第8章扭 转

1、# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 第第 8 章章 扭扭 转转8-1 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图8-3 圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形 8-4 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件8-6 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转8-2 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 受力特点受力特点: :一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶。力偶。变形特点：变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。相邻横截面绕轴线作相对转动

2、。任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角扭转角, ,用用 表示。表示。工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴轴。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 扭转实例：扭转实例：# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 8-1 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图ABl# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭

3、转 如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为变为螺旋线螺旋线ab, 诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如B截面相对于截面相对于A截面转过一角度截面转过一角度bOb。为了分析横截面上的内力，取为了分析横截面上的内力，取m-m截面。截面。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 由图示任意横截面由图示任意横截面m- m左段杆的平衡条件可左段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截知，受扭杆件横截面上的内力是一个

4、作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩扭矩，常用，常用符号符号T表示。表示。 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 由由Mx（F）= 0T Me = 0即即T=Me 取取(c)图列方程可得相同的计算结果。图列方程可得相同的计算结果。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 扭矩的正负号由扭矩的正负号由右手螺旋法则右手螺旋法则规定：规定： 使卷曲右手的四指其转向与扭矩使卷曲右手的四指其转向与扭矩T的转向相同，的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为若大拇指的指向离开横截面，则扭

5、矩为正；反之为负。负。扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。T矢量指向离开截面为正，反之为负矢量指向离开截面为正，反之为负# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 一传动轴的计算简图如图所示，作一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2 kNm , MB=3.5kNm , MC =1 kNm , MD = 0.5 kNm , 转向转向如图。试作该传动轴之扭矩图。如图。试作该传动轴之扭矩图。 解：只要求出解：只要求出AB、BC、CD段中任意截面上段中任意截面上的扭矩

6、，即可作出扭矩图。的扭矩，即可作出扭矩图。例题例题 8-1# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 1-1截面：截面：Mx（F）= 0MA + T1 = 0得得T1=MA= -2 kNm 分别作截面分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图，如右图所示。所示。考虑考虑1-1截面截面例题例题 8-1# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 例题例题 8-1同理得同理得T2=1.5kNm , T3 = 0.5 kNm# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？该传动轴横截面上的最

7、大扭矩是多少？思考题思考题8-1# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第6 6章章 内力和内力图内力和内力图 作杆的扭矩图。作杆的扭矩图。思考题思考题8-21 m1 m0.2m0.1 m0.1 m4 kN1 kN2 kN# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8 8章章 扭转扭转 思考题思考题8-2参考答案参考答案T /kNmx0.40.2O1 m1 m0.2m0.1 m0.1 m4 kN1 kN2 kN# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 我们在前面讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这我们在前面讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题：样的问题：

8、杆件在横向平面杆件在横向平面内的外力偶的作用下，内的外力偶的作用下，要发生扭转变形，产要发生扭转变形，产生相对扭转角生相对扭转角 bO b (B截面相对于截面相对于A截面），截面），受扭杆之内力如右图。受扭杆之内力如右图。用分离体分析扭矩用分离体分析扭矩T 。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 本章主要研究以下内容：本章主要研究以下内容：(1) 薄壁圆筒扭转时的应力和应变；薄壁圆筒扭转时的应力和应变； (2) 等直圆截面杆受扭时的应力和变形；（等直圆等直圆截面杆受扭时的应力和变形；（等直圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。）杆受扭时其横截面仍为平面，求解较

9、简单。）(3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截面不再保持平面，要发生翘曲求解复杂。）面不再保持平面，要发生翘曲求解复杂。）# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应力？为什么？还是切应力？为什么？思考题思考题 8-3 答：切应力，因为与正应力相应的分布内力答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。之合力不可能是个作用在横截面上

10、的力偶。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为变量（以弧度计）称之为切应变切应变。8-2 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变平均半径为平均半径为 R0、厚度为、厚度为，且且 R0 。 Me A D B C Me g g# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称

11、性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，是沿外圆应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，是沿外圆周的切向。周的切向。Me A D B C Me g g# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 上述内容主要说明：上述内容主要说

