第7章 首次积分与一阶偏

1、第6 6章 首次积分与一阶偏微分方程7.1一阶常微分方程组的首次积分一阶常微分方程组的首次积分n 1,nnyf x y yy112,nnyy yyyy1112221212,.nnnnndyfx y yydxdyfx y yydxdyfx y yydx 从第五章我们知道从第五章我们知道7.1.1首次积分的定义首次积分的定义在变换在变换之下，等价于下面之下，等价于下面的一阶微分方程组的一阶微分方程组（7.1.3）阶常微分方程阶常微分方程在第五章中，已经介绍过方程组（在第五章中，已经介绍过方程组（7.1.3）通解的概念）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的一和求法。但是除了常系数线

2、性方程组外，求一般的一阶微分方程组（阶微分方程组（7.1.3）的解是很困难的。然而在某些）的解是很困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓情况下，可以使用所谓“可积组合可积组合”法求通积分，下法求通积分，下面先通过例子说明面先通过例子说明“可积组合可积组合”法，然后介绍一阶常法，然后介绍一阶常微分方程组微分方程组“首次积分首次积分”的概念和性质，以及用首次的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（积分方法来求解方程组（7.1.3）的问题。先看几个例）的问题。先看几个例子。子。例例7.1.1 求解微分方程组求解微分方程组 22221 ,1 .dxyx xydtdyxy xydt （7.1.4）

3、解解 将第一式的两端同乘将第一式的两端同乘x，第二式的两端同乘，第二式的两端同乘y 12222yxyxdtdyydtdxx222222112d xyxyxydt 这个微分方程关于变量这个微分方程关于变量t和和22xy1222221Ceyxyxt1C其中其中 为积分常数。（为积分常数。（7.1.5）叫做（）叫做（7.1.4）的一个首）的一个首次积分。次积分。，然后，然后相加，得到相加，得到或或是可以分离的，因此是可以分离的，因此不难求得其解为不难求得其解为（7.1.5） 注意首次积分（注意首次积分（7.1.5）的左端）的左端, ,V x y t作为作为x，y，和，和t( ),( )xx tyy

4、t是微分方程组（是微分方程组（7.1.4）的解时）的解时，, ,V x y t才等于常数才等于常数1C，因此，因此1C因为式（因为式（7.1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分）是一个二阶方程组，一个首次积分（7.1.5）不足以确定它的解。为了确定（）不足以确定它的解。为了确定（7.1.4）的解，还）的解，还需要找到另外一个首次积分。需要找到另外一个首次积分。将第一式两端同乘将第一式两端同乘y，第二式两端同乘，第二式两端同乘x22yxdtdyxdtdxy的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当应随解而异。应随解而异。第一式减去第二式，得到第一式减去第二式

5、，得到即22yxdtdxydtdyx或或然后用然后用1arctandtxyd2arctanCtxy2C利用首次积分（利用首次积分（7.1.5）和（）和（7.1.6）可以确定（）可以确定（7.1.4）的）的通解。为此，采用极坐标通解。为此，采用极坐标cos ,sinxryr212211teCtCr ，tCeCrt221,11 （7.1.7）亦即亦即积分得积分得其中其中为积分常数。为积分常数。（7.1.6）由（由（7.1.5）和（）和（7.1.6）推得）推得或或因此我们得到方程组（因此我们得到方程组（7.1.4）的通解为）的通解为 222211cossin,11ttCtCtxyC eC e,dud

6、vdwvwwuuvdtdtdt0解解 利用方程组的对称性，可得利用方程组的对称性，可得 0dudvdwuvwdtdtdt从而得到第一个首次积分从而得到第一个首次积分 2221uvwC10.C 。 例例7.1.2 求解微分方程组求解微分方程组其中其中是给定的常数。是给定的常数。其中积分常数其中积分常数（1）同样由方程的对称性我们又有同样由方程的对称性我们又有 2220dudvdwuvwdtdtdt由此又得另一个首次积分由此又得另一个首次积分 2222222uvwC20C 利用首次积分（利用首次积分（1）和（）和（2），将），将u和和v用用w表示，之后代入表示，之后代入原方程组（原方程组（7.1.

