第二章 单自由度系统振动

1、 一、单自由度系统模型二、研究单自由度数系统振动目的二、研究单自由度数系统振动目的1. 研究最低阶自由振动频率附近的振动特性研究最低阶自由振动频率附近的振动特性2.是振动学理论基础是振动学理论基础 图图21单自由度系统模型单自由度系统模型 ox)(tFckmstFOxmgxm1.叠加原理叠加原理 输入输入 输出输出 激励激励F(t) 响应响应x(t) 若若 )(1tF)(1tx)(2tF)(2tx 若输入若输入: :)()(2211tFtF )()(2211txtx则输出则输出:即：几个激励函数共同作用产生的总响应是各即：几个激励函数共同作用产生的总响应是各响应函数的总和。响应函数的总和。叠加

2、原理叠加原理 2. 线性方程描述线性方程描述一般机械系统并不是线性的一般机械系统并不是线性的,例如单摆例如单摆 m90mg(90)0mmgcos0gl为线性方程为线性方程 10( )xxxF t0Sing 为非线性方程为非线性方程sin微振动时微振动时: 质点仅在质点仅在弹性恢复力弹性恢复力作用下运动作用下运动 xm kxm 二、运动方程解二、运动方程解: 一、运动方程一、运动方程:设nkm0mxkx(1)20nxx(2)设设txBe(3)(3)代入代入(2)得得:220n特征方程特征方程121212nnjtjtttxB eB eB eB e1212()()nnBBcostBBsint1nj

3、2nj 0lxOxmj0000,ttxxxx 设初始条件为设初始条件为:sin()nxAt或或(5)三、对初始条件响应三、对初始条件响应2212ADD式中式中:112DtgD 则则2200020,tnnxxAxgx12nnxD costD sint(4)代入代入(4)或或(5)得得:00cossinnnnxxxttsin()nAt(6)121212nnjtjtttxB eB eB eB e1212()()nnBBcostBBsintjsin()nxAtoxATxtop 1.简谐性简谐性 2.周期与初始条件无关周期与初始条件无关 3.振幅与初位相取决于初始条件振幅与初位相取决于初始条件 4. 振

4、动中心移到静平衡置振动中心移到静平衡置 5.振幅振幅固有频率固有频率初相位初相位22nmTksin()nssmgxAtksin()nxAtmxkxmgmxmgkx()smxmgkxmxkx 0mxkxkl0Oxsm(2)坐标原点取在静平衡置坐标原点取在静平衡置 kl0Oxsm(1) 坐标原点取在弹簧原长坐标原点取在弹簧原长mx kxmg()sk xmgmx 1.T+U=E（常数）（常数） （1）式中：动能式中：动能212Tmx将所求将所求T，U代入方程（代入方程（1）可得）可得2.求固频求固频maxmaxTU由扭转振动扭转振动221kU势能势能212Ukx20nxxnskkggmmg2.静变形

5、法静变形法 1.运动微分方程法运动微分方程法3.能量法能量法sin()nxAt222211cos ()22nnTmxmAt22max12nTmAmaxmaxTUnkm22211sin ()22nUkxkAt2max12UkAkxm解：系统振动方程为：解：系统振动方程为：sin()nxAt22maxmax1122UkxkA2201122TmxJ2222211 1322 24xTmxmrmxr222maxmax3344nTmxmA2012JmrxrmaxnxA由由maxmaxTU得：得：23nkmcos()nnxAtmrkx.302mxkx()0dTUdt2231()042dmxkxdt302mx

6、xkxx3()02xmxkx0 x 无意义无意义运动方程运动方程2231,42Tmx UkxFkx弹簧刚度弹簧刚度:弹簧单位变形所需力弹簧单位变形所需力:mx0EIF33FEI33FEIk33nkEImm例：如图例：如图 在在 方向上广义刚度方向上广义刚度mx挠度挠度12()0mxkkx12nkkm2.静变形法静变形法12smgkk12nskkgm3.能量法能量法 (以静平衡位置为势能零点以静平衡位置为势能零点)22max12nTmA12nkkm1.运动微分方程法运动微分方程法 (以静平衡位置为原点以静平衡位置为原点)12()kkxm x mst1k2kPxm12ekkk kexmF1km2k

