第四章 透镜位相调制和傅里叶变换性质

1、第四章第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质透镜的位相调制和傅里叶变换性质 透镜是最基本、最重要的光学元件。众所周知，它可透镜是最基本、最重要的光学元件。众所周知，它可以对物体进行成像，其实质是改变光波的波前。同时它还以对物体进行成像，其实质是改变光波的波前。同时它还能能对物体进行傅里叶变换对物体进行傅里叶变换。 41 透镜的位相调制作用透镜的位相调制作用 透镜一般由两个球面构成，当光线入射到不同的透镜一般由两个球面构成，当光线入射到不同的位置时，由于各点厚度不同，其位相延迟是不同的。位置时，由于各点厚度不同，其位相延迟是不同的。 设透镜各点的透明度是一致的，设透镜各点的透明度是一致的，光线通

2、过后对振幅的影响可以忽略，光线通过后对振幅的影响可以忽略，仅对仅对位相位相产生作用，其位相透过率产生作用，其位相透过率为为t(x,y)，则后表面的光场为，则后表面的光场为UiUif220220( , )exp()exp()2exp()2iaxyU x yjkfjkffxyUjkf其透过率为其透过率为220,( , )exp(),2iiUx yxyt x yUjkUx yf如图所示，单位振幅平行光垂直入射在透镜的前表面，光场为如图所示，单位振幅平行光垂直入射在透镜的前表面，光场为1),(yxUi220( , )exp()2iixyU x yUjkd透镜后表面的场是会聚于像点的场在后平面上的分布透

3、镜后表面的场是会聚于像点的场在后平面上的分布透镜的位相透过率为透镜的位相透过率为22000( , )11( , )exp()()( , )22iiiiU x yUt x yjkxyU x yUddSSdiUiUid0)2exp(),(0220dyxjkUyxUii再如图所示当焦距为再如图所示当焦距为f 的透镜对的透镜对点光源成像时，物点光源点光源成像时，物点光源S照射照射在透镜前表面的光场为在透镜前表面的光场为fddi1110)2exp(),(220fyxjkUyxt由于由于22( , )exp()2lxyt x yjkf对于凸透镜，对于凸透镜，f 0，对于凹透镜，对于凹透镜，f0。一般情况下

4、，透镜的位相调制作用为一般情况下，透镜的位相调制作用为如果透镜的孔径函数为如果透镜的孔径函数为P(x,y)22( , ),exp()2lxyt x yp x yjkf一、物在透镜之前（如图所示）一、物在透镜之前（如图所示）42 42 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 为了讨论方便，先不考虑透镜有限孔径的影响。为了讨论方便，先不考虑透镜有限孔径的影响。 根据几何光学符号规定，物距透镜的距离为根据几何光学符号规定，物距透镜的距离为-d1，照明光源，照明光源S距透镜的距距透镜的距离为离为-d0。S是一个点光源，它到物面的距离为是一个点光源，它到物面的距离为d1-d0。观察平面到透镜的。观察平

5、面到透镜的距离为距离为di Sx0 xxiy0yyiU0U0ULUL-d1-d0diUt(x0,y0)oo0oi点光源照在点光源照在x0y0平面前表面的光场分布为平面前表面的光场分布为 220000001010,exp2()axyUxyjkdddd2200000000000001010(,)(,)(,) (,)exp2()a t xyxyUxyUxy t xyjkddddx0y0平面后表面的光场分布为平面后表面的光场分布为从从U0 到到UL可以看着菲涅耳衍射可以看着菲涅耳衍射221000000011exp()()( , )(,)expd d()2()LjkdxxyyUx yUxyjkxyjdd

6、 22( , )( , )exp()2LLxyUx yUx yjkf22exp()()( ,)( , )expd d2iiiiiLiijkdxxyyU x yUx yjkx yj dd U(xi,yi)是是UL (x,y)的菲涅耳衍射的菲涅耳衍射2222000010111(,)exp()()2iiixyjkCt xyxydddd 220000111111()()2()2()d dd diiiiixxyyxyxyx yxyddfdddd2222012101exp()()( ,)exp()exp()()22iiiiiiiajk ddxxyyxyU x yjkjkddd dfd 2222000000

