工业机器人第四章

1、第四章第四章 操作机器人雅克比矩阵操作机器人雅克比矩阵机器人控制需要解决的问题：机器人控制需要解决的问题：1. 位移关系：末端位姿位移关系：末端位姿 关节变量关节变量2. 速度关系：末端速度速度关系：末端速度 关节速度关节速度3. 多轴协调：多轴协调：4. 控制器软、硬件设计：控制器软、硬件设计： 本章重点：本章重点：建立速度关系！建立速度关系！ 讨论雅可比矩阵功用！讨论雅可比矩阵功用！4.14.1 Jacobian一一. 速度关系式速度关系式1. 线速度线速度设末端执行器坐标系原点位置矢量为：设末端执行器坐标系原点位置矢量为：zyxpppP则其线速度为：则其线速度为：zyxpppPV),.,

2、(21nqqqfP iniiqqfPV1 机器人的机器人的线速度与各关节速度及机器人结构、位姿有关系！线速度与各关节速度及机器人结构、位姿有关系！机器人线速度不好求！要进行速度反解更不容易？（需先求得广机器人线速度不好求！要进行速度反解更不容易？（需先求得广义位移，然后求导；速度反解时还要求逆：逆存在？与位姿有关！）义位移，然后求导；速度反解时还要求逆：逆存在？与位姿有关！）2. 角速度角速度运动学基本方程中不明含角位移量，因此不能直接求得机器人的角运动学基本方程中不明含角位移量，因此不能直接求得机器人的角速度！速度！角速度求法：角速度求法： 先求出等效的三个角度（哪三个？）先求出等效的三个角

3、度（哪三个？）,然后进一步求得角速度！然后进一步求得角速度！角速度物理含义？（角速度物理含义？（后面结合后面结合J矩阵会给出一种常用表示方法矩阵会给出一种常用表示方法）速度关系式比运动学基本方程复杂的多！速度关系式比运动学基本方程复杂的多！ 速度反解绝非易事！速度反解绝非易事！另找到一种较简单的速度反解方法？另找到一种较简单的速度反解方法？二二. Jacobian1. 机器人的工作空间又称为。机器人的工作空间又称为。2. 由机器人的各个关节变量构成的空间，称为。由机器人的各个关节变量构成的空间，称为。 运动学正反解、速度正反解都是要解决这两个空间的关系问题！运动学正反解、速度正反解都是要解决这

4、两个空间的关系问题！3. TzyxpppP Tzyx（绕机座坐标系三根轴的旋转角度）（绕机座坐标系三根轴的旋转角度）线位移、角位移合称线位移、角位移合称TzyxzyxpppPW 4. vPWV5. QQJWVqqqQQWPWTn)()(21 . )(QJ：雅克比矩阵（：雅克比矩阵（Jacobian） Jacobian 为为操作速度与关节速度间的线性变换矩阵！操作速度与关节速度间的线性变换矩阵！ 速度关系关键：速度关系关键： 求得求得 和和 J1J6. 求法求法（1）法（？）：法（？）：物理概念明确，优点较突出，主讲。物理概念明确，优点较突出，主讲。（2）矢量积法：几何法，求解过程较简洁，但要求

5、高些。）矢量积法：几何法，求解过程较简洁，但要求高些。4.24.2 微分运动微分运动一一. 1. 沿某一坐标系沿某一坐标系3根轴的微量移动，称为根轴的微量移动，称为Tzyxdddd2. 绕某一坐标系绕某一坐标系3根轴的微量转动，称为根轴的微量转动，称为Tzyx统统称称：（1 1）建立微分运动关系式（）建立微分运动关系式（J J矩阵基础）；（矩阵基础）；（2 2）遥操作简介）遥操作简介二二. 微分运动特点微分运动特点先看先看4个基本变换矩阵（与宏运动个基本变换矩阵（与宏运动4个基本变换矩阵对应）个基本变换矩阵对应）10),(33zyxzyxdddIdddTrans1. 2. 10000001),

