第九章数据建模2

1、前言前言 函数是多种多样的，在科研与工程实际函数是多种多样的，在科研与工程实际中有的函数表达式过于复杂而不便于计算，但又中有的函数表达式过于复杂而不便于计算，但又需要计算多点的函数值；有的函数甚至给不出数需要计算多点的函数值；有的函数甚至给不出数学式子，只能通过实验和测量得到一些离散数据学式子，只能通过实验和测量得到一些离散数据（如某些点的函数值和导数值）。面对这种情况，（如某些点的函数值和导数值）。面对这种情况，很自然的一个想法就是构造某个简单的函数作为很自然的一个想法就是构造某个简单的函数作为要考察的函数的近似要考察的函数的近似 。 如果要求近似函数满足给定的离散数据，如果要求近似函数满足

2、给定的离散数据，则称之为的插值函数。实用上，我们常取结构相则称之为的插值函数。实用上，我们常取结构相对比较简单的代数多项式作为插值函数对比较简单的代数多项式作为插值函数, ,这就是所这就是所谓的代数插值。谓的代数插值。 认识插值的算法认识插值的算法“插值插值”最初是电脑术语，后来引用到数码最初是电脑术语，后来引用到数码图像上来。图像放大时，像素也相应地增加，但图像上来。图像放大时，像素也相应地增加，但这些增加的像素从何而来？这时插值就派上用场这些增加的像素从何而来？这时插值就派上用场了。插值就是在不生成像素的情况下增加图像像了。插值就是在不生成像素的情况下增加图像像素大小的一种方法，在周围像素

3、色彩的基础上用素大小的一种方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩数学公式计算丢失像素的色彩(也有些相机使用插也有些相机使用插值，人为地增加图像的分辨率值，人为地增加图像的分辨率)。所以在放大图像。所以在放大图像时，图像看上去会比较平滑、干净。但必须注意时，图像看上去会比较平滑、干净。但必须注意的是插值并不能增加图像信息。以图的是插值并不能增加图像信息。以图1为原图为原图(见见图图1)，以下是经过不同插值算法处理的图片。，以下是经过不同插值算法处理的图片。图像 设设 为给定的节点，为给定的节点， ，为相应的函数值，求一个次数不超过为相应的函数值，求一个次数不超过 的多项式的多项

4、式 ，使其满足使其满足 ， .这类问题称为这类问题称为插值问题插值问题。 称为称为被插值函数被插值函数， 称称为为插值函数插值函数， 称为称为插值节点插值节点01,nx xx)(iixfy ni, 1 , 0n)(xPnni, 1 , 0( )niiP xy一、问题提出一、问题提出01,nx xx( )f x( )nP x引例引例：若知道若知道函数函数y=f (x)，在在n个互异的点个互异的点 ),(21nxxxx),(21nyyyy, ,如何估计此函数在另一点如何估计此函数在另一点a的函数值的函数值？ 二、插值原理二、插值原理 要解决此问题，可以考虑构造一个过要解决此问题，可以考虑构造一个过

5、 的近似值。这种方法叫插值。插值方法要求近似函的近似值。这种方法叫插值。插值方法要求近似函数（曲线或曲面）经过已知的所有数据点数（曲线或曲面）经过已知的所有数据点 nxxx,21的次数不超过的次数不超过n n的多项式，的多项式， )(xLyn，使其满足，使其满足 kknyxL)(，然后用，然后用 )(aLn作为准确值作为准确值 )(aL 概念概念 /* Concept */ 函数解析式未知，或计算复杂，用函数g(x) 去近似代替它，使得 g(xi) = f(xi) (i = 0, n), g(x) f(x) 这类问题称为插值问题插值问题。函数g(x)称为插值函插值函数数。 x0 xn称为插值节