7、8）的第三式，得到）的第三式，得到 22dwaAwbBwdt12CC和0,0.AB 其中积分常数其中积分常数（2）其中常数其中常数a，b依赖于常数依赖于常数而常数而常数（3）式（式（3）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分首次积分 322()dwtCaAwbBw3C是积分常数。因为方程组（是积分常数。因为方程组（7.1.8）是三阶的，）是三阶的，123123123,.ut C C Cvt C C Cwt C C C但是由于在式（但是由于在式（4）中出现了椭圆积分，因此不能写出）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。上述通解

8、的具体表达式。（4）其中其中所以三个首次积分（所以三个首次积分（1）、（）、（2）和（）和（4）在理论上足以）在理论上足以确定它的通解确定它的通解现在考虑一般的现在考虑一般的n阶常微分方程组阶常微分方程组 12,1,2,iindyfx y yyindx 其中右端函数其中右端函数niyyyxf,21在在1nGR内对内对12,nx y yy连续，而且对连续，而且对nyyy,21定义定义7.1.1设函数设函数12,nVV x y yy在在D的某个子域的某个子域G内连续，而且对内连续，而且对12,nx y yy是连续可微的。又设是连续可微的。又设12,nV x y yy不为常数，不为常数， 1122:

9、,nnyyxyyxyyxxJ（7.1.13）是连续可是连续可微的。我们有微的。我们有但沿着微分方程（但沿着微分方程（7.1.3）函数函数V取常值；取常值； 在区域在区域G内的任意积分曲线内的任意积分曲线 12,nV x yxyxyxCxJ常数12( ,)nx y yy时，有时，有 12,nV x y yy常数， 12,nV x y yyC12,nV x y yy为（为（7.1.13）的首次积分。）的首次积分。亦即亦即或当或当这里的常数随积分曲线这里的常数随积分曲线而定，则称而定，则称（7.1.14）为微分方程（为微分方程（7.1.13）在区域）在区域G内的首次积分。其中内的首次积分。其中C是是

10、一个任意常数，有时也称这里的函数一个任意常数，有时也称这里的函数对于高阶微分方程（对于高阶微分方程（7.1.1），只要做变换（），只要做变换（7.1.2），），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到积分的定义可以自然地移植到n阶方程（阶方程（7.1.1）。而其首）。而其首次积分的一般形式可以写为次积分的一般形式可以写为 1, ,nV x y yyC222sin00d xaxadt 为常数dxdt乘方程的两端，可得乘方程的两端，可得 222sin0dx d xdxaxdt dtdt然后积分，得到一个首次积分然

11、后积分，得到一个首次积分 221cos2dxaxCdt（7.1.15）例如，设二阶微分方程组例如，设二阶微分方程组用用一般的，一般的，n阶常微分方程有阶常微分方程有n个独立的首次积分，如果个独立的首次积分，如果n阶常微分方程组的阶常微分方程组的个独立的首次积分，则可个独立的首次积分，则可7.1.2 首次积分的性质首次积分的性质根据首次积分的定义，要判别函数根据首次积分的定义，要判别函数12,nV x y yy是否是方程组是否是方程组 12,1,2,iindyfx y yyindx求得求得n求得这个求得这个 阶常微分方程组的通解。阶常微分方程组的通解。n在区域在区域G内的首次积分，需要知道方程组

12、（内的首次积分，需要知道方程组（7.1.13）在在G内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法，解决下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法，解决了判别首次积分的困难。了判别首次积分的困难。定理定理7.1.1设函数设函数12,nx y yy 在区域在区域G内是连续内是连续12,nx y yyC是微分方程（是微分方程（7.1.13）在区域）在区域G内的首次积分的充分必要内的首次积分的充分必要条件是条件是 110nnffxyy是关于变量是关于变量12,nx y yyG的一个恒等式。的一个恒等式。 可微的，而且它不

