OK函数的单调性

1、函数单调性函数单调性要点梳理要点梳理1.1.函数的单调性函数的单调性（1 1）单调函数的定义）单调函数的定义 增函数增函数减函数减函数定定义义一般地，设函数一般地，设函数f f（x x）的定义域为）的定义域为I I. .如果对于如果对于定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x x1 1，x x2 2 定定义义当当x x1 1 x x2 2时时, ,都有都有 ，那，那么就说函数么就说函数f f( (x x) )在区在区间间D D上是增函数上是增函数 当当x x1 1 x x2 2时，都有时，都有 ，那么就，那么就说函数说函数f f（x x）在区间）在区间

2、D D上是减函数上是减函数 图图象象描描述述自左向右看图象是自左向右看图象是_ 自左向右看图象是自左向右看图象是_ f f（x x1 1） )f f( (x x2 2) )上升的上升的下降的下降的(2)(2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f f( (x x) )在区间在区间D D上是上是_或或_，则称函数则称函数f f（x x）在这一区间上具有（严格的）单）在这一区间上具有（严格的）单调性，调性，_叫做叫做f f（x x）的单调区间）的单调区间. . 增函数增函数减函数减函数区间区间D D2.2.函数的最值函数的最值 前提前提 设函数设函数y y= =f f( (x x) )的定义

3、域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足满足 条件条件 对于任意对于任意x xI I，都有都有_； 存在存在x x0 0I I, ,使得使得_. _. 对于任意对于任意x xI I，都，都有有_；存在存在x x0 0I I, ,使得使得_. _. 结论结论 M M为最大值为最大值 M M为最小值为最小值 f f（x x）M Mf f（x x0 0）= =M Mf f（x x）M Mf f（x x0 0）= =M M基础自测基础自测1.1.下列函数中，在区间（下列函数中，在区间（0 0，2 2）上为增函数的是）上为增函数的是 ( )( ) A.A.y y=-=-x x+1 +1

4、 B.B.y y= = C.C.y y= =x x2 2-4-4x x+5 D.+5 D. Bxy2x2.2.已知函数已知函数y y= =f f( (x x) )是定义在是定义在R R上的增函数上的增函数, ,则则f f( (x x)=0)=0的根（的根（ ） A.A.有且只有一个有且只有一个 B.B.有有2 2个个 C.C.至多有一个至多有一个 D.D.以上均不对以上均不对C3.3.已知已知f f( (x x) )为为R R上的减函数，则满足上的减函数，则满足 的实数的实数x x的取值范围是（的取值范围是（ ） A.(-1,1)A.(-1,1) B.(0,1) B.(0,1) C.(-1,0

5、)(0,1) C.(-1,0)(0,1) D. D.（-,-1)(1,+)-,-1)(1,+)C) 1 (|)1(|fxf4.4.设设x x1 1, ,x x2 2为为y y= =f f( (x x) )的定义域内的任意两个变量，有以的定义域内的任意两个变量，有以 下几个命题：下几个命题： ( (x x1 1- -x x2 2)f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0)0； ( (x x1 1- -x x2 2)f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0)0； 其中能推出函数其中能推出函数y y= =f f( (x x) )为增函数的命题为为增函数的命题为

6、_._.; 0)()(2121xxxfxf. 0)()(2121xxxfxf题型分类题型分类 深度剖析深度剖析题型一题型一 函数单调性的判断函数单调性的判断 例例1 1 判断下列函数的单调性，并证明判断下列函数的单调性，并证明. .)., 1 , 12)()2();, 1(,12)()1(2 xxxxfxxxf解解: :(1)(1)证明证明: :任取任取x x1 1、x x2 2（-1-1，+），且），且-1-1x x1 1 x x2 2，则有则有x x1 1- -x x2 200，-1-1x x1 1 0,+10,x x2 2+10,+10,x x2 2- -x x1 10.0.即即f f(

7、 (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0)0，所以，所以f f( (x x1 1)f f( (x x2 2).).,) 1)(1()(21212)()(21122121xxxxxxxfxf, 0) 1)(1()(22112xxxx12)(xxf 故故 在在上为减函数。), 1(2)(2)证明：证明：任取任取x x1 1、x x2 2R R，且，且x x2 2 x x1 11,1,则则f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)=)=(=(x x2 2+ +x x1 1)()(x x2 2- -x x1 1)+2()+2(x x1 1- -x x2 2) )=(=(x

8、x2 2- -x x1 1)()(x x2 2+ +x x1 1-2).-2).x x2 2 x x1 11,1,x x2 2- -x x1 10,0,x x2 2+ +x x1 12,2,x x2 2+ +x x1 1-20,-20,f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)=()=(x x2 2- -x x1 1)()(x x2 2+ +x x1 1-2)0,-2)0,即有即有f f( (x x1 1)f f( (x x2 2).).) 12() 12(222121xxxx)(2)(212122xxxx故函数故函数f(x)=-x2+2x+1在在1,+）上是减函数）上是减函数

9、.（1 1）设）设x x1 1、x x2 2是该区间上的任意两个值，且是该区间上的任意两个值，且x x1 1x x2 2；（2 2）作差）作差f f（x x1 1）- -f f（x x2 2），然后变形；），然后变形；（3 3）判定）判定f f（x x1 1）- -f f（x x2 2）的符号；）的符号；（4 4）根据定义作出结论）根据定义作出结论. .方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高1.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数 f(x)在其区间上的单调性，其步骤是：在其区间上的单调性，其步骤是：2.2.求函数的单调区间求函数的单调

10、区间 首先应注意函数的定义域，函数的增减区间首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集都是其定义域的子集; ;常用方法有：根据定义，常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质利用图象和单调函数的性质. . 一、选择题一、选择题1.1.若函数若函数y y= =axax与与 在在(0,+)(0,+)上都是减函数，上都是减函数， 则则y y= =axax2 2+ +bxbx在（在（0 0，+）上是）上是 （ ） A.A.增函数增函数 B.B.减函数减函数 C.C.先增后减先增后减 D.D.先减后增先减后增 解析解析 y y= =axax与与 在在(0,+)(0,+)上都是减函数，上

11、都是减函数， a a0,0,b b000且且a a11）是）是R R上上 的减函数，则的减函数，则a a的取值范围是的取值范围是 （ ） A.A.（0 0，1 1） B. B. C. D. C. D. 解析解析 据单调性定义，据单调性定义，f f（x x）为减函数应满足：）为减函数应满足：0, 0,3)(xaxaxxfx) 1 ,3131, 0(32, 0(. 131,3, 100aaaa即B3.3.若函数若函数f f( (x x)=)=x x3 3 ( (x xR R) )，则函数，则函数 y y= =f f(-(-x x) )在其定在其定义域上是义域上是 （ ） A.A.单调递减的偶函数单调递减的偶函数 B.B.单调递减的奇函数单调递减的奇函数 C.C.单调递增的偶函数单调递增的偶函数 D.D.单调递增的奇函数单调递增的奇函数 解析解析 f f( (x x)=)=x x3 3 ( (x xR R) )，则函数，则函数y y= =f f(-(-x x)=-)=-x x3 3 ( (x xR R) )显然在其定义域内是单调递减的奇函数显然在其定义域内是单调递减的奇函数. .