7、Fx1x2x11Fxk22FxkeFxk12xxx12111ekkk则：则：1212ek kkkk1212()enkk kmkkm求图示系统固频求图示系统固频1k1kEIm22kst1k2kPxm1km2kFx1x2x悬臂梁刚度悬臂梁刚度:33EIk enkm12ekkk1 212ek kkkk 如图所示，在无重弹性梁的中部放置质量为如图所示，在无重弹性梁的中部放置质量为m的物体，的物体，其静变形为其静变形为2 mm。如将物块在梁未变形位置处无初速释。如将物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。放，求系统的振动规律。stFOmgx(1)系统运动方程应为系统运动方程应为:()nxAsi

8、nt22100020,nnxxAxtgx(2)nskgm 此无重弹性梁相当于弹簧，其静变形相当于弹簧的静此无重弹性梁相当于弹簧，其静变形相当于弹簧的静变形，故：变形，故：70 rad/snstg初始条件：初始条件：002mm,0 xx 2200(/)2mmnAxx系统的振动规律：系统的振动规律：2cos70 (mm)xt 00arct()2nxgx stFOmgx 质量质量m = 0.5kg的物块沿光滑斜面的物块沿光滑斜面( = 30)无初速下滑。无初速下滑。当物块下落高度当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧时撞于无质量的弹簧(k = 0.8kN/m)上不再分离。求物块的运动规律。

9、上不再分离。求物块的运动规律。(1)系统运动方程应为系统运动方程应为:()nxAsint(2)nskgm22100020,nnxxAxtgxAh A初始条件为：初始条件为：0003.06mm,21.4m/sxxgh 0sin()mxmgkx20nxx40rad/sn2220000/35.1mm,arctan(/)0.087radnnAxxxx 35.1sin(400.087) mmxt物块运动方程为：物块运动方程为： 以物块的静平衡位置以物块的静平衡位置O为坐标原点，建立坐标系。受为坐标原点，建立坐标系。受力图如图示。物块的运动微分方程为：力图如图示。物块的运动微分方程为：xxoOmgNFhA

10、AAA0k xmx sinmg0sinkmg0 kxxm 图示系统图示系统, 弹簧长为弹簧长为 ,单位长质量为单位长质量为 求固频。求固频。kxmFd解解:势能最大为势能最大为2max12UkA求动能求动能:质量质量m动能动能:2112Tmx弹簧动能弹簧动能:222011()22 3Txxd 22max1()23nTmAmaxmaxTU3neqkkmm系统动能系统动能:2121()23TTTmxv(a)kv(b)xok(c)解解:正常工作时，重物等速下正常工作时，重物等速下降，钢索张力降，钢索张力T1=W；钢索；钢索为弹性体，系统可表示为为弹性体，系统可表示为图（图（b）的形式；）的形式；gW

11、kn/v(0)x 0,x(0)sin()(tAtxn 突然停止，把这一时刻作突然停止，把这一时刻作为时间的起点为时间的起点t=0，并以这一，并以这一时刻重物静平衡的位置作为时刻重物静平衡的位置作为坐标原点，则系统可简化为坐标原点，则系统可简化为图（图（c）的形式；）的形式； 求图示系统固频求图示系统固频,悬臂梁均质悬臂梁均质,单位长度质量为单位长度质量为 ,其它参数如图。其它参数如图。挠度曲线方程为：挠度曲线方程为：333236pyEI2332330123263pxTdpEIEI 12TTT2112Tmx231 32EIUxmaxmaxTUnsin()nxAtmEIdxp一、单自由度系统模型一