13、是常数，则可微的，而且它不是常数，则（7.1.16）（7.1.17） 证明证明 先证必要性先证必要性 设（设（7.1.16）是方程组（）是方程组（7.1.13）在区）在区域域G内的一个首次积分。又设内的一个首次积分。又设 1122:,nnyyxyyxyyxxJ是微分方程组（是微分方程组（7.1.13）在区域）在区域G内的任一积分曲线。则内的任一积分曲线。则我们在区间我们在区间J上有恒等式上有恒等式12,( ),( ),( )nx y xyxyx常数 （7.1.18）两边对两边对x求导，则有求导，则有 11( )( )0nnyxyxxyy或在或在上恒有等式上恒有等式 110nnffxyy因为经过

14、区域因为经过区域G内的任意一点都有微分方程（内的任意一点都有微分方程（7.1.13）的）的一条积分曲线一条积分曲线亦即恒等式（亦即恒等式（7.1.17）成立。）成立。微分方程组（微分方程组（7.1.13）在区域）在区域G内的一个首次积分。内的一个首次积分。 证毕。证毕。（7.1.19）（7.1.20），所以（，所以（7.1.20）也就变成了区域）也就变成了区域G内的内的恒等式，恒等式，再证充分性再证充分性，设恒等式（，设恒等式（7.1.17）成立，则由于上述积分）成立，则由于上述积分曲线曲线在在G内，所以得到恒等式（内，所以得到恒等式（7.1.20），然后可由），然后可由（7.1.20）反推到

15、（）反推到（7.1.18）。这就证明了（）。这就证明了（7.1.16）是是定理定理7.1.2 若已知微分方程（若已知微分方程（7.1.13）的一个首次积分）的一个首次积分（7.1.14），则可以把微分方程（），则可以把微分方程（7.1.13）降低一阶。）降低一阶。证明证明 由定义容易推出首次积分由定义容易推出首次积分 1,nyy不能都恒等于不能都恒等于0，因此，不妨设，因此，不妨设0ny于是由隐函数定理，由首次积分（于是由隐函数定理，由首次积分（7.1.16）解出）解出 11( ,),nnyg x yyC ,1,2,1 .ninigxyxginyyy （7.1.22）的偏导数的偏导数（7.1.

16、21）而且它有偏导数而且它有偏导数将（将（7.1.21）代入到微分方程（）代入到微分方程（7.1.13）的前）的前n-1个式子，个式子，就消去了就消去了ny，从而得到一个，从而得到一个n-1阶的微分方程阶的微分方程 1111,1,2,1 .iinndyfx yyg x yyCindx假设它的解为假设它的解为 1111,nnyuxyux 111111,( ,)nnnnyuxyuxyg x uxuxC就是微分方程（就是微分方程（7.1.13）的解。）的解。（7.1.23）（7.1.24）我们要证函数组我们要证函数组（7.1.25）事实上，由于（事实上，由于（7.1.24）是方程（）是方程（7.1.

17、23）的解，所以）的解，所以（7.1.25）满足微分方程（）满足微分方程（7.1.13）的前）的前n-1个等式。因此，个等式。因此，我们只需证明它也满足微分方程（我们只需证明它也满足微分方程（7.1.13）的最后一个等）的最后一个等式。因为式。因为 11111111,nnnnndyggguxuxdxxyygggffxyy所以再由（所以再由（7.1.22）可得）可得 1111nnnndyffxyyydx 然后再根据首次积分然后再根据首次积分满足的充要条件满足的充要条件 11110nnnnfffxyyy得到得到 1,nnndyfx yydx其中其中1,nyy设微分方程组（设微分方程组（7.1.13