12、明：(1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；(2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；(3) 薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。切线。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 对于薄壁圆筒（对于薄壁圆筒（d d 很小），横截面上其它各点很小），横截面上其它各点处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小

13、处处相等，方向则垂直于相应的半径。切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。 即如图中所示。即如图中所示。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 这样，知道了切应力这样，知道了切应力t t 的分布规律后的分布规律后 ，便可以利，便可以利用静力学关系用静力学关系r r 切向力相对圆心的力臂切向力相对圆心的力臂, ,可可用平均半径用平均半径R0代替代替 上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。当况下导出的。当d d /R0=10

14、 ，其误差为，其误差为4.5。AATrtd则则AARART00dtt从而有从而有)2/()2/()/(20000ddtRTRRTARTdAtdAd0RoTd0R dd0R dtd# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 由上图得由上图得 式中式中 R 为圆筒的外半径。为圆筒的外半径。 则则lRg /R lgMe A D B C Me g g# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 TOtg O20/(2)/TRR ltdg剪切比例剪切比例 极限极限t t t tp 通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以

15、发现，当外加力偶矩在某一范围内时，扭转角加力偶矩在某一范围内时，扭转角 与外力偶矩与外力偶矩M(此此时时 T=M )之间成正比。之间成正比。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 图中的线性关系为图中的线性关系为 t t = Gg g 上式称之为材料的上式称之为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律。 式中式中 G切变模量，单位为切变模量，单位为MPa。各种钢的切变模量。各种钢的切变模量约为约为8.0104 MPa，至于剪切比例极限，则随钢种而，至于剪切比例极限，则随钢种而异；异；Q235钢，钢，t tp 120 MPa。tg O剪切比例剪切比例 极限极限t t t tp

16、 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，切变理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，切变模量与其它两个弹性常数模量与其它两个弹性常数E和和n n 之间存在下列关系：之间存在下列关系：泊松比泊松比 )1(2n n EG# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面杆受扭时，实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面杆受扭时，我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀分布的。受扭的薄壁圆筒中那样是均匀分布的。8-3 圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形8.3.1 横截面上的切应力

17、横截面上的切应力 现在的关键在于：现在的关键在于： 确定切应力在横截面上的变化规律，即横截确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径面上距圆心为任意半径r r 的一点处切应力的一点处切应力t tr r与与r r的关系。的关系。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 首先观察受扭时，表面的变首先观察受扭时，表面的变形情况，据此作出涉及杆件形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，最后内部变形情况的假设，最后还要利用应力和应变之间的还要利用应力和应变之间的物理关系。物理关系。 (1) 几何方面几何方面 (2) 物理方面物理方面 (3) 静力学方面静力

18、学方面 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 1. 几何方面几何方面(1) 等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况下，圆周线间的相对纵向距离也不变。的情况下，圆周线间的相对纵向距离也不变。 如下图，实验表明：如下图，实验表明：# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 (2) 平面假设平面假设 等直圆杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘等直圆杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的轴线转动。同

19、样，等直圆杆受扭时，其那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一条半径其直线形状仍然保持为直线，横截面上任一条半径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。只是绕圆心旋转了一个角度。 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 取微段取微段dx分析：得半径为分析：得半径为r r的任意圆杆面上的切的任意圆杆面上的切应变。应变。(1)ddtan()ddxxrrr ggr式中：式中： 是扭转角沿杆长的变化率，按平面假设是是扭转角沿杆长的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，常量。这样，等直圆杆受扭时， g gr r 与与r r 成线性关系。

20、成线性关系。ddx# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 2. 物理方面物理方面由剪切胡克定律：由剪切胡克定律：t tr r=Gg gr r ，在，在 t tt tp 时，可把时，可把(1)式代入，得：式代入，得： 上式表明：受扭的等直杆在上式表明：受扭的等直杆在线性弹性范围内工作时，横截线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径面上的切应力在同一半径r r 的圆的圆周上各点处大小相同，但它们周上各点处大小相同，但它们随随r r 作线性变化，同一横截面上作线性变化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上，的最大切应力在圆周边缘上，方向垂直于各自的半径。方向垂直