6、点插值节点或简称节点。 g(xi) = f(xi)称为插值条件插值条件。x0 x1x2x3x4xg(x) f(x)例多项式的插值问题，即构造例多项式的插值问题，即构造n次多项式次多项式Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+ anxn使满足使满足Pn(xi)= yi三、插值方法三、插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同，一般有：拉选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同，一般有：拉格朗日插值（格朗日插值（lagrangelagrange插值）、分段线性插值、插值）、分段线性插值、HermiteHermite及及样条插值由于各种插值的原理较为复杂，这里不一一介样条插值由于各种插

7、值的原理较为复杂，这里不一一介绍在应用中，可以借助绍在应用中，可以借助MatlabMatlab软件但在插值运算时必须软件但在插值运算时必须注意，注意，MatlabMatlab的插值函数分为内部插值和外部插值，内部插的插值函数分为内部插值和外部插值，内部插值要求已知点值要求已知点x x是单调的，并且被插值点是单调的，并且被插值点x xi i不能够超过不能够超过x x的范的范围例如围例如interp1interp1（）、（）、interp2interp2（）、（）、interpninterpn（）等只能（）等只能进行内部插值，而进行内部插值，而griddata()griddata()既可以计算内部

8、插值，又可以既可以计算内部插值，又可以计算外部插值计算外部插值 举例来看：可以认为某水文要素举例来看：可以认为某水文要素T T随时间随时间t t的变化是的变化是连续的，某一个测点的水文要素连续的，某一个测点的水文要素T T可以看作时间的可以看作时间的函数函数T=f(t)T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。的要素值。关于插值效果的分析：关于插值效果的分析：判断各种插值方法插值效果的优劣，通过两种途径来判断：判断各种插值方法插值效果的优劣，通过两种途径来判断：

9、一是图形法，即利用插值曲线与实测曲线的拟合效果判断插值效果；一是图形法，即利用插值曲线与实测曲线的拟合效果判断插值效果；二是最小二乘法，即将实际观测值二是最小二乘法，即将实际观测值TrTr与插值计算值与插值计算值TcTc之间的离差之间的离差(Tr-Tc)(Tr-Tc)或计算误差的平方和或计算误差的平方和(Tr-Tc)2)(Tr-Tc)2)作为判断的根据，作为判断的根据，当当(Tr-Tc)2(Tr-Tc)2最小时，说明反应曲线拟合效果最好，最小时，说明反应曲线拟合效果最好，插值点与实测点的离散程度最低，插值点与实测点的离散程度最低，(Tr-Tc)2(Tr-Tc)2越大，越大，说明插值点与实测点的

10、离散程度越大。说明插值点与实测点的离散程度越大。四、四、Lagrange插值法插值法 011011()()()()( ),0,1,()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xinxxxxxxxx0( )( )nni iiPxy lx（1）Lagrange插值插值多项式可以表示为多项式可以表示为 引入记号引入记号 , , 易证易证 , , 从而从而LagrangeLagrange插值多项式可表示为插值多项式可表示为 101()()()()nnniiinixPxyxxx)()()()(1101niiiiiiinxxxxxxxxx)()()(101ninxxxxxxx例例.求过点求过

11、点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多的拉格朗日型插值多项式。项式。解：用解：用4次插值多项式对次插值多项式对5个点插值个点插值 00112233442 04 36 58 410 1,xyx yxyx yxy0(4)(6)(8)(10)1( )(4)(6)(8)(10)(2 4)(2 6)(2 8)(2 10)384xxxxl xxxxx 1(2)(6)(8)(10)1( )(2)(6)(8)(10)(4 2)(4 6)(4 8)(4 10)96xxxxl xxxxx2(2)(4)(8)(10)1( )(2)(4)(8)(10)(6 2)(6 4)(6 8)(

12、6 10)64xxxxl xxxxx3(2)(4)(6)(10)1( )(2)(4)(6)(10)(8 2)(8 4)(8 6)(8 10)96xxxxl xxxxx4(2)(4)(6)(8)1( )(2)(4)(6)(8)(10 2)(10 4)(10 6)(10 8)384xxxxl xxxxx40 01 12 23 34 4( )( )( )( )( )( )P xy l xyl xy l xyl xy l x13(4)(6)(8)(10)(2)(6)(8)(10)3849654(2)(4)(8)(10)(2)(4)(6)(10)64961(2)(4)(6)(8)384xxxxxxxxx