7、00101()()(,)expexpd dd d2()2()xyxxyyt xyjkjkxyx yddd 把以上各量代入，可以得到把以上各量代入，可以得到t(x0,y0) 与与U(xi,yi)的关系为的关系为fddi1110可以证明，可以证明，当观察平面是照明光源当观察平面是照明光源S的共轭平面时的共轭平面时，即，即22000000( ,)exp()(,)exp2 () d d2iiiiiixykU x yCjxyt xyjxyx y 22exp()2iikCjxy),(00yxtixxfiyyf有有 在照明光源的像平面上在照明光源的像平面上，是透镜的傅里叶变换平面，是透镜的傅里叶变换平面，即

8、物体的频谱面即物体的频谱面。2101020110)()()(1fddfdfdddddddiifdfddddddi010010)()(-d1ft(x0,y0)U(xi,yi)1 (1)1 ()(1 (12121010fdfffdffddddf221exp(1)()2iidkjxyffffdfdd0011)1 (fxfixfyfiy二次位相因子变为二次位相因子变为fxfixfyfiy221( ,)exp(1)()2iiiidkU x yCjxyff),(00yxt讨论：讨论： 1d0=时，di=f3 3 d0= -d1=0 di=fft(x0,y0)U(xi,yi)f1f22exp()2iikjx

9、yf二次位相因子变为二次位相因子变为fxfixfyfiy22( ,)exp()2iiiikU x yCjxyf),(00yxtfft(x0,y0)U(xi,yi)0fCyxUii),(),(00yxtfxfixfyfiy完全傅里叶变换。完全傅里叶变换。 2 d0= di=f d1=-f 如图，如图，照明光源为点光源照明光源为点光源S，它经过透镜后，成像，它经过透镜后，成像为一个会聚的点为一个会聚的点。ddit(x0,y0) U(xi,yi)S 在菲涅耳衍射中曾讲过，在菲涅耳衍射中曾讲过，当用会聚在（当用会聚在（X，Y）点）点的会聚光照明物体时，在的会聚光照明物体时，在会聚点所在的平面上，菲会聚

10、点所在的平面上，菲涅耳衍射是傅里叶变换。涅耳衍射是傅里叶变换。22222exp()( ,)exp()exp()22iiiixyajkdXYU x yjkjkj ddd),(00yxtdXxfixdYyfiy二、物体放在透镜之后二、物体放在透镜之后由于由于X=Y=022( ,)exp()2iiiixyU x yCjkd),(00yxtixxfdiyyfd结论：结论：照明光源的像平面是透镜的傅里叶变换平面。照明光源的像平面是透镜的傅里叶变换平面。物在透镜前：物在透镜前：平行光照明，平行光照明，fx=xi / f，对固定的空间频率对固定的空间频率fx，由于，由于f 给定，给定， xi= f fx ，

11、也是固定的。也是固定的。物在透镜后：物在透镜后： 对固定的空间频率对固定的空间频率fx， fx=xi / d， xi= fd，d 越大，越大， xi也越大。从而使得频谱分的更开，便于进行滤波处理。也越大。从而使得频谱分的更开，便于进行滤波处理。 以上讨论时并没有考虑透镜孔径的影响，实际上，透镜孔以上讨论时并没有考虑透镜孔径的影响，实际上，透镜孔径是有限的，设孔径函数为径是有限的，设孔径函数为P(x,y)，透镜透过率函数为，透镜透过率函数为三、透镜孔径对傅里叶变换的影响三、透镜孔径对傅里叶变换的影响22( , ),exp()2lxyt x yP x yjkf下面讨论振幅为下面讨论振幅为A平行光垂