12、、单自由度系统模型二、线性系统二、线性系统1.叠加原理叠加原理2.由线性方程描述由线性方程描述10( )xxxF t1.运动方程运动方程:0mxkx 2.运动方程解运动方程解:sin()nxAtnkm2200020,tnnxxAxgx四、坐标原点取在静平衡置四、坐标原点取在静平衡置五、固有频率的计算方法五、固有频率的计算方法20nxx(1)运动微分方程法运动微分方程法:(3) 能量法能量法maxmaxTU()0dTUdt2.应用能量法求方程应用能量法求方程:六、广义刚度六、广义刚度1,并联弹簧等效刚度并联弹簧等效刚度:12ekkk等效刚度等效刚度:1 212ek kkkk(2) 静变形法静变形

13、法nskgm 系统统运动方程应为系统统运动方程应为:()nxASint22100020,nnxxAxtgx 3.库仑阻尼库仑阻尼1.粘性阻尼粘性阻尼(线性阻尼线性阻尼) 粘性阻尼力粘性阻尼力大小与大小与速度速度成正比，方向与速度相反。成正比，方向与速度相反。Fcx 2.结构阻尼结构阻尼(1) (1) 有阻尼自由振动特点有阻尼自由振动特点(2) (2) 阻尼参数识别阻尼参数识别应用达郎伯原理求运动方程应用达郎伯原理求运动方程kxcxkcxommx m0mxcxkx(1)txBe设设:代入代入(1)得得:02kcmmkmcmc22, 1)2(20)2(2mkmctteBeBtx2121)(则方程的

14、通解变为则方程的通解变为tmcetBBtx)2/(21)()(212,20n0d00d0n0 xxxAxtgxx :1.小阻尼小阻尼 ( 1)2.临界阻尼临界阻尼 ( = 1)tnetBBtx)()(21xton)1(22, 1ttnneBeBtx)1(2)1(122)(xtockmx例：建立如图所示系统的运动方程，试确例：建立如图所示系统的运动方程，试确定定临界阻尼系数临界阻尼系数与与有阻尼固有频率有阻尼固有频率。mxm cFkF解：发生解：发生角位移振动时有：角位移振动时有：l xmFFaMck )( 2)(mlcakaa整理成：整理成：0)()(22lamklamc mklan令：令：t

15、e得：得：222222,1)()2()(2lamkmlcalamc临界阻尼满足临界阻尼满足22220)()2(lamkmlacmkalc20mklcacc20)2(112mklcamkland按题设条件有：按题设条件有：11()()2iintnNTin tNTi NAAeeAAe11122ln2nnNTNTNTNT0.11ln22NN本方法可用于测量小阻尼系统本方法可用于测量小阻尼系统( 1)的阻尼比的阻尼比。 一个具有粘滞阻尼的质点一个具有粘滞阻尼的质点-弹簧系统，在自由振动了弹簧系统，在自由振动了N周后其振幅减为原来的周后其振幅减为原来的50%。求其阻尼比。求其阻尼比 。1ln 2nNT

16、故有故有:1.原理原理: 非粘性阻尼系统，其运动方程是非线性的，数学上难处非粘性阻尼系统，其运动方程是非线性的，数学上难处理，定义粘性阻尼系统理，定义粘性阻尼系统Ce，使二者在每一循环中损失能量，使二者在每一循环中损失能量相等。相等。cos()dFcxc At阻尼力阻尼力:对于简谐振动对于简谐振动:sin()xAt一个周期所耗散能量一个周期所耗散能量:2422100AEcxdxcx dtc A 结构阻尼由于材料受力变形而产生的内摩擦结构阻尼由于材料受力变形而产生的内摩擦由实验得由实验得222EkAhA式中式中: 结构阻尼常数；结构阻尼常数；k等效弹簧常数；等效弹簧常数；hk0emxc xkx1