18、）有）有n个首次积分个首次积分 12,1,2,inix y yyCin 如果在某个区域如果在某个区域G内它们的内它们的Jacobi行列式行列式 1212,0,nnDD y yy 由式子（由式子（7.1.25）给出。这就证明了所）给出。这就证明了所需要的结论。需要的结论。（7.1.26）（7.1.27）则称它们在区域则称它们在区域G内是相互独立的内是相互独立的。 12,1,2,iinyx C CCin12,nC CC 证明证明 因为（因为（7.1.27）成立，所以由隐函数定理可以从）成立，所以由隐函数定理可以从（7.1.26）解出）解出1,nyy110,1,2,iiinninxyy （7.1.2

19、9）（7.1.28）其中其中为为n个任意常数（在允许范围内），个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方程（而且上述通解表示了微分方程（7.1.13）在）在G内的所有解。内的所有解。，令它们的表达式为（，令它们的表达式为（7.1.28）因此只要将（因此只要将（7.1.28）代入到（）代入到（7.1.26）就得到相应的关）就得到相应的关于于 的恒等式。然后再对的恒等式。然后再对 求导，即得求导，即得其中变元其中变元1,nyy由（由（7.1.28）给出。）给出。定理定理7.1.3 设已知微分方程（设已知微分方程（7.1.13）的）的n个相互独立的个相互独立的首次积分（首次积分（7.1.2

20、6），则可由它们得到（），则可由它们得到（7.1.13）在区域）在区域G内的通解内的通解xx另一方面由于首次积分的充要条件，等式另一方面由于首次积分的充要条件，等式 11110,1,2,iiiinnnnfffinxyyy当变元当变元由（由（7.1.28）给定时仍然成立。因此联）给定时仍然成立。因此联111()()0,1,2,iinnnffinyy再利用条件（再利用条件（7.1.27），我们得到），我们得到 11,nnff其中变元其中变元1,nyy由（由（7.1.28）给出。这就证明了）给出。这就证明了（7.1.30）立（立（7.1.29）和（）和（7.1.30）推出）推出1,nyy（7.1.2

21、8）是微分方程组（）是微分方程组（7.1.13）的解。）的解。11,iinijjnjyCyC 0,1,.ijijij由此推出由此推出11,nnCC关于的的Jacobi行列式行列式 11111,0,nnnnDDD CCD yy这就证明了在（这就证明了在（7.1.28）中的）中的n个任意常数个任意常数1,nCC是相互独立的。因此，式（是相互独立的。因此，式（7.1.28）是微分方程组（）是微分方程组（7.1.13）的通解。的通解。另外，由（另外，由（7.1.26）对）对 求导易知求导易知其中其中jC 我们仍需证明通解（我们仍需证明通解（7.1.28）表示了微分方程（）表示了微分方程（7.1.13）

22、在区间在区间G内的所有解。内的所有解。 为此取微分方程（为此取微分方程（7.1.13）在区间）在区间G内的任一解内的任一解 11,nnyzxyzx令初始条件令初始条件 001100,nnyzxyzx其中其中0001,nxyyG。再令。再令 00001,1,2,iinCxyyin 然后利用隐函数定理，可以从方程然后利用隐函数定理，可以从方程 01,1,2,nix yyCin得到微分方程（得到微分方程（7.1.13）的一个解）的一个解 00001111,nnnnyx CCyx CC它满足初始条件它满足初始条件 001100,.nnyxyx（7.1.31）（7.1.32）（7.1.33）因此，式（因

23、此，式（7.1.32）和（）和（7.1.33）是微分方程组（）是微分方程组（7.1.13）满足同一初始条件的两个解。这样根据解的唯一性定理满足同一初始条件的两个解。这样根据解的唯一性定理推出推出 00001111,nnnnzx CCzx CC 即解（即解（7.1.31）可以从通解（）可以从通解（7.1.28）得到。）得到。 反之作为定理反之作为定理7.1.3的逆命题，我们容易证明下述结论：的逆命题，我们容易证明下述结论： 设已知微分方程（设已知微分方程（7.1.13）的通解，则由它可以得到）的通解，则由它可以得到n个个 独立的首次积分。独立的首次积分。 因此，在局部范围内求微分方程（因此，在局

