Matlab数学运算及数值计算ppt课件

1、第二讲 MATLAB的数值计算 matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位数值运算的功能创建矩阵矩阵运算多项式运算线性方程组数值统计线性插值函数优化微分方程的数值解一、MATLAB中的变量类型数值变量字符串变量单元型变量结构型变量1.数值变量MATLAB是以矩阵为基本运算单元的，而构成数值矩阵的基本单元就是数值。MATLAB中的变量名必须遵循：变量名区分大小写；变量名的长度不超过63位，超过时给出警告信息；变量名必须以字母开头，其余可包含字母、数字、下划线，但不得使用标点符号。MATLAB中变量的作用域一般默认为局部变量，仅在当前调用的M文件中有效。如果要定义全局变

2、量，则必须用global来声明。一般情况下，为了和局部变量有所区别，常将全局变量用大写字母表示，但这并不是必需的，只是人为的一种约定而已。比如以下的例子就是输入了变量x和X，这是两个不同的变量，一个是数字，一个是矩阵。2.字符串变量MATLAB中的字符串运算功能非常丰富，特别是符号运算功能的加入，使得字符串函数功能得到了极大增强。在MATLAB中，所有字符串都用英文单引号标识，字符串和字符数组是等价的，字符串中的每个字符(包括空格)都是字符数组的一个元素。字符串与数值数组的相互转换详情请参阅帮助(help)函数名可实现的功能函数名可实现的功能num2str数字转换为字符串str2num字符串转

3、换为数字int2str整数转换为字符串sprintf将格式数据写为字符串mat2str矩阵转换为字符串sscanf在格式控制下读字符串字符串的操作与执行详情请参阅帮助(help)函数名可实现的功能函数名可实现的功能strcat串连接strrep串替换strvcat串垂直连接strtok找串记号strcmp串比较upper转换串为大写strncmp串比较(前n个字符)lower转换串为小写findstr串中查找字串 blanks生成空串strjust微调字符串deblank 去除串空格strmatch 查找匹配的串 eval执行字符串串检验与进制转换函数详情请参阅帮助(help)函数名可实现的功

4、能函数名可实现的功能ischar字符串检验isletter字母检验iscellstr串单元阵检验 isspace空格检验hex2dec1610转换dec2bin102转换hex2num 16双精转换 base2dec n10转换dec2hex1016转换dec2base 10n转换bin2dec210转换strings字串帮助3.单元型变量单元型变量是MATLAB中较为特殊的一种数据类型，本质上也是一种数组，但这种数组和传统数组的区别是：传统数组中所有元素只能是同一种数据类型，而单元型数组可以把不同的数据类型组合在一起，从而形成一种比较复杂的数组。(1) 单元型变量的定义直接赋值法：单元型变量

5、使用大括号标识，元素之间用逗号分隔。也可以直接对单元型变量的元素直接赋值单元型变量的下标用大括号索引。如A3，B1，5等。由cell函数预先分配存储空间，然后逐个元素进行赋值。例如：Bcell(2,3)，可在内存空间中建立一个单元型空变量B，然后可逐个对其每个元素赋值。(1) 单元型变量的定义直接赋值法：单元型变量使用大括号标识，元素之间用逗号分隔。也可以直接对单元型变量的元素直接赋值单元型变量的下标用大括号索引。如A3，B1，5等。由cell函数预先分配存储空间，然后逐个元素进行赋值。例如：Bcell(2,3)，可在内存空间中建立一个单元型空变量B，然后可逐个对其每个元素赋值。值得注意的是：

6、单元型变量的存储并不是以指针的方式来存储的，因此改变元素的值是不会影响到原来所引用的变量值的。单元型变量还可以嵌套，即单元型变量的元素也可以是单元型变量。(2) 单元型变量的相关函数函数名说明函数名说明cell生成单元型变量deal输入输出处理cellfun单元型变量元素的作用cell2struct单元型量结构型量celldisp显示单元型变量内容struct2cell结构型量单元型量cellplot图形显示单元型变量iscell判断是否为单元型变量num2cell数值单元型变量reshape改变数组结构4.结构型变量 结构型变量是另外一种可以将不同的数据类型组合在一起的特殊数据类型。与单元型