21、于各自的半径。 (2)d()dGGxrrtgr# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 3. 静力学方面静力学方面ATAd r rt tr r2dddATGAxr式中的积分是整个横截面面积式中的积分是整个横截面面积A范围内每个微面积范围内每个微面积dA乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是横截乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是横截面的几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用面的几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来表示，即：来表示，即：（单位：（单位：mm4或或m4） AAId2pr rd()dGGxrrtgrpddTxGI故故pITr rt tr r #

22、工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 等直圆杆受扭时横截面上任等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式：一点处切应力的计算公式：若求若求t tmax，则令，则令r r =R，有，有pITr rt tr r pmaxITRt上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭的情况。性弹性范围内受扭的情况。改写成改写成PmaxWT t t其中扭转截面系数其中扭转截面系数 ， 常用单位：常用单位：mm3或或m3 。RIWpP# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 .OABT 思考题思考题

23、8-4 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩横截面，该截面上的扭矩T 亦如图所示，试绘出亦如图所示，试绘出水平直径水平直径AB上各点处切应力的变化图。上各点处切应力的变化图。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 T ABO思考题思考题8-4参考答案参考答案:# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 一受扭圆轴一受扭圆轴,由实心杆由实心杆1和空心杆和空心杆2紧配合而成。紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿试绘出切应力沿水平直径的

24、变化图，若水平直径的变化图，若(1) 两杆材料相同，即两杆材料相同，即G1=G2=G；(2) 两材料不同，两材料不同，G1=2G2。T 12思考题思考题8-5# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题8-5(1)答案：答案：T G1=G2=G21# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题8-5(2)答案：答案：T G1=2G221# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 8.3.3 扭转角扭转角d()dGxrtrATAd r rt tr rpddTxGIpddTxGI0pddllTxGI

25、# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 主要计算实心圆截面和空心圆截面。主要计算实心圆截面和空心圆截面。如图有如图有8.3.2 极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数Ip和和Wp 对于实心圆截面对于实心圆截面 AAId2pr rr rr rd2d A32/d2d422/02pdAIdA r rr rr rr r# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 对于空心圆截面（外径对于空心圆截面（外径D，内，内径径d） 式中：式中：a a =d / D16/2/3ppddIW )1(32)(32d2d444422/2/2pa ar rr r

26、r rr r DdDAIDdA3p4p/ 2161 1IDWD a a-# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 若若 l 范围内，范围内，T是常量，是常量，GIp也为常量，则上式为也为常量，则上式为GIp越大，扭转角越小，故称为扭转刚度。越大，扭转角越小，故称为扭转刚度。p p（弧（弧度度）TlTl=GIGI比较：比较：EAlFlN 0pddllTxGI# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 例题例题 8-2 一水轮机的功率为一水轮机的功率为P=7350 kW，其，其竖轴是直径为竖轴是直径为d =650 mm，而长度为，而长度为l =

27、6000 mm的的等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G =0.8105 MPa。求当水轮机以转速。求当水轮机以转速n = 57.7 r/min匀匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角相对扭转角 。 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 解：轴传递功率解：轴传递功率P (kW) ， 相当于每分钟传递功相当于每分钟传递功 W=1000P60(Nm) (1) 令令(1)、(2)相等，得相等，得外力偶作功外力偶作功 (2) nMMW2 nPM2100060 即即m)(kN

28、/55. 9 nPM例题例题 8-2# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 因此作用在轴上的外力偶矩因此作用在轴上的外力偶矩M为为m)(kN12177 .57/735055. 9 MmN1022. 1100012176 MT3333Pm0539. 016/)10650(16/ dWMPa6 .22/Pmax WTt t极惯性矩极惯性矩44pm0175. 032/ dIp/0.00523radTl GI例题例题 8-2# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：已知： M1=

29、1592Nm，M2=955Nm，M3=637Nm截面截面A与截面与截面B 、C之间的距离分别为之间的距离分别为lAB=300mm 和和lAC=500mm。轴的直径。轴的直径d =70mm, 钢的剪切弹性钢的剪切弹性模量模量G=8104 MPa 。试求截面。试求截面C对对B的扭转角的扭转角例题例题 8-3M3M1 d ABlABCAClM2# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 ppACABABACT lTlGIGI，例题例题 8-3M3M1 d ABlABCAClM2解：由截面法得解：由截面法得，两段内扭矩分别为两段内扭矩分别为T = 955 Nm, T = 63