13、xxxxxxxxxxx于是有于是有缺点缺点: 当增加或减少插值节点时当增加或减少插值节点时,基函数需要重新基函数需要重新 构造构造,不便于实际的计算使用不便于实际的计算使用五、五、 分段插值分段插值 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每个个 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一，子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一，作为整个区间作为整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。如果上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数函数 在每个子段上都是在每个子段上都是 次式，则称为次式，则称为 次式。次式。1,iix x, a b kSxk

14、k一般（低次：一般（低次：k=1,2,3）（1）分段线性插值的构造（）分段线性插值的构造（k=1) 易知易知 在每个子区间在每个子区间 上是一上是一次插值多项式次插值多项式分段线性插值的余项分段线性插值的余项其中其中1 , (0,1,)iix xin2( )( )( )8Mhf xxR x( )xmax( )a x bMfx 11111 iiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyx,)(（2） 分段抛物线插值（分段抛物线插值（K=2）（3） 分段三次分段三次 Hermite 插值插值(K=3)（4） 三次样条插值三次样条插值 在分段插值中，分段线性插值在节点上仅连续而不可在分段插值中，分段

15、线性插值在节点上仅连续而不可导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑程度常不能满足物理问题的需要，而引入的样条函数则可程度常不能满足物理问题的需要，而引入的样条函数则可以同时解决这两个问题以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数使插值函数既是低阶分段函数,又又是光滑的函数。是光滑的函数。 三次样条函数定义三次样条函数定义 给定区间给定区间 的一个划分的一个划分 ，如果函数如果函数 满足：满足： ba,bxxxxann110)(xS（1）在每一小区间上是三次多项式；）在每一小区间上是三次多项式；（2）在每个内节点上具有二阶连续导

16、数；）在每个内节点上具有二阶连续导数；（3）iiyxS)( 则称则称 是是 在该区间上关于该划分的一个三次在该区间上关于该划分的一个三次样条函数。样条函数。)(xs)(xf其中四个待定系数为其中四个待定系数为 , ,子区间共有子区间共有n n个所以要个所以要确定确定S(x)S(x)需要需要4n4n个待定系数。个待定系数。 另一方面另一方面, ,要求分段三次多项式要求分段三次多项式S(x)S(x)及其导数及其导数 和和 在整个插值区间在整个插值区间 a,ba,b 上连续上连续, ,则要求它们在各个子区间的连接则要求它们在各个子区间的连接点点 上连续上连续，即满足条件即满足条件 由样条函数的定义可

17、知由样条函数的定义可知, ,三次样条插值函数三次样条插值函数S(S(x x) )是一个是一个分段三次多项式分段三次多项式, ,要求出要求出S(S(x x),),在每个小区间在每个小区间 x xi i, ,x xi+1i+1 上要确定上要确定4 4个待定参数个待定参数, ,若用若用S Si i( (x x) )表示它在第表示它在第i i个子区间个子区间 x xi i, ,x xi+1i+1 上的表上的表达式，则达式，则332210)(xaxaxaaxSiiiii1, 1 , 0ni3210,iiiiaaaa)(xS)(xS 110,nxxx（1 1）插值条件）插值条件 （2 2）连接条件）连接条

18、件 式共给出了式共给出了4n-24n-2个条件个条件, ,而待定系数有而待定系数有4n4n个个, ,因此还需要因此还需要2 2个条个条件才能确定件才能确定S(x),S(x),通常在区间端点上通常在区间端点上 各加一个各加一个条件条件, ,称为边界条件称为边界条件, , 常用边界条件有三种类型。常用边界条件有三种类型。)()(iixfxSni, 1 , 0 ) 0() 0(1, 2 , 1) 0() 0() 0() 0( iiiiiixSxSnixSxSxSxSnxbxa,0第一种类型：给定两端点第一种类型：给定两端点 的一阶导数值：的一阶导数值： 第二种类型：给定两端点第二种类型：给定两端点f

