 质量为质量为0.10kg的物体的物体, 以振幅以振幅1.010-2m作简谐运动作简谐运动, 其其最大加速度为最大加速度为4.0ms-2, 求求:(1)振动的周期振动的周期; (2)通过平衡位通过平衡位置的动能置的动能; (3)总能量总能量; (4)物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？Aamax s 314. 02 T1s 20 J

25、100.23 (2)222maxmax,2121AmmEk v解解:(1)2max Aa tatAamcos)cos(2 2cos)2cos( ttAmvv46（4）时时pkEE J 100 . 13 Ep 由由2222121xmkxEp 222 mExp 24m 105 . 0 cm707. 0 x （3）max,sumkEE J 100 . 23 479-5 简谐运动的合成简谐运动的合成一一. 同方向同频率的简谐运动的合成同方向同频率的简谐运动的合成1.分振动分振动 x1=A1cos( t+ 1)， x2=A2cos( t+ 2)2.合振动合振动x = x1+ x2=A1cos( t+ 1

26、)+A2cos( t+ 2)两个同方向同频率的简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动的合成振动仍是简谐振动振动仍是简谐振动。481A2AA 1 2 o10 x20 x0 x20 xx 0 t1A2AAo1x2xx2xx tt 2 t1 t t491A2AA 1 2 o10 x20 x0 x20 xx 0 t 1221222121212222122121212222122122211222112cos2sinsin2sinsincoscos2coscossinsincoscos -AAAA AA AA AA AA AA AAA 12212221cos2 -AAAAA A1cos 1+A2cos

27、 2=Acos A1sin 1+A2sin 2=Asin 50(1)位移位移两个同方向同频率的简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动的合成振动仍是简谐振动振动仍是简谐振动。)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA (3)振幅和相位振幅和相位(2)频率频率合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 。x =A cos( t+ )513.两种特殊情况两种特殊情况(1)若两分量振动同相若两分量振动同相 2 1= 2k (k=0,1,2,)Ox 1 2t)cos(212212221 AAAAA则则A=A1+A2 , 两分振动相互加强

28、。两分振动相互加强。52(2)若两分振动反相若两分振动反相 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱，两分振动相互减弱，如如 A1=A2 , 则则 A=0。2112,)12(AAA k Ox 1 2t53二、垂直方向同频率简谐振动的合成二、垂直方向同频率简谐振动的合成1.分振动分振动 x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2)2. 合运动合运动)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx(1)合运动一般是在合运动一般是在2A1(x向向)、2A2(y向向)范围内的椭圆。范围内的椭圆。 (2)椭圆的性质椭圆的性质(

29、方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋) 在在A1 、A2确定之后确定之后, 主要决定于主要决定于 = 2- 1 。5455 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .5657三、同方向不同频率的简谐振动的合成三、同方向不同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动 两个分振动的振幅和初相相等。两个分振动的振幅和初相相等。 x1=Acos 1t x2=Acos 2t2. 合振动合振动(1)合振动位移表达式合振动位移表达式 x = x1+ x2ttAx)2cos()2cos(21212 合振动不是简谐振动。合振动不是简谐振动。58(2)特殊情况下的

30、合振动特殊情况下的合振动 当角频率非常接近，且当角频率非常接近，且 2 1时时, 2- 1 2。ttAx cos)( tAtA)2cos(2)(12 随随 t 缓变；缓变；)2cos(cos12tt 随随 t 快变；快变；合振动可看作振幅缓变的简谐振动。合振动可看作振幅缓变的简谐振动。21122 59601xot21xxx ot2xots1Hz,1 T s2Hz,0.5 T s81Hz811 T , s91Hz922 T , 613.拍拍(1)A(t)变化的频率变化的频率 A(t)的变化是周期性的，振动出现时强时弱的现象，的变化是周期性的，振动出现时强时弱的现象，这种现象称为拍。这种现象称为拍

31、。 221212 tAtA)2cos(2)(12 1212212221 ttAx)2cos()2cos(21212 122 T62(2)合振幅变化的频率合振幅变化的频率 122v- 拍频拍频单位时间内振幅强度强弱变化的次数单位时间内振幅强度强弱变化的次数。 振动的强度与振幅的平方成正比，所以强度变化的频振动的强度与振幅的平方成正比，所以强度变化的频率是率是A(t)变化频率的二倍。如图所示，假设变化频率的二倍。如图所示，假设12, 5 . 0, 8, 912 tAtA)2cos(2)(12 振幅的变化是周期性的，相应的频率振幅的变化是周期性的，相应的频率(称为拍频称为拍频)为：为：121 Ts22 TT634.旋转矢量法求拍频旋转矢量法求拍频 1212 的的旋旋转转角角速速度度为为相相对对于于 AA的的时时间间隔隔拍拍频频。次次振振动动最最强强之之间间相相遇遇的的时时间间间间隔隔即即为为两两前前后后与与12AA121212