30、7 Nm 。先分别计算。先分别计算B ，C截面截面对对A之扭转角之扭转角 ， , 则可以假想此时则可以假想此时A不动。不动。ABAC# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 上两式中的上两式中的Ip可以利用可以利用32/4pdI 94839550.38010( / 32)7101.5210radAB31.69 10radAC同理：例题例题 8-3M3M1 d ABlABCAClM241.7 10radBCACAB其转向与扭转力偶矩其转向与扭转力偶矩M3相同。相同。ABAB由于假想截面由于假想截面A固定不动，故固定不动，故截面截面B、C相对于截面相对于截面A的相对的相

31、对转动应分别与扭转力偶矩转动应分别与扭转力偶矩M2、M3的转向相同，从而的转向相同，从而 和和 的转向相同。由此可见，截面的转向相同。由此可见，截面C对对B的扭转角的扭转角 应是：应是：ACBC# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 直径直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩的钢圆轴，其横截面上的扭矩T=1.5 kNm，求横截面上的最大切应力。，求横截面上的最大切应力。思考题思考题8-6# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题 8-7 实心圆轴的直径实心圆轴的直径d =100 mm，长，长l =1m，作用，作用在两个端面上

32、的外力偶之矩均为在两个端面上的外力偶之矩均为Me=14 kNm，转，转向相反。材料的切变模量向相反。材料的切变模量G=8104 MPa。求：。求：(1) 横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭转角。转角。(2) 图示横截面上图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。三点处切应力的大小及方向。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 (1) t tmax=71.3 MPa = 0.01784 rad (2) t tA=t tB=t tmax= 71.3 MPa t tC=35.7 MPa思考题思考题 8-7参考答案：参考答案：#

33、 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 8.3.3 斜截面上的应力斜截面上的应力通过扭转实验发现：通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件系横截面剪断；低碳钢试件系横截面剪断； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成铸铁试件则沿着与轴线成45的螺旋线剪断；的螺旋线剪断； (3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。考虑斜截面上的应力。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 方法：扭杆假想切开斜截面方法：扭杆假想切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜

34、截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面围绕需研究的点上切一个单元体围绕需研究的点上切一个单元体# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 (1) 左、右横截面左、右横截面 (2) 顶、底面，径向截面顶、底面，径向截面 (3) 前、后面，切向截面前、后面，切向截面xxadcb# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题 8-8 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出（1）横截面）横截面AGB上应力沿直径上应力沿

35、直径AB的分布；的分布；（2）径截面）径截面ABEF上应力分别沿直径上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。的分布。ECFDBAGMeMe# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 ECFDBAGMeMe思考题思考题 8-8参考答案：参考答案：# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 现从受扭圆杆件的表面现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体取出一单元体, 它处于它处于纯剪切应力状态纯剪切应力状态,现改其为平面图表示：现改其为平面图表示：y a b c d e n x ata# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转

36、y a b c d e n x ata(a) 研究垂直于前后两个面的任意斜截面研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的上的应力应力,如图如图(a)、(b)。de 斜面作用着未知的正应力斜面作用着未知的正应力s sa a和切应力和切应力t ta a。 ttdetaanxc(b)asat设设de的面积为的面积为dA，则，则a aa asindd,cosdd AAAAcedc# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 ttdetaanxcasat0dcos)sind(sin)cosd(, 0 AAAFna as sa aa at ta aa at t简化后：简化后：a at

37、 ts sa a2sin 同理同理 0tF得：得： a at tt ta a2cos # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 ttdetaanxcasat当当a a0o与与a a90o时：时： t ta a有最大值，即为有最大值，即为t ta a=45o的情况下：的情况下： s sa a有极值，即为有极值，即为t t。a a=+45o，s sa a=s smin=-t t a a=-45o，s sa a=s smax=+t tt12344545tttabcd# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 由此看来，铸铁圆杆的所谓扭转破坏，其实

38、由此看来，铸铁圆杆的所谓扭转破坏，其实质上是沿质上是沿45方向拉伸引起的断裂。方向拉伸引起的断裂。 也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力的最大拉应力s smax总是等于横截面上相应的切应总是等于横截面上相应的切应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的横截面上的t t 作为依据。如下图所示。作为依据。如下图所示。MMmaxs断裂线断裂线smin# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 1. 薄壁圆筒扭转时的应力和变形。薄壁圆筒扭转时的应力和变形。小结：小结：2.