19、(x)f(x)的二阶导数值：的二阶导数值：作为特例作为特例, , 称为自然边界条件。满足自然边界称为自然边界条件。满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。第三种类型：当第三种类型：当 是以为是以为 周期的函数时，则要求周期的函数时，则要求S(x)S(x)也是周期函数也是周期函数, ,这时边界条件应满足这时边界条件应满足当当 时，时， )()(),()(00nnxfxSxfxS)()(),()(00nnxfxSxfxS 0)()(0 nxSxS0 xxn)()(0nxfxf)()(),()(00nnxSxSxSxS )(xf)(xf这样

20、，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出件，就能得出4n4n个方程，可以惟一确定个方程，可以惟一确定4n4n个系数。从而得个系数。从而得到三次样条插值函数到三次样条插值函数S(x)S(x)在各个子区间在各个子区间 x xi i , x, xi+1i+1 上的表达上的表达式式S(S(x xi i）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是，这种做法当。但是，这种做法当n n较大时，计算较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。的构造方法。 三次样条插值

21、函数的求法三次样条插值函数的求法设设S(x)S(x)在节点在节点x xi i处的二阶导数为处的二阶导数为因为在子区间因为在子区间 x xi-1i-1,x,xi i 上上 是三次多项是三次多项式式, ,所以所以 在此小区间上是在此小区间上是x x的线性函数的线性函数, ,且因为用线性且因为用线性插值插值, ,可知其表达式为可知其表达式为), 1 , 0()(niMxSii )()(xSxSi)(xS iiiiMxSMxS )(,)(11iixxx,11iiixxh1111)( iiiiiiiiixxxxMxxxxMxS记记 ，则有，则有iiiiiiihxxMhxxMxS11)( 其中其中,A,A

22、i i,B,Bi i为积分常数为积分常数, ,可利用插值条件可利用插值条件 确定确定, ,即要求即要求A Ai i,B,Bi i满足满足并记并记 ，则得，则得)()(6)(6)()(13131iiiiiiiiiiixxBxxAhxxMhxxMxS)()(),()(11iiiixfxSxfxS)(61)(),(61)(21211iiiiiiiiiiiixfhBhMxSxfhAhMxSiiiiyxfyxf)(,)(112211611,611iiiiiiiiiihMyhBhMyhA连续两次积分得连续两次积分得iiiiiiihxxMhxxMxS6)(6)()(3131iiiiiiiiiihxxhMyh

23、xxhMy)(6)(612211),2, 1,(1nixxxii由上讨论可知由上讨论可知, ,只要确定只要确定 这这n+1n+1个值个值, , 就可定出就可定出三样条插值函数三样条插值函数S(x)S(x)。为了求出。为了求出 , ,利用一利用一阶导数在子区间连接点上连续的条件阶导数在子区间连接点上连续的条件 ，求导一次求导一次, ,得在区间得在区间 x xi-1i-1,x,xi i 上的表达式为上的表达式为 nMMM,10), 1 ,0(niMi)0()0(iixSxS)(62)(2)()(112121iiiiiiiiiiiiiMMhhyyhxxMhxxMxS也就是在右端点也就是在右端点x x

24、i i上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS11)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1136在左端点在左端点x xi-1i-1上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS1111)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1163将上式中的将上式中的i-1i-1改为改为i,i,即得在子区间即得在子区间 x xi i,x,xi+1i+1 上的表上的表达式达式 , ,并由此得并由此得 )(1xSi) 0(1iixS1111163iiiiiiihyyMhMh利用利用 在内接点的连续性在内接点的连续性, ,即即就可得到关于参数就可得到关于参数 的一个方程的一个方程)(xS)