6、(xxxxxcsscxRot1001010001xx3. 1001001001),(yyyyRot4. 1001000101),(zzzzRot4 4个基本变换矩阵主对角线元素均为个基本变换矩阵主对角线元素均为1 1； 3 3个旋转矩阵均为个旋转矩阵均为“反对称矩阵反对称矩阵”； 可由微分运动量所在位置确定微分运动类型可由微分运动量所在位置确定微分运动类型 运动学反解很容易！运动学反解很容易！5. 微分运动特点分析微分运动特点分析 在宏运动中，运动变换的相乘顺序不能随意颠倒！微分运动呢？在宏运动中，运动变换的相乘顺序不能随意颠倒！微分运动呢？),(),(),(),(?xyyxxRotyRoty

7、RotxRot100110011001101),(),(xyxyxyxyxyyxyRotxRot100110011001101),(),(xyxyxyxyyxxyxRotyRot),(),(),(),(xyyxxRotyRotyRotxRot比较两个结果，有：比较两个结果，有：特点特点1：微分运动结果与运动顺序无关！（可交换性）（微分运动结果与运动顺序无关！（可交换性）（不必再注意运动顺序了！）特点特点2：微分转动相乘结果等于矩阵微分转动相乘结果等于矩阵！（可加性）（！（可加性）（运算难度大为降低）特点特点3：反解运算很容易了！反解运算很容易了！ （根据结果可以很快知道都做了什么微分运动，且微

8、分运动量为多少）进一步分析其他情况，可以得出如下结论：进一步分析其他情况，可以得出如下结论：特点特点4：连续微分运动的结果等于各个轴微分运动量之和的微分运动！连续微分运动的结果等于各个轴微分运动量之和的微分运动！（运动累计性）（运动累计性）关于特点关于特点4，可以验证如下：，可以验证如下：设第一次微分运动量为：设第一次微分运动量为：Tzyxzyxddd第二次微分运动量为：第二次微分运动量为：Tzyxzyxddd则有：则有：),(Rot)()()()()()(),(Rot),(Rotzzyyxxxxyyxxzzyyzzzyxzyx100111注意！注意！上述结论都是在微分运动条件下得到的，否则会

9、有较大误差！上述结论都是在微分运动条件下得到的，否则会有较大误差！ 由于已知是近似计算，由于已知是近似计算，“”常常直接改写成常常直接改写成“”。应用：应用：遥操作机器人（如排险机器人）。每次运动量很小。反解简单，控遥操作机器人（如排险机器人）。每次运动量很小。反解简单，控制系统也简单，便于设计和操作。制系统也简单，便于设计和操作。图图4-1 中科院沈阳自动化研究所的排爆机器人中科院沈阳自动化研究所的排爆机器人图图4-2小型安德小型安德鲁斯鲁斯II机器人机器人三三. 微分微分1. 为机器人末端执行器相对于机座坐标系的微分运动量；为机器人末端执行器相对于机座坐标系的微分运动量；Tzyxzyxdd

10、d设：设： 为微分运动前机器人的齐次变换矩阵为微分运动前机器人的齐次变换矩阵TT 为微分运动后机器人的齐次变换矩阵为微分运动后机器人的齐次变换矩阵dT 为微分运动前后齐次变换矩阵的变化量为微分运动前后齐次变换矩阵的变化量若令：若令：TdT? 由于是左乘，故称由于是左乘，故称 为为解：解：由已知条件，得：由已知条件，得：dTTTTdTTITTT44另一方面，根据第二章坐标系变换理论，有：另一方面，根据第二章坐标系变换理论，有：TdddT),(Rot)d,d,d(TransTzyxxyxzyzzyxzyx10111则：则：00000),(),(zyxxyxzyzzyxzyxdddIRotdddTr

11、ans虽然还是虽然还是4X4矩阵，但右矩阵，但右下角元素不是下角元素不是1了，不再是了，不再是齐次变换矩阵，故改称齐次变换矩阵，故改称转转换换矩阵（矩阵（构成构成？）？）习题：习题：10025010001100T试求绕试求绕X轴旋转轴旋转0.1rad，再微移，再微移 后的位姿。后的位姿。T5 . 0, 0, 1107 . 026011 . 001 . 01100T请再计算一次准确值，以看一下误差请再计算一次准确值，以看一下误差为多小！为多小！微分运动法只能得到近似计算结果！微分运动法只能得到近似计算结果！ 基于微分运动理论的机器人，其运动不是精细的，一般需再加装视基于微分运动理论的机器人，其运