24、部范围内求微分方程（7.1.13）的解等于求它）的解等于求它 的的n个相互独立的首次积分。个相互独立的首次积分。关于首次积分的（局部）存在性，我们有关于首次积分的（局部）存在性，我们有定理定理7.1.4 设设00001,npxyyG0p0,GG0G 1010,nnyxCyxC其中其中10,nx CCP在的某个邻域的某个邻域*G内。则由解对内。则由解对1111,nnnnyx CCyx CC 7.1.3 首次积分的存在性首次积分的存在性则存在则存在的一个的一个邻域邻域使得微分方程（使得微分方程（7.1.13）在区域）在区域内有内有n个相互独立的首次积分。个相互独立的首次积分。证明证明 任取初始条件

25、任取初始条件（7.1.34）初值的可微性定理推出，微分方程（初值的可微性定理推出，微分方程（7.1.13）满足初始）满足初始条件（条件（7.1.34）的解）的解 （7.1.35）对对1( ,)nx CC是连续可微的，而且是连续可微的，而且Jacobi行列式行列式 011,1,nnx xDD CC。因此，由（因此，由（7.1.35）可反解出）可反解出1,nCC得到得到 1,1,inix yyCin其中函数其中函数1,inx yy在在00PG的某个邻域11,0.,nnDD yy这样一来，我们就得到了微分方程（这样一来，我们就得到了微分方程（7.1.13）在区域）在区域0G内的内的n个相互独立的首次

26、积分（个相互独立的首次积分（7.1.36）。）。（7.1.36）内是连续内是连续可微的，而且可微的，而且Jacobi行列式行列式定理定理7.1.5 微分方程（微分方程（7.1.13）最多只有）最多只有n个相互独立的首个相互独立的首次积分。次积分。证明证明 设微分方程（设微分方程（7.1.13）有）有n+1个首次积分个首次积分 1,1,1iniV x yyCin 0G内我们有内我们有（7.1.37）则由首次积分的充要条件，在某个区域则由首次积分的充要条件，在某个区域 110,1,1iiinnVVVffinxyy我们可以将我们可以将11,nff看成是代数联立方程组（看成是代数联立方程组（7.1.3

27、8）111,nnD VVD x yy在区域在区域0G内恒等于内恒等于0.这就是说，任何这就是说，任何n+1个首次积分个首次积分的一个非零解。从而（的一个非零解。从而（7.1.38）的系数行列式）的系数行列式 （7.1.37）是函数相关的，亦即它们不是相互独立的。）是函数相关的，亦即它们不是相互独立的。（7.1.38）12,nV x y yyC1211212,nnnnV x y yyhx y yyx y yy*,*h 证明证明 因为（因为（7.1.26）中的首次积分是相互独立的，所以）中的首次积分是相互独立的，所以0G 11,0,nnDJD yy于是可以从函数组于是可以从函数组 1,1,2,ii

28、nx yyin 内它们的内它们的Jacobi行列式行列式其中其中可以用（可以用（7.1.26）来表达，亦即）来表达，亦即是某个连续可微的函数。是某个连续可微的函数。在区域在区域定理定理7.1.6 设（设（7.1.26）是微分方程（）是微分方程（7.1.13）在区域）在区域G内的内的n个相互独立的首次积分，则在区域个相互独立的首次积分，则在区域G内微分方程内微分方程（7.1.13）的任何首次积分）的任何首次积分（7.1.39）反解出函数组反解出函数组 1,1,2,iinyyxin然后把它们代入然后把它们代入12,nV x y yy1( ,)nx 11,nnh xV x yy1,nyy现在我们只需