7、数据类型相同它也不是以指针方式传递数据的。不同的是其作用相当于数据库中的记录，可存储一系列相关数据。同一个数据字段Field必须具有相同的数据类型，而单元型数据每个元素彼此可以不同。(1) 结构型变量的定义直接赋值法：结构型变量的使用必须指出结构的属性名，并以操作符“.”来连接结构变量名与属性名。对该属性直接赋值，MATLAB 会自动生成该结构变量。如A.b1，B(2,3).a3等。结构型数组的不同元素类型可不同。由struct函数预先分配存储空间方法是： 结构型变量struct(元素名1，元素值1，元素名2，元素值2，) 例如：c=struct(c1,1,c2,b,c3,abcd)值得注意的

8、是：结构型变量的存储也不是以指针方式存储的。因此改变元素的值就不会影响到所引用变量的值。结构型变量也可以嵌套使用，即结构型变量的元素也可以是结构型变量。(2) 结构型变量的相关函数函数名说明函数名说明struct创建或改变结构型变量rmfield删除结构型变量属性fieldnames取得结构型变量属性名isfield判断结构型变量属性getfield取得结构型变量属性值isstruct判断结构型变量setfield设置结构型变量属性值二、命令行的基本操作创建矩阵的方法创建矩阵的方法直接输入法直接输入法规则：规则： 矩阵元素必须用矩阵元素必须用 括住括住 矩阵元素必须用逗号或空矩阵元素必须用逗号

9、或空格分隔格分隔 在在 内矩阵的行与行之内矩阵的行与行之间必须间必须 用分号分隔用分号分隔 矩阵元素可以是任何matlab表达式 ，可以是实数 ，也可以是复数，复数可用特殊数i，j 输入 a=1 2 3;4 5 6 x=2 pi/2;sqrt(3) 3+5i 矩阵元素符号的作用逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。 分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。留意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。 当一个指令或矩阵太长时，可用续行冒号的作用 用于生成等间隔的

10、向量，默认间隔为1。 用于选出矩阵指定行、列及元素。 循环语句2.用matlab函数创建矩阵空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。rand 服从均匀分布的随机矩阵eye 单位矩阵(对角元素为1,其他为0)zeros 全部元素都为0的矩阵ones 全部元素都为1的矩阵 还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。留意：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。 matlab函数名必须小写。3. 矩阵的修改 直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改 可以用A(,)= 来修改。例

11、如a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a =1 2 0 3 0 5 7 8 9a(3,3)=0a =1 2 0 3 0 5 7 8 0还可以用函数subs修改，matlab6.0之后可用find函数配合修改。例如: 单输入参数的情形： 设 a = 980 C1 = 3 已经存在于工作空间中. 语句 y = dsolve(Dy = -a*y) 会产生 y = exp(-a*t)*C1 这时用语句 subs(y) 会产生 ans = 3*exp(-980*t) 如果是三个参数形如: subs(a+b,a,4) 则会返回 4+b. 还可以进行多重替换，如: syms a bsubs(cos(a)+

12、sin(b),a,b,sym(alpha),2) 或者subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) 前往 cos(alpha)+sin(2)标量表达式 的替换: subs(exp(a*t),a,-magic(2) 前往 exp(-t), exp(-3*t) exp(-4*t), exp(-2*t)多重标量表达式 的替换: subs(x*y,x,y,0 1;-1 0,1 -1;-2 1) 前往 0, -1 2, 0 把matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。 save 将工作空间中所有的变量存到matlab.mat文件中。三、数据的