12、动不是精细的，一般需再加装视觉系统以消除运动误差！觉系统以消除运动误差！2. 在上面第在上面第1小节中的微分运动量是在机座坐标系中测量的；有时候为小节中的微分运动量是在机座坐标系中测量的；有时候为了测量方便，需要在靠近末端执行器的附近进行测量，例如反恐排了测量方便，需要在靠近末端执行器的附近进行测量，例如反恐排爆机器人常在末杆上安装一个摄像机，这就遇到相对微分转换问题。爆机器人常在末杆上安装一个摄像机，这就遇到相对微分转换问题。图图4-3 中科院沈阳自动化研究所的排爆机器人中科院沈阳自动化研究所的排爆机器人设：设：在机座坐标系中得到的微在机座坐标系中得到的微分运动量为：分运动量为：Td其对应的

13、绝对微分转换为其对应的绝对微分转换为在末杆标架中测到的微分在末杆标架中测到的微分运动量为：运动量为：TTTd其对应的相对微分转换为其对应的相对微分转换为T现推导绝对微分转换与相对微分转换间的关系：现推导绝对微分转换与相对微分转换间的关系：TTdTTTTT1设：设：10paonT（推广（推广?!）将其代入上式，计算得：将其代入上式，计算得：00000zTyTxTxTyTxTzTyTzTTddd（计算（计算JacobianJacobian的基础公式的基础公式！)aondpaddpoddpndzTyTxTzTyTxT绝对微分运动与相对微分绝对微分运动与相对微分运动间的相互关系？运动间的相互关系？写成

14、矩阵形式：写成矩阵形式：zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzTyTxTzTyTxTdddaaaooonnnapapapopopopnpnpnpaaaooonnnddd 000000000 这是计算这是计算 Jacobian 时经常用到的公式！（点一下）时经常用到的公式！（点一下）简写成：简写成：dRopsRRdTTTTT)(000)(xyxzyzppppppps式中：式中：相应地，广义速度关系式为：相应地，广义速度关系式为：vvTTTTTRopsRR)(3. 一般情况下，无法在一般情况下，无法在 位置安装视觉传感器，而只能安装在末杆位置安装视觉传感器，而只能安装

15、在末杆其它部位（图其它部位（图4-2）或者其它杆件上，如何处理？）或者其它杆件上，如何处理？ n图图42 中科院沈阳自动化研究所的中科院沈阳自动化研究所的排爆机器人排爆机器人 n图图4-3 摄像机任意安摄像机任意安装情况装情况如图如图43所示，摄像机安装在末杆上其所示，摄像机安装在末杆上其它部位，其相对于末杆的位姿为：它部位，其相对于末杆的位姿为：CAMn假设在摄像机中测得的微分运动为：假设在摄像机中测得的微分运动为：TCAMCAMCAMd试求在末杆标架中的微分运动量和在机座标架试求在末杆标架中的微分运动量和在机座标架中的微分运动量？（中的微分运动量？（学生做学生做）解：解：则根据相对运动基础

16、公式，得：则根据相对运动基础公式，得：11TCAMCAMCAMnnnCAMnTTCAMCAM 末杆标架相对于摄像机的位姿为：末杆标架相对于摄像机的位姿为：1 CAMTnCAMn如果摄像机安装在如果摄像机安装在其它杆件上呢？其它杆件上呢？4.34.3 Jacobian构造法构造法一一. Jacobian计算法计算法图图44所示所示2杆机器人，其手爪位置为：杆机器人，其手爪位置为：xyo1l2l21图图44 2杆机器人杆机器人)()(2121121211slslyclclx对其求微分，得：对其求微分，得：22121212112212121211)()()()(dcldclcldydsldslsld

17、x写成矩阵形式，得：写成矩阵形式，得：212122121121221211)()()()(ddclclclslslsldydxJ)()()()(2122121121221211clclclslslslJ J J 是变量，与是变量，与D-HD-H参数有关，并随位姿变化而变化；参数有关，并随位姿变化而变化； 多自由度机器人用求导法求得多自由度机器人用求导法求得JacobianJacobian 很不方便！很不方便！二二. Jacobian构造法构造法1.构造原理构造原理现分析速度方程式：现分析速度方程式：TnqqqQVQQJV.)(21v为了便于分析，改写成如下形式：为了便于分析，改写成如下形式：n