29、证明函数上述函数现在我们只需证明函数上述函数h与与x无关。事实上，对无关。事实上，对（7.1.41）求导，我们有）求导，我们有 11,nnyyhVVVxxyxyx以及以及 11,1,1, ,ininDyinxJD yxy 因此由（因此由（7.1.42）可以得到）可以得到 11,1.,nnD VhxJ D x yy得到一个关于变元得到一个关于变元的函数的函数h,，即，即其中函数其中函数V中的变元中的变元由（由（7.1.40）式给出。）式给出。（7.1.40）（7.1.41）（7.1.42）但是，由于但是，由于1,nV 是微分方程（是微分方程（7.1.13）的）的n+1个个1,nx yy的的Jac

30、obi行列式恒等于行列式恒等于0，从而，从而 0.hx这就证明了函数这就证明了函数h不依赖于不依赖于x. 因此由（因此由（7.1.41）推出）推出 11,nnV x yyh即（即（7.1.39）式成立。）式成立。为了具体求出首次积分，也为了下一节的应用，人们常为了具体求出首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（把方程组（7.1.13）改写成对称的形式）改写成对称的形式 12121nndydydydxfff，首次积分，所以由定理首次积分，所以由定理7.1.5推出它们关于推出它们关于这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人们常把上

31、述对称式写成人们常把上述对称式写成 1211221212,nnnnndydydyYy yyYy yyYy yy12,nnY YYGR在区域内部不同时为零，例如内部不同时为零，例如0,nY 则（则（7.1.43）等价于）等价于 1212,1,2,1,ininnnYy yydyindyYy yyny相当于自变量，相当于自变量，1,2,1ixin相当于未知相当于未知并设并设如果设如果设这里的这里的函数，所以在方程组（函数，所以在方程组（7.1.43）中只有）中只有n-1个未知函数，个未知函数，连同自变量一起，共有连同自变量一起，共有n个变元。个变元。不难验证，对于系统（不难验证，对于系统（7.1.4

32、3），定理），定理7.1.1相应地改写为：相应地改写为：（7.1.43）12,ny yy连续可微，并且不恒等于常数，连续可微，并且不恒等于常数，12,ny yyC1121212121,0nnnnnnYy yyy yyYy yyy yyyy在在G内成为恒等式。如果能得到（内成为恒等式。如果能得到（7.1.43）的）的n-1个独立的个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（首次积分，则将它们联立，就得到（7.1.43）的通积分。）的通积分。 方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。次积分带来方便。设函数设函数则则是（是（7.1.

33、43）的首次积分的）的首次积分的充分必要条件是关系式充分必要条件是关系式dxdydzyxz221xyC1C是任意常数，再用比例的性质，得是任意常数，再用比例的性质，得例例7.1.3 求求的通积分。的通积分。解解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分次积分 其中其中 d xydzxyz两边积分，又得到一个首次积分两边积分，又得到一个首次积分 2xyCz其中其中2C是任意常数。（是任意常数。（7.1.46）和（）和（7.1.47）是相互独立）是相互独立2212,.xyCxyC zdxdydzcybzazcxbxay .00dxdydzx

34、dxydyzdzadxbdycdzcybzazcxbxay 的，将它们联立，便得到原方程组的通的，将它们联立，便得到原方程组的通积分 例例7.1.4 求求的通积分。的通积分。解解 利用比例的性质，可以得到利用比例的性质，可以得到于是有于是有 0,0.xdxydyzdzadxbdycdz 分别积分，就得到两个首次积分分别积分，就得到两个首次积分 22212,.xyzCaxbyczC将它们联立，就得到原系统的通积分，其中将它们联立，就得到原系统的通积分，其中12CC和为任意常数。为任意常数。从第从第3章和第章和第5.1节我们知道，寻找积分因子和首次积节我们知道，寻找积分因子和首次积分的问题等价于求

35、解一阶线性偏微分方程。本节将进一分的问题等价于求解一阶线性偏微分方程。本节将进一步证明，一类更广泛的一阶拟线性偏微分方程可以通过步证明，一类更广泛的一阶拟线性偏微分方程可以通过相应的特征方程（常微分方程组）的首次积分得解。下相应的特征方程（常微分方程组）的首次积分得解。下面我们将看到，与上述积分因子和首次积分有关的偏微面我们将看到，与上述积分因子和首次积分有关的偏微分方程问题仍需回到常微分方程范围内得到解决；事实分方程问题仍需回到常微分方程范围内得到解决；事实上，一阶偏微分方程的各种解法都离不开常微分方程的上，一阶偏微分方程的各种解法都离不开常微分方程的首次积分。首次积分。7.2 一阶线性偏微