12、直照射物体时的几种情况平行光垂直照射物体时的几种情况1.物体紧靠透镜放置物体紧靠透镜放置ft(x,y)U(xi,yi)透镜后表面的光场为透镜后表面的光场为22,( , ),exp()2lxyUx yAt x y P x yjkf焦平面（频谱面）上的光场为（菲涅耳衍射）焦平面（频谱面）上的光场为（菲涅耳衍射）fxfixfyfiy22( ,)exp()2iiiiAkU x yjxyjff( , ),t x y P x yfxfixfyfiy22exp(),2iiiiiixyxyAkjxyTPjffffff 当透镜孔径大于物体限度时，物体上的信息全部通当透镜孔径大于物体限度时，物体上的信息全部通过透

13、镜，孔径没有影响；当透镜孔径小于物体限度时，过透镜，孔径没有影响；当透镜孔径小于物体限度时，必须考虑孔径的影响，卷积的作用使得频谱面上的频谱必须考虑孔径的影响，卷积的作用使得频谱面上的频谱与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。2.物体放在透镜后方物体放在透镜后方会聚光在物体上投影的等效孔径函数为会聚光在物体上投影的等效孔径函数为ft(x0,y0)U(xi,yi)d00,ffP x yP xydd物体后表面的光场为物体后表面的光场为22000000000,exp,2AfkffUxyjxyP xyt xydddd 当物体限度小于投影孔径函数

14、时，物体上的信息全当物体限度小于投影孔径函数时，物体上的信息全部到达频谱面，投影孔径没有影响；当物体大于投影孔部到达频谱面，投影孔径没有影响；当物体大于投影孔径时，必须考虑投影孔径的影响，卷积的作用使得频谱径时，必须考虑投影孔径的影响，卷积的作用使得频谱面上的频谱与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失面上的频谱与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。真越严重。ixxfdiyyfd222( ,)exp()2iiiiAfkU x yjxyj dd0000(,),fft xyP xydd焦平面（频谱面）上的光场为（菲涅耳衍射）焦平面（频谱面）上的光场为（菲涅耳衍射）222exp(),2iii

15、iiixyxyAfkjxyTPj dddddd3.物体放置在透镜前方物体放置在透镜前方 从图中可以看出，光照到物体后，透过物体的光波可以分解成不同从图中可以看出，光照到物体后，透过物体的光波可以分解成不同方向的平行光，物上各点小于方向的平行光，物上各点小于 1角的平行光均能全部通过，而大于角的平行光均能全部通过，而大于 2角角的平行光均通不过。所以，全部通过的频谱对应小于的平行光均通不过。所以，全部通过的频谱对应小于 1，而全部截止的，而全部截止的频谱对应大于频谱对应大于 2；在；在 1到到 2之间的频谱只有部分通过。之间的频谱只有部分通过。 P133 透镜孔径是一个透镜孔径是一个滤波器滤波器

16、：低频成分可以通过；稍高频成分：低频成分可以通过；稍高频成分部分通过；高频成分完全滤除。因而透镜后焦面上得不到物体的准确频部分通过；高频成分完全滤除。因而透镜后焦面上得不到物体的准确频谱，给傅里叶变换带来误差。这种现象称为谱，给傅里叶变换带来误差。这种现象称为“渐晕效应渐晕效应”。透镜孔径越透镜孔径越大，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。但孔径越大，不满大，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。但孔径越大，不满足旁轴近似，所以，大孔径的变换透镜是专门设计的。足旁轴近似，所以，大孔径的变换透镜是专门设计的。d1t(x0,y0)U(xi,yi)fP(x,y)12例题例题1. P138 4.8题一个衍射屏的透过率函数如下题一个衍射屏的透过率函数如下 问这个衍射屏是否类似于透镜？焦距是多少？成像质量受什么影响？问这个衍射屏是否类似于透镜？焦距是多少？成像质量受什么影响？200011( )(cos)circ()22rt rarl例题例题2：一会聚光将透过率为：一会聚光将透过率为t(x0,y0)的物照明，球面波中心在光轴上，与物的物照明，球面波中心在光轴上，与物相距为相距为d0，紧贴物面放置焦距为，紧贴物面放置焦距为f 的凹透镜，要在凹透镜的右方某一平面的凹透镜，要在凹透镜的右方某一平面上