13、保存与获取默认文件名save data将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。save data a b 将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。 下次运行matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。load load data load data a b mat文件是标准的二进制文件，也可用ASCII码形式保存。即可恢复保存过的所有变量SAVE . -ASCII以8位ASCII存贮。其他选项如：-DOUBLE以16位ASCII存贮。-TABS 以TAB制表符分格ASCII数-APPEND 以追加方式存贮变量-MAT 以MAT格式存贮而不管扩展名-STRUCT

14、结构性变量存贮专用另外还有V4，V6，REGEXP 等选项矩阵加、减（,）运算规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。四、矩阵运算2. 矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*bc =14 32 23 d=-1;0;2;f=pi*df = -3.1416 0 6.2832 矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算 a p a 自乘p次幂 方阵方阵1的整数的整数3.

15、矩阵乘方 an,ap,pa对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量ap使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。 a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。 a0.5 ans = 0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i 1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i 1.5873 - 0.5940i 1.9

16、503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717iinv 矩阵求逆det 行列式的值eig 矩阵的特征值diag 对角矩阵 矩阵转置sqrt 矩阵开方4. 矩阵的其它运算 5.矩阵的一些特殊操作矩阵的变维 a=1:12;b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向 rot90:旋转; fliplr:左右翻; flipud:上下翻矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril: 抽取主下三角; triu:抽取主上三角矩阵的扩展关系运算 关系符号意义=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于逻辑运算 逻辑符号意义与（AND）或（OR）非（NOT）关

17、系函数和逻辑函数函数名功能函数名功能all是否为全1矩阵isinf是否无穷大any找非零元素isnan是否非值exist存在性与类别issparse 是否稀疏find找非零元素isstr是否字串isempty 是否为空isglobal是否全局isfinite是否有限xor(x,y)异或运算 数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同 数组加减(+,-) a+b a- b5. 矩阵的数组运算 对应元素相加减与矩阵加对应元素相加减与矩阵加减等效）减等效）2. 数组乘除(，./，.）ab a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。a=1 2 3;4 5

18、6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a*bans = 25 37 46 55 85 109 85 133 172 a./b=b.aa.b=b./aa./b=b.a 都是a的元素被b的对应元 素除a.b=b./a 都是a的元素被b的对应元 素除例: a=1 2 3;b=4 5 6; c1=a.b; c2=b./ac1 = 4.0000 2.5000 2.0000c2 = 4.0000 2.5000 2.0000 给出a,b对应

19、元素间的商.3. 数组乘方(.) 元素对元素的幂例:a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z = 1.00 4.00 9.00z=a.bz = 1.00 32.00 729.00常见的基本数学函数函数名功能函数名功能函数名功能sin正弦tan正切atan反正切asin反正弦cot余切acot反余切cos余弦sec正割asec反正割acos反余弦csc余割acsc反余割三角函数函数名功能函数名功能exp以e为底的指数pow22的幂次log2以2为底的对数log自然对数log10以10为底的对数sqrt开平方nextpow2返回2的下一个最近幂指数与对数函数复数函数函数名功能函数名功能abs复

20、数的模real实部angle相位角unwrap相位展开complex构造复数isreal判断实数conj共轭复数cplxpair整理为共轭对imag虚部取整函数函数名功能函数名功能fix朝0方向取整round四舍五入floor朝负无穷方向取整 rem除后取余ceil朝正无穷方向取整 sign符号函数mod模数（带符号余）矩阵函数函数名功能函数名功能cond矩阵的条件数 rank矩阵的秩condest1范数条件数svd奇异值分解rcond矩阵倒条件数 trace矩阵的迹det方阵的行列式 expm矩阵指数inv方阵的逆logm矩阵对数norm一般范数sqrtm矩阵开方normest2范数funm

21、一般矩阵函数特殊函数函数名功能函数名功能bessel贝塞尔函数rat有理逼近beta贝塔函数cross矢量叉乘gamma 伽马函数dot矢量点乘ellipj雅可比椭圆函数 cart2sph 直角-球ellipk完全椭圆积分cart2pol直角-极erf误差函数pol2cart极-直角erfinv逆误差函数sph2cart 球-直角matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=anxn+an-1xn-1+a0 可用行向量 p=an an-1 a1 a0表示poly 产生特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的特征多项式第一个元素一定是1五、 多项式