39、 圆杆扭转时的应力和变形。圆杆扭转时的应力和变形。(1) 横截面上的应力横截面上的应力20(1)2TRtd材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律g gt tG )2(、n n三者之间的关系三者之间的关系)1 (2)3(nEG# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 (a) 几何方面几何方面 (b) 物理方面物理方面(c) 静力学方面静力学方面d()d xrgrr rr rg gt t GddGxrtr AATdr rt tr r2dddATGAxr代入代入Ip得得pddTxGIPmaxp,WTIT t tr rt tr r# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案

40、第第8章章 扭扭 转转 (d) 极惯性矩和扭转截面系数极惯性矩和扭转截面系数实心圆截面实心圆截面32/4pdI 16/3PdW 空心圆截面空心圆截面)(3244pdDI )(1644PdDDW # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 扭转角扭转角斜截面上的应力斜截面上的应力0pddllTxGIpTlGIa at ts s2sin a at tt t2cos # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 思考题思考题 8-9 直径直径d =25 mm的钢圆杆，受轴向拉力的钢圆杆，受轴向拉力60 kN作用时，在标距为作用时，在标距为200 mm

41、的长度内伸长了的长度内伸长了 0.113 mm；当它受一对矩为；当它受一对矩为0.2 kNm的外力偶作的外力偶作用而扭转时，相距用而扭转时，相距200 mm的两个横截面相对转的两个横截面相对转动了动了0.732的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数常数E、G和和n n。 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 48p24m10833. 3,m10906. 4 IAEAFll alAFlEMP1016. 25 pTlGI4p8.17 10 MPaTlGI)1 (2nEG322. 012GEn思考题思考题 8-9参考答案：参考答案：# 工

42、程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 实心或空心圆截面杆受扭时实心或空心圆截面杆受扭时,杆内所有的点均杆内所有的点均处于纯剪切应力状态处于纯剪切应力状态,而整个杆的危险点在横截面而整个杆的危险点在横截面的边缘处。的边缘处。8-4 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件1. 强度条件强度条件受扭圆杆的强度条件：受扭圆杆的强度条件：maxt tt t 对于等截面杆：危险点必在对于等截面杆：危险点必在Tmax 所在截面边所在截面边缘处缘处, 即即Pmaxmax/WT t t由以上两式得到由以上两式得到/Pmaxt t WT# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章

43、章 扭扭 转转 根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆件进行件进行 (1) 校核强度校核强度(2) 选择截面尺寸选择截面尺寸(3) 计算许可荷载计算许可荷载2. 刚度条件刚度条件maxddx max 满足了强度条件，但若变形过大，必将对满足了强度条件，但若变形过大，必将对正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化率沿杆长的变化率 , 其最大值其最大值 不不超过某一规定的许可值超过某一规定的许可值 来表达，即来表达，即 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 来计算。化为角度

44、每米则为来计算。化为角度每米则为式中，式中，Tmax Nm，G Pa，Ip m4max式中式中 为单位长度杆的许可扭转角，单位为单位长度杆的许可扭转角，单位 ( /m) pddTxGI对于等直的圆杆，其对于等直的圆杆，其 按式：按式：max max180pTGI# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 书例书例8-4校核强度和刚度校核强度和刚度书例书例8-5选择截面尺寸选择截面尺寸 书例书例8-6 建立强度条件建立强度条件 许可扭转角许可扭转角 ，对于精密仪器的轴，对于精密仪器的轴 ，常常取，常常取 0.150.30 /m。至于一般的轴则取。至于一般的轴则取 2 /