36、分方程一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程的一般形式为一阶线性偏微分方程的一般形式为0,2122121211nnnnnxuxxxAxuxxxAxuxxxA0,121ininixuxxxAu为为nxxx,21的未知函数的未知函数2n 。假定系数。假定系数12,nA AA1,nxxD对是连续可微的，而且是连续可微的，而且121,0niniA x xx7.2.1一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程或简记为或简记为（7.2.1）其中其中函数函数它们不同时为零，即在区域它们不同时为零，即在区域D上有上有 考虑一个与考虑一个与偏微分方程组（偏微分方程组（7.2.1）相对应的）相对应的对称形式的对称

37、形式的常微分方程组常微分方程组 nnnnnxxxAdxxxxAdxxxxAdx,2121222111（7.2.3）（7.2.2）叫做（）叫做（7.2.1）的特征方程，它是一个（）的特征方程，它是一个（n-1）阶常微分方程组，所以它有阶常微分方程组，所以它有n-1个首次积分个首次积分 12,1,2,1inix xxCin下面通过求（下面通过求（7.2.2）的首次积分来求（）的首次积分来求（7.2.1）的解。）的解。定理定理7.2.1 假设已经得到特征方程组假设已经得到特征方程组(7.2.2)的的1n个首次积分个首次积分(7.2.3) 则一阶偏微分方程则一阶偏微分方程(7.2.1)的通解为的通解为

38、12112212112,nnnnnu x xxx xxx xxx xx 其中其中为一任意为一任意1n元连续可微函数。元连续可微函数。(7.2.5)证明证明 设设 12,nx xxC12,nA AA不同时为零，所以在不同时为零，所以在12,0nnAx xx 是方程（是方程（7.2.2）的一个首次）的一个首次积分。因为函数积分。因为函数局部邻域内不妨设局部邻域内不妨设这样特征方程（这样特征方程（7.2.3）等价于下面标准形式的微分方程组）等价于下面标准形式的微分方程组 11111111,.,nnnnnnnnnnA xxdxdxAxxAxxdxdxAxx110niinniAxAx亦即恒有亦即恒有 1

39、1,0niniiA xxx这就证明了（非常数）函数这就证明了（非常数）函数12,nx xx为方程为方程因此因此 也是（也是（7.2.7）的一个首次积分）的一个首次积分从而有恒等式从而有恒等式（7.2.7）12,nx xxC（7.2.8）（7.2.2）的一个首次积分的充要条件为恒等式（）的一个首次积分的充要条件为恒等式（7.2.8）成立。成立。 换言之，换言之，12,nx xx为方程（为方程（7.2.3）的一个首次积分）的一个首次积分12,nux xx为偏微分方程（为偏微分方程（7.2.1）的充要条件是的充要条件是的一个（非常数）解。的一个（非常数）解。因为（因为（7.2.4）是微分方程（）是微

40、分方程（7.2.3）的）的n-1个独立的首次积个独立的首次积分，所以根据首次积分的理论得知，对于任意连续可微分，所以根据首次积分的理论得知，对于任意连续可微的（非常数）的（非常数）n-1元函数元函数112112,nnnx xxx xxC就是（就是（7.2.3）的一个首次积分。因此，相应的函数）的一个首次积分。因此，相应的函数（7.2.5）是偏微分方程（）是偏微分方程（7.2.1）的一个解。）的一个解。反之，设反之，设12,nuu x xx是偏微分方程（是偏微分方程（7.2.1）的一个）的一个12,nu x xxC是特征方程（是特征方程（7.2.3）11,n，使恒等式，使恒等式（非常数）解，则（