18、anaalnllqqqJJJJJJ212121.vJacobian每一列物理含义？（分析一下！）每一列物理含义？（分析一下！）Jacobian第第i 列为第列为第i 个关节速度对操作速度的贡献量个关节速度对操作速度的贡献量！ Jacobian每一列仅与对应的关节速度有关每一列仅与对应的关节速度有关！与其他关节速度无关！与其他关节速度无关！Jacobian构造法：构造法：依次构造出依次构造出Jacobian每一列，所有列合起来构成每一列，所有列合起来构成Jacobian；在构造时，假设只有相关关节运动，其余关节保持不动！在构造时，假设只有相关关节运动，其余关节保持不动！2.微分运动法构造微分运动

19、法构造J矩阵矩阵基本思想：基本思想：因因QJv两端同乘以两端同乘以dt，得：，得：dQJd 求求J时，计算每个关节速度的贡献量，亦即计算每个关节微分运动时，计算每个关节速度的贡献量，亦即计算每个关节微分运动的贡献量！的贡献量！下面推导下面推导 J 的的第第 i 列。列。（1）当关节）当关节 i 为回转关节时为回转关节时若若 i 杆杆相对于相对于i-1 杆微分转动杆微分转动 ，有：，有：idqiiidq,d100 000根据根据4.24.2得到的微分转换公式，得：得到的微分转换公式，得：izzzzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzTyTxTzTyTxTdqapop

20、npdddaaaooonnnapapapopopopnpnpnpaaaooonnnddd000 0 0 00 0 00 0 0（2）当关节）当关节 i 为棱柱关节时为棱柱关节时000 100iii,dqdizzzzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzTyTxTzTyTxTdqaondddaaaooonnnapapapopopopnpnpnpaaaooonnnddd000 0 0 00 0 00 0 0则，则，Jacobian第第 i 列为：列为：000zzzaiTliTaonJJ000)()()(zzzaiTliTapopnpJJ（当（当 i 为回转关节时）为回转

21、关节时）（当（当 i 为棱柱关节时）为棱柱关节时）式中式中 为为 的的4个列向量：个列向量：paon ,Tin10.21paonAAATniiin 与与 的关系如下：的关系如下：JTJJRRJTnTnT0000JRRJTnn0000 为为 的姿态矩阵的姿态矩阵Rn0Tn0 在计算在计算Jacobian时，先求出时，先求出 ，再得到，再得到JTJ3.矢量积法（矢量积法（Whitney法，图法，图45）（1）当关节）当关节 i 为棱柱关节时为棱柱关节时iviqiZ0pin图图45i 关节移动，从关节移动，从i 杆杆到到 末端执行器末端执行器部分整体平动，有：部分整体平动，有：100 0v110ii

22、iiiiiiiz,zTz,qz 操作速度是相对于机座标架的！操作速度是相对于机座标架的！因此：因此：0iailizJJ（2）当关节）当关节 i 为回转关节时为回转关节时iioiniiqzpzv则：则：iiniiiiniailiz)pT(zzpzJJ 00?pin 矢量积法是直接计算矢量积法是直接计算Jacobian !4.44.4 力雅克比矩阵力雅克比矩阵一一. ：zyxzyxmmmmffffmfF ,二二. ：T654321三三. ：假设：假设： （1）机器人处于重力自平衡状态；）机器人处于重力自平衡状态； （2）机器人受到外力作用后仍然处于平衡状态。）机器人受到外力作用后仍然处于平衡状态。

23、根据虚功原理，得：根据虚功原理，得：各关节虚功之和为：各关节虚功之和为：dQWT操作力虚功之和为：操作力虚功之和为：dFWTFdFdQTTdQJdFJT力雅克比矩阵力雅克比矩阵力雅克比矩阵与速度雅克比矩阵在数学上呈转置关系！力雅克比矩阵与速度雅克比矩阵在数学上呈转置关系！ 用途：用途：机器人关节电机参数估算！机器人关节电机参数估算！4.54.5 逆雅克比矩阵逆雅克比矩阵1J一一. 逆雅克比矩阵逆雅克比矩阵速度方程为：速度方程为：QJV如果已知操作速度，且如果已知操作速度，且J 满秩，则有：满秩，则有：VJQ11J 称为逆雅克比矩阵。称为逆雅克比矩阵。二二. 逆雅克比矩阵求法逆雅克比矩阵求法nQ