17、2EE22ehAcAehkc式中式中: 为等效粘性阻尼系数为等效粘性阻尼系数ec结构阻尼的对数减率结构阻尼的对数减率:222221ednncdnkccmk4.库仑阻尼等效粘性阻尼系数库仑阻尼等效粘性阻尼系数mkW=mgdFwf4dEF A4deFcA等效粘性阻尼系统的运动微分方程等效粘性阻尼系统的运动微分方程:12( )( )( )x tx tx t( )sinF tFt设设:质点在质点在恢复力恢复力、阻力阻力及及激励力激励力作用下运动作用下运动一、简谐激励力作用下的强迫振动一、简谐激励力作用下的强迫振动sinmx cx kxFt(1)方程方程(1)的通解的通解:齐次通解齐次通解非齐次特解非齐

18、次特解2( )x t采用复数解法采用复数解法取虚部取虚部mkcxox( )F tm( )F tkx1( )sin()ntdx tAet(2)cx mx j tmxcxkxFe(3)瞬态响应瞬态响应设设:2j txXe(4)复振幅复振幅(4)代入代入(3)得得:2j tj tj tj tmXejc XekXeFe2( )jFXXeHFkmjc(5)2222()FXXkmc(6)12argcXtgkm(7)21( )Hkmjc(8)运动方程运动方程(3) 的解的解:j tmxcxkxFe2( )( )j tx tHFe将将(5)代入代入(4)得得:()2( )( )j tjtx tHFeXe（9）

19、由（由（9）取虚部：）取虚部：2()xXsint（10） 是响应与激励之比是响应与激励之比,称为复频响应函数称为复频响应函数, 或叫或叫频率响应、传递函数、位移导纳、动柔度。频率响应、传递函数、位移导纳、动柔度。稳态响应稳态响应方程（方程（1）通解为：）通解为：12()()ntdxxxAesintXsint（ 11 ）称为位移阻抗、动刚度。称为位移阻抗、动刚度。21( )( )j tFeHx t2xt2sin()xXt1sin()ntdxA etx1x1+x2x1+x2稳态运动也叫稳态响应或称强迫振动稳态运动也叫稳态响应或称强迫振动,因重点研究稳态因重点研究稳态运动运动,所以所以(10)式改为

20、式改为:(1)振幅振幅:02222222()(1)(2)XFXXkmcrr(2)相位相位:1221rtgr()xXsint强迫振动滞后于激振力强迫振动滞后于激振力,与初始条件无关与初始条件无关式中式中:0FXknr振幅与初始条件无关振幅与初始条件无关(3)强迫振动与激励力频率相同强迫振动与激励力频率相同(4)动力放大因子、振幅放大因子、增益因子动力放大因子、振幅放大因子、增益因子22201(1)(2)XMXrr 在在低频区低频区和和高频区高频区内可忽内可忽略阻尼的影响！略阻尼的影响！1M r 1,低频区低频区,准静态区准静态区M=1,K影响大影响大r 1,高频区高频区,惯性区惯性区0M m影响

21、大影响大阻尼的影响大阻尼的影响大0.751.25r共振区共振区：rMrM(6)系统品质因素系统品质因素:112rQM由由 可求得最大振幅时频率比为可求得最大振幅时频率比为:0dMdr2max12max2121M1221rtgr00180o1r 有突变有突变时时,当当 时时:00,0,1,2rrr r22201(1)(2)XMXrrrM 22222222211( )(12)121212jHkmjckrjrrrjkrrkrrHe (8)H() H() 1221rtgr 式中式中:2221( )12Hkrr 222112Mk Hrr幅值信息幅值信息相位信息相位信息r=0.7r=0.80.50.25A