41、非常数）解，则的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，存在连续可微函数存在连续可微函数12112112,nnnnu x xxx xxx xx 成立，即偏微分方程（成立，即偏微分方程（7.2.1）的任何非常数解可以表示）的任何非常数解可以表示成（成（7.2.5）的形式。）的形式。例例7.2.1 求解偏微分方程求解偏微分方程 2200zzxyxyxyxy解解 原偏微分方程原偏微分方程(7.2.9)的特征方程为的特征方程为 yxdyyxdx它是一阶常微分方程组，求得其一个首次积分为它是一阶常微分方程组，求得其一个首次积分为另外，如果允许另外，如果允

42、许是常数，则（是常数，则（7.2.5）显然包括了）显然包括了方程（方程（7.2.1）的常数解。）的常数解。因此，公式因此，公式(7.2.5)表达了偏表达了偏微分方程组（微分方程组（7.2.1）的所有解，也就是它的通解。）的所有解，也就是它的通解。Ceyxxyarctan22xyeyxyxzarctan22,其中其中例例7.2.2 求解边值问题求解边值问题 0,0,0,01,.fffxyzxyzxyzzfxy由定理由定理4.2.1知，原偏微分方程的通解为知，原偏微分方程的通解为为任意可微的函数。为任意可微的函数。解解 写出偏微分方程的特征方程为写出偏微分方程的特征方程为 zdzydyxdx,1,

43、dxdyxyCxy得再由再由 2,2lndydzyzCzy得zyyxzyxfln2 ,其中其中为任意二元可微的函数，可由边值条件确定为任意二元可微的函数，可由边值条件确定, , ,1,2ln1,2f x yxyyxyyxy令令,2xyy则有则有2x4,222yx22,24 由由故方程的通解为故方程的通解为因为因为于是于是因此因此代入到通解的表达式中，得到满足边值问题的特解代入到通解的表达式中，得到满足边值问题的特解 22222ln2ln, ,2ln422ln2ln16yzyzf x y zxyyzxyyzxz112212121212,(6.2.12 )nnnnnnuuuA x xx uAx x

44、x uAx xx uxxxB x xx u7.2.2一阶拟线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程的一般形式是一阶拟线性偏微分方程的一般形式是其中函数其中函数11,nnAABxx uG和 关于变元所谓所谓“拟线性拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的一次的连续可微连续可微 12,1,2,inA x xx uinu而而“非齐次非齐次”是指存在不含未知函数偏导数是指存在不含未知函数偏导数12,.nB x xx u方程（方程（7.2.12）与一阶非齐次线性偏微分方程）与一阶非齐次线性偏微分方程 120121121,ninnniiuA x xxBx

45、 xxBx xxuxCuxxxVn,21是（是（7.2.12）的隐函数）的隐函数0uV，则根据隐函数微分法得，则根据隐函数微分法得 各个系数各个系数中可能含有中可能含有未知函数未知函数的自由项的自由项（7.2.13）比较，显然式拟线性方程（比较，显然式拟线性方程（7.2.12）比线性方（）比线性方（7.2.12）更广泛。更广泛。下面我们将求解（下面我们将求解（7.2.12）的问题化成求解线性齐次方程）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设的问题，设形式的解，且形式的解，且 1,2,iiVxuinVxu ， 112212121212,0.nnnnnnVVA x xx uAx xx uxxVVAx xx uB x xx uxuV视为关于视为关于uxxxn,21的函数，的函数，uxxxVn,21的一的一uxxxVn,21应是方程（应是方程（7.2.15）的解。）的解。（7.2.14）将（将（7.2.14）代入（）代入（7.2.12）中，经过整理得）中，经过整理得（7.2.15）由此，可以将由此，可以将（7.2.15）变成了关于未知函数）变成了关于未知函数阶线性齐次偏微分方程。于是函数阶线性齐次偏微分方程。于是函数反过来，假设函数反过来，假设函数uxxxVn,2