25、0() 0(1iiiixSxS11,iiiMMMiiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh11111 11636) 1, 2 , 1(ni上式两边同乘以上式两边同乘以 , ,即得方程即得方程 16iihhiiiiiiiiiiiiiiiiihyyhyyhhMhhhMMhhh111 11 111 162iiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfhhghhhhhh,61111111若记若记 则所得方程可简写成则所得方程可简写成 iiiiiigMMM112)1,2, 1(ni11121232212121101222nnnnnngMMMgMMMgMMM即即 这是一个含有这是一个含有n+1n+

26、1个未知数、个未知数、n-1n-1个方程的线性方程组个方程的线性方程组. .要完要完全确定全确定 的值还需要补充两个条件的值还需要补充两个条件, ,这两这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间 a,ba,b 的两个的两个端点处的边界条件来补充。边界条件的种类很多，常见的有端点处的边界条件来补充。边界条件的种类很多，常见的有以下以下3 3种：种： ), 1 ,0(niMi第一种边界条件：即已知插值区间两端的一阶导数值：第一种边界条件：即已知插值区间两端的一阶导数值： 则可得到包含则可得到包含M Mi i的两个线性方程的两个线性方程,S(x),S(x

27、)在子区间在子区间 上的导数为上的导数为)()(),()(00nnxfxSxfxS10, xx)(62)(2)()(011101120112101MMhhyyhxxMhxxMxS由条件由条件 得得 000)()(yxfxS)(62011101100MMhhyyhMy)(620101110yhyyhMM即即 同理同理, ,由条件由条件 得得 nnnyxfxS)()()(6211nnnnnnnhyyyhMM即得确定即得确定 的线性方程组的线性方程组 nMMM,10nnnnnnggggMMMM1101101111212212),(6),(6101010nnnnnxxfyhgyxxfhg其中其中第二种

28、边界条件第二种边界条件: :即已知插值区间两端的二阶导数值即已知插值区间两端的二阶导数值: : , ,由于在区间端点处二阶导数由于在区间端点处二阶导数 ，所以方程中实际上只包含有，所以方程中实际上只包含有n-1n-1个未知数个未知数 ，从而得方程组从而得方程组 nnyxSyxS )(,)(00nnyMyM ,00121,nMMM nnnnnnnnnygggygMMMM112201112211222212222第三种边界条件第三种边界条件: :由由 与与 ，可得，可得 和和 )0()0(0 nxSxS) 0() 0(0nxSxSnMM0nnnnngMMM211),(61110111nnnnnnn

29、nnnnxxfxxfhhghhhhhh其中其中得关于得关于 的线性方程组。的线性方程组。 nMMM,21nnnnnnnnggggMMMM1211211122112222 利用线性代数知识利用线性代数知识, ,可以证明方程组的系数矩阵都是非奇可以证明方程组的系数矩阵都是非奇异的，因此有惟一解。异的，因此有惟一解。 用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，

30、不会发生龙格现象。因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛的应用。象。因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛的应用。用用MATLABMATLAB作插值计算作插值计算一维插值函数：一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值点被插值点插值节点插值节点xixi处的插处的插值结果值结果nearest ：最邻近插值：最邻近插值linear ： 线性插值；线性插值；spline ： 三次样条插值；三次样条插值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省时：缺省时： 分段线性插值。分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求注意：所有的插值方法都要求x x是单调的，并且是单

31、调的，并且xi不不能够超过能够超过x的范围。的范围。 例：在例：在1-121-12的的1111小时内，每隔小时内，每隔1 1小时测量一次小时测量一次温度，测得的温度依次为：温度，测得的温度依次为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424。试估计每隔。试估计每隔1/101/10小时的小时的温度值。温度值。x=1:12;y=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;xi=1:0.1:12;yi=interp1(x,y,xi,spline); plot(x,y,+,xi,yi,r)024681012510