45、m。 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 0.5 m 0.3 m 1 m ACDB1 2 3 1M2M3Md1 d2例题例题 8-4 阶梯形圆柱直径分别为阶梯形圆柱直径分别为d1= 4 cm , d2=7 cm,轴上装有轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率为输入的功率为P3=30 kW,轮轮1输出的功率为输出的功率为 P1=13 kW , 轴作匀速转动轴作匀速转动,转速转速n = 200转转/分分,材料材料的剪切许用应力的剪切许用应力t t =60 MPa,G = 80 109 Pa,许用扭许用扭转角转角 = 2 /m。试

46、校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 解解:计算扭矩的绝对值：计算扭矩的绝对值：强度校核：强度校核：mkN621. 0200/1355. 9/55. 9111 nPMTmkN432. 1200/3055. 9/55. 9333 nPMTmkN811. 0132 TTTMPa4 .4910410621. 01616633311maxt t t t dTAC段段：例题例题 8-40.5 m 0.3 m 1 m ACDB1 2 3 1M2M3Md1 d2# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 故

47、强度满足。故强度满足。刚度校核：刚度校核：AC段：段：MPa3 .2110710432. 11616633321maxt tt t dTDB段段：1max4948213218032 621 1801.77 /m 80 10410TGd 例题例题 8-40.5 m 0.3 m 1 m ACDB1 2 3 1M2M3Md1 d2# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 故刚度满足。故刚度满足。DB段：段：3max4948223218032 1432 18080 107100.44 / mTGd 例题例题 8-40.5 m 0.3 m 1 m ACDB1 2 3 1M2M

48、3Md1 d2# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速已知轴的转速n=100 转转/分，传输功率分，传输功率P =7.5 kW,材料材料的许用切应力的许用切应力t t =40MPa , 试选择实心轴直径试选择实心轴直径d1和内和内外径比值为外径比值为0.5的空心轴的外径。的空心轴的外径。例题例题 8-52d1d3d# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 解解:计算扭矩：计算扭矩：计算实心轴直径计算实心轴直径,由强度条件由强度条件2d1d3d

49、mN716mNk1005 . 755. 955. 9 nPT1631maxt tt t dTmm45m1040/71616361 d例题例题 8-5# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 计算空心轴直径计算空心轴直径,由强度条件由强度条件:2d1d3d)1(16432maxt ta at t dTmm46m)5 . 01(1040/716163462 d例题例题 8-5# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 8-6 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转1. 几个概念几个概念 非圆截面杆受扭时非圆截面杆受扭时,横截面会发生翘曲。因横截面会发

50、生翘曲。因此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆扭转时的应力变形的计算公式。扭转时的应力变形的计算公式。(1) 约束扭转约束扭转 非圆截面杆受扭时非圆截面杆受扭时,既然横截面要发生翘曲既然横截面要发生翘曲,因因此，如果翘曲受到牵制此，如果翘曲受到牵制, 例如杆件是变截面的，或例如杆件是变截面的，或者外力偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受到外者外力偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受到外部约束而不能自由翘曲，那么杆的横截面上除了有部约束而不能自由翘曲，那么杆的横截面上除了有切应力，还有正应力。这种扭转称为约束扭转。切应力，还有正应力。这种扭转称为约束扭转。

51、# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 (2) 自由扭转自由扭转横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。 要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力而无正应力，那么杆件必须是等截面的，而且只而无正应力，那么杆件必须是等截面的，而且只在两端受外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。在两端受外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 2. 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转

52、 主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。根据弹性力学的分析结果，矩形截面杆受扭时横根据弹性力学的分析结果，矩形截面杆受扭时横截面上最大的切应力在长边的中点，其计算式为截面上最大的切应力在长边的中点，其计算式为单位长度杆的扭转角：单位长度杆的扭转角：其中：其中：Wt 扭转截面系数扭转截面系数It 相当极惯性矩相当极惯性矩maxt/T Wtt/T GI GIt 杆的扭转刚度杆的扭转刚度# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第8章章 扭扭 转转 It 和和 Wt除了在量纲上与圆截面的除了在量纲上与圆截面的Ip 和和 Wp 相同相同外，在几何意义上则是不同的。外，在几何意义上则是不同的。其中其中a a和和b b由教材表由教材表8 -