24、JJ6)(（1）J 为为6x6矩阵时，若满秩，则其逆存在，可按照数学公式求出；矩阵时，若满秩，则其逆存在，可按照数学公式求出；（2） J 不是方阵不是方阵（n6或者或者n6)，但满秩，其逆存在，称为但满秩，其逆存在，称为（详见有关文献）；（详见有关文献）；（3） J 为方阵，但不满秩；其逆不存在。为方阵，但不满秩；其逆不存在。 逆雅克比矩阵不存在，意味着什么逆雅克比矩阵不存在，意味着什么？三三. 奇异构型（奇异构型（Singularity）QJV 如果如果 J 为降秩矩阵，由线性代数可知，为降秩矩阵，由线性代数可知，意味着机器人无法在某个（些）意味着机器人无法在某个（些）操作方向上实现要求的运

25、动！操作方向上实现要求的运动！分析：分析：当当Jacobian为降秩矩阵时，其逆矩阵不存在，称此时的机器人形状为降秩矩阵时，其逆矩阵不存在，称此时的机器人形状为为 奇异构型时，机器人将在某个（些）方向上丧失运动能力！奇异构型时，机器人将在某个（些）方向上丧失运动能力！四四. 奇异性特点奇异性特点在奇异构型附近，虽然逆雅克比存在，但由于是病态矩阵，在奇异构型附近，虽然逆雅克比存在，但由于是病态矩阵，反求出的关反求出的关节速度也将很大。节速度也将很大。由于灵巧性不高，也应避开！由于灵巧性不高，也应避开！ 对闭环控制机器人来说：由于电机电压正比于转速，当速度很高时，对闭环控制机器人来说：由于电机电压

26、正比于转速，当速度很高时，其电压也很高，其电压也很高，很可能因过压而造成控制系统瘫痪很可能因过压而造成控制系统瘫痪！因此必须对奇异因此必须对奇异性加以研究！性加以研究！要通过灵巧性研究，确定机器人良好工作区域！（避开奇异位姿及附要通过灵巧性研究，确定机器人良好工作区域！（避开奇异位姿及附近区域）近区域）五五. 示例示例如 图如 图 4 6 所 示所 示 2 杆杆 3 自 由 度 机 器自 由 度 机 器人，人， ，试求：，试求：（1）奇异构型？）奇异构型？（2）机器人最灵活运动位姿？（）机器人最灵活运动位姿？（3）分）分析机器人沿着直角边析机器人沿着直角边ABOCD运动时的速运动时的速度（其中

27、度（其中A、B两点为机器人手臂完全伸两点为机器人手臂完全伸直时指尖所到达之点）；（直时指尖所到达之点）；（4）试求出）试求出lll211J解：（学生先做）解：（学生先做）（1）奇异构型：）奇异构型：前面已求得前面已求得Jacobian为：为：)()()()(2121121211lclclclslslsJ奇异构型存在充要条件为：奇异构型存在充要条件为：0Jxyo1l2l21图图46 2杆杆3DOF机器人机器人ABCD经计算，得：经计算，得：02s02或或2 奇异构型为：奇异构型为：杆杆2完全伸直或者折回！完全伸直或者折回！当当 时，时，无论三个关节速度多大，在径向方向上都无法运动无论三个关节速度多大，在径向方向上都无法运动！02123图图4-7 02 时，结论同上。时，结论同上。2123图图4-8 2 S1400机器人：机器人：145302灵活工作空间与良好工作空间？（第三章中整个圆面都是灵活空间！前者灵活工作空间与良好工作空间？（第三章中整个圆面都是灵活空间！前者注重注重“姿态能力姿态能力”，后者强调，后者强调“动作性能动作性能”。 一个都不能少！一个都不能少！） 解决奇异位姿方法解决奇异位姿方法（1）软件限位软件限位；（；（2）结构上加以限制结构上加以限制！（！（3）增加冗余活动度（例如人类手臂增加冗余活动度（例如人类手臂7个自由度）。个自由度）。（2）最灵巧操作位姿：