32、1520253035问题问题7 7 【飞机轮廓模型飞机轮廓模型】已知飞机机翼截面下轮廓线的数据，见表已知飞机机翼截面下轮廓线的数据，见表9-89-8，求，求x每改变每改变0.1时时y的值的值 x035791112131415y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6表表9-8一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明 1. 假设飞机机翼截面下轮廓的变化是连续的假设飞机机翼截面下轮廓的变化是连续的 二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立本题函数不明确，首先绘出散点图。如图本题函数不明确，首先绘出散点图。如图9-129-12所示所示 从散点图也很难观察出函数形

33、式下面使用插值的方从散点图也很难观察出函数形式下面使用插值的方法因为只有一个变量且变量法因为只有一个变量且变量x x是单调的，所以可以是单调的，所以可以使用一元插值函数使用一元插值函数interp1( )interp1( )来进行计算来进行计算图图9-12用用Matalb软件计算软件计算 三、模型求解三、模型求解x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ;y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ;x=0:0.1:15;y1=interp1(x0,y0,x,spline)plot(x0,y0,k+,x,y1,r)grid %显示网格显示网格

34、 title(spline) %定义图形的标题定义图形的标题 y1即为要求的值，由于结果较多，无法全部显示，这即为要求的值，由于结果较多，无法全部显示，这里我们通过图里我们通过图9-139-13来展示插值后的结果来展示插值后的结果从图形可以观察出来两方面的内容：从图形可以观察出来两方面的内容：1 1、插值要求通过每一个数据点，而拟合不一定、插值要求通过每一个数据点，而拟合不一定2 2、得到的插值曲线与飞机机翼截面下轮廓线基本相、得到的插值曲线与飞机机翼截面下轮廓线基本相同，说明插值效果较好同，说明插值效果较好 图图9-13问题问题8 8 【电容器充电模型电容器充电模型】在用外接电源给电容器充电

35、时，电容器两端的电压在用外接电源给电容器充电时，电容器两端的电压V V将会随着充电时间将会随着充电时间t t发生变化，已知在某一次实验发生变化，已知在某一次实验时，通过测量得到观测值，见表时，通过测量得到观测值，见表9-99-9要求：给出要求：给出t每改变每改变0.10.1时，对应的电压器两端的电压时，对应的电压器两端的电压Vx035791112131415y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6表表9-9一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明 1.假设温度的变化是连续的假设温度的变化是连续的 二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立本题函数不明确，首

36、先绘出散点图本题函数不明确，首先绘出散点图. .用用MatlabMatlab求解如下：求解如下： x=1 2 3 4 6.5 9 12;y=6.2 7.3 8.2 9.0 9.6 10.1 10.4;plot(x,y,*) 从散点图观察出电容器两端的电从散点图观察出电容器两端的电压压V将会随着充电时间将会随着充电时间t发生变化发生变化为对数函数，但本题并不要求给为对数函数，但本题并不要求给出函数形式，只需求出给出出函数形式，只需求出给出t每改每改变变0.1时，对应的电压器两端的电时，对应的电压器两端的电压压V，则同样使用插值的方法，则同样使用插值的方法 因为只有一个变量且变量因为只有一个变量且

37、变量t 是单调的，所以可以使用是单调的，所以可以使用一元插值函数一元插值函数interp1()用用Matlab求解如下求解如下： 三、模型求解三、模型求解x0=1 2 3 4 6.5 9 12;y0=6.2 7.3 8.2 9.0 9.6 10.1 10.4;x=0:0.1:12;y1=interp1(x0,y0,x,spline)plot(x0,y0,k+,x,y1,r)观察图观察图9-159-15可知：可知：1 1、插值要求通过每一个数据点、插值要求通过每一个数据点2 2、得到的插值曲线表现了时间与电压的关系，说明、得到的插值曲线表现了时间与电压的关系，说明插值效果较好插值效果较好图图9-