22、运算 例:a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用：p1=poly2str(p,x) 函数文件，显示数学多项式的形式p1 =x3 - 6 x2 - 72 x - 272.roots 求多项式的根a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00r=roots(p)r = 12.12 -5.73 显然 r是矩阵a的特征值 -0.39当然我们可用poly令其返回多项式形式p2=poly

23、(r)p2 = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。3.conv多项式乘运算例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6)c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 184.deconv多项式除运算a=1 2 3; c = 4.00 13.00 28.00

24、 27.00 18.00d=deconv(c,a)d =4.00 5.00 6.00d,r=deconv(c,a)余项余项c除除a后的整项后的整项5.多项式微积分matlab提供了polyder函数多项式的微分。命令格式：polyder(p): 求p的微分p=polyder(a,b): 求多项式乘积a*b的微分p,q=polyder(a,b): 求多项式商a/b的微分例：a=1 2 3 4 5; poly2str(a,x)ans = x4 + 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 5b=polyder(a)b = 4 6 6 4poly2str(b,x)ans =4 x3 + 6 x2 +

25、6 x + 4polyint求多项式函数的不定积分：命令格式：p=polyint(a): 求a的不定积分，常数项为0p=polyint(a,k):求a的不定积分，常数项为k例：a=1 2 3 4 5; poly2str(a,x)ans = x4 + 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 5b=polyint(a)b = 0.2000 0.5000 1.0000 2.0000 5.0000 0poly2str(b,x)ans = 0.2 x5 + 0.5 x4 + x3 + 2 x2 + 5 x六、代数方程组求解matlab中有两种除运算左除和右除。对于方程ax=b，a 为anm矩阵，有三种情

26、况： 当n=m时，此方程成为“恰定方程 当nm时，此方程成为“超定方程 当nm时，此方程成为“欠定方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程1.恰定方程组的解方程ax=b(a为非奇异) x=a-1 b 矩阵逆两种解:x=inv(a)b 采用求逆运算解方程 x=ab 采用左除运算解方程 方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13;x=inv(a)*b x=ab x = x = 2.00 2.00 3.00 3.00322121xx138 = a x = b例: x1+2x2=8 2x1+3x2=132.超定方程组的解方程 ax=b ,mn时此时不存在唯一解。方程解 (a a)x=

27、a b x=(a a)-1 a b 求逆法 x=ab matlab用最小二乘法找一 个准确地基本解。 例: x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3; 解1 x=ab 解2 x=inv(aa) a b x = x = 1.00 1.00 0 0.00 21xx321 =433221 a x = b3.欠定方程组的解 当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的。 x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3

28、=2a=1 2 3;2 3 4;b=1;2; x=ab x=pinv(a)b x = x = 1.00 0.83 0 0.33 0 -0xx21=a x = b七、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有Euler欧拉法）、Runge Kutta(龙 格-库塔法。Euler法称一步法，用于一阶微分方程00)(),(yxyyxfdtdy当给定仿真步长时：所以 yn+1 = yn + hf (xn,yn) n=0,1,2 y(x0)=y0hyyxxyydtdynnnnnn111Runge Kutta法龙格-库塔法：实际上取两点斜率的平均 斜率来计算的，其精度高于欧拉算法 。龙格-库塔法：ode23 ode45 2112121kkyynnk1=hf(xn,yn)k2=hf(xn+h,yn+k)例：x+(x2-1)x+x=0为方便令x1=x，x2=x分别对x1,x2求一阶导数，整理后写成一阶微分方程组方式 x1=x2 x2=x2(1-x12)-x1建立m文件解微分方程建立m文件function xdot=wf(t,x)xdot=zeros(2,1)xdot(1)=x(2)xdot(2)=x(2)