38、15问题问题9 9 【温度预测模型温度预测模型】 在在1212小时内，测得温室每隔小时内，测得温室每隔1 1小时测量一次温小时测量一次温度，具体数据见表度，具体数据见表9-109-10求温室在求温室在3.2h3.2h，6.5h6.5h，7.1h7.1h，11.7h11.7h的温度值的温度值 小时小时（h）123456789101112温度温度（oC）589152529313022252724表表9-10一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明 1. 假设温度的变化是连续的假设温度的变化是连续的 二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立本题函数不明确，首先绘出散点图本题函数不明确，首先绘出散

39、点图. .用用MatlabMatlab求解如下：求解如下： x0=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;y0=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;plot(x0,y0,*)所得结果如图所得结果如图9-16所所示示.从散点图从散点图9-16也难也难以观察出函数形以观察出函数形式下面使用插值的式下面使用插值的方法方法 图图9-16因为只有一个变量且变量因为只有一个变量且变量t 是单调的，所以可以使用是单调的，所以可以使用一元插值函数一元插值函数interp1()用用Matlab求解如下求解如下： 三、模型求解三、模型求解x0=1 2 3 4 5 6 7

40、 8 9 10 11 12;y0=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;x=3.2 6.5 7.1 11.7;y=interp1(x0,y0,x)结果如下结果如下：y = 10.2000 30.0000 30.9000 24.9000 从图从图9-179-17可以观察出来每一小时都对应了相应的温度可以观察出来每一小时都对应了相应的温度 在在3.2h3.2h，6.5h6.5h，7.1h7.1h，11.7h11.7h的温度值分别为的温度值分别为10.210.2，3030，30.930.9，24.924.9如图如图9-179-17所示所示. . 图图9-17问题问题10

41、10 【河流流量河流流量模型模型】一条一条100100米宽的河道的截面如图米宽的河道的截面如图9-189-18所示，为了测所示，为了测量其流量需要知道河道的截面积为此从河的一端量其流量需要知道河道的截面积为此从河的一端开始每隔开始每隔5 5米测量出河床的深度，见表米测量出河床的深度，见表9-119-11 坐标坐标x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10深度深度2.412.962.152.653.124.235.126.215.684.22坐标坐标x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10深度深度3.913.262.852.353.023.634.123.462.080表表9-11试根据以上数

42、据估算河道的截面积，进而在已知水试根据以上数据估算河道的截面积，进而在已知水的流速（设为的流速（设为1m/s1m/s）的情况下计算出水流量如果）的情况下计算出水流量如果要在河床铺设一条电缆，试估计电缆的长度要在河床铺设一条电缆，试估计电缆的长度 图图9-18一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明 1. 假设河床的深度是连续变化的假设河床的深度是连续变化的2 2假设仅靠河床铺设电缆，即电缆长度等于河床长度假设仅靠河床铺设电缆，即电缆长度等于河床长度 二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立 本问题是要利用已知数据点来获取一条穿过这些本问题是要利用已知数据点来获取一条穿过这些点的河床函数曲线

43、这是实际中经常遇到的数据处理点的河床函数曲线这是实际中经常遇到的数据处理问题，可以用数据插值的方法求解问题，可以用数据插值的方法求解 （1）画出河床观测的散点图）画出河床观测的散点图.clf;clearx=5:5:100y=2.412.962.152.653.124.235.126.215.684.22 3.913.262.852.353.023.634.12 3.462.080;y1=10-y;plot(x,y1,k*) ;axis(0 100 0 10) ;grid on三、模型求解三、模型求解x=0 :5 :100 ;y=0 2.41 2.962.152.653.124.235.126.215.684.22 3.913.262.852.353.023.634.12 3.462.080 ;y1=10-y ;plot(x,y1,k*) ;axis(0 100 0 10) ;grid on ;hold on ;t=0 :100 ;u=interp1(x,y1,t) ;plot(t,u) ;S=100*10-trapz(x,y1) ;p=sqrt(diff(x).2+diff(y).2) ; %弧长公式L=sum(p) ;（2）利用分段线性插值绘制河床曲线）利用分段线性插值绘制河床曲线根据已知数据可以进行分段线性插值，在此基础上利用梯形根据已知数据可以进行分段线性插值，在