22、BOImRe幅相特性曲线作幅相特性曲线作kH()的的极坐标图极坐标图 幅相特性曲线给出了响幅相特性曲线给出了响应全部信息应全部信息: 222112oAk Hrr相角相角:1221rtgr21( )12kHrjr21( )Hkmjc(8)22222222212112111rABOAtgrrrOBOAABrOBrOB频率信息频率信息(9)共振现象共振现象系统有阻尼系统有阻尼:max211221 2MmaxM 系统无阻尼系统无阻尼:无阻尼系统无阻尼系统共振时的特解共振时的特解01cos2nnxXtt Otx共振共振r=0.7r=0.80.50.25ABOImRemax2221122 2(1)(2)r

23、r证明：证明：如图如图a、b两点称为半功率点两点称为半功率点,则有：则有：2ban2,12a br 224barr2224ban2abn22224baabbannnban 2ban上式展开且略去上式展开且略去 项得：项得：2max12ab 222112k Hrr2max2rarnrbrnr2sinMxcxkxmet2202222222(1)412merX rMXrrrr2sin0Mxmetcxkx()xXsint 例如图中曲柄以常角速度例如图中曲柄以常角速度 转动转动,机机器总质量为器总质量为M,其它参数如图。用达郎其它参数如图。用达郎伯原理建立系统运动微分方程。伯原理建立系统运动微分方程。x

24、mckeM1221rtgr2222012XMXrXmerr动力放大因子动力放大因子:Mx kxcx mtM2me 系统整体作强迫振动，由于激励力大小不是常数，而系统整体作强迫振动，由于激励力大小不是常数，而与与 成正比，故其成正比，故其幅频特性曲线幅频特性曲线不同不同21221rtgr22 222(1)4rrrrr(1)，共振，共振，122，0,0 ,1,r 最大振幅发生在：最大振幅发生在：max2112rmax2121mx cx kxcy ky(1)设设:j tyYe代入代入(1)得得:()j tmxcxkxkjcYe(2)设方程设方程(2)解为解为( )j tx tXe代入代入(2)得得:

25、1、应用达郎伯原理求运动方程、应用达郎伯原理求运动方程2jkjcXYXekmjc22222214(1)4rXYrr312222t14rgrr22222214(1)4rXYrrsinsin()xXtXtm()k xy()c xymx msinyYtx02222221 4(1)4rXYrr312222t14rgrrrr（）当（）当0 和与无关和与无关2,r 1,（）当且阻尼小，小（）当且阻尼小，小2,r ,XY（）（）0 :0,0;,2rr 0:1,r响应与激励同相位响应与激励同相位1,r 响应与激励相位相反响应与激励相位相反 测振仪中物块质量为测振仪中物块质量为m，弹簧刚度为，弹簧刚度为k。被测

26、物体的振。被测物体的振动规律为动规律为y = Ysin t，如何设计测振仪，如何设计测振仪()()0mx c x yk x y(1) 仪器记录是质量块仪器记录是质量块m与机座之与机座之间的相对运动。设间的相对运动。设:zxy(2)(2)代入代入(1)得得:(3)y测振仪简图测振仪简图mx0lstOyz被测物体被测物体 取物块静平衡位为取物块静平衡位为 坐标原点坐标原点,则系统方程为：则系统方程为：xtmYymkzzczmsin2 sin()zZt设方程设方程(3)的解的解:(4)式中式中:22222mYZkmc1221tg2222Z12rYrr或或(5)由由(5)得得:22211211ZYrr

27、YZ,nr 2222212nZYrr22222112nZZYyrr,1nr2Z2222nnYrYrYyycmy 2222Z12rYrr2220,nnyYrZy :,0nr 将振源与需要防振的物体之间用将振源与需要防振的物体之间用隔离。隔离。将振源与支持振源的基础隔离开来。将振源与支持振源的基础隔离开来。将需要防振的物体与振源隔离。将需要防振的物体与振源隔离。 将振源与支持振源的基础隔离开来，减少通过地基传将振源与支持振源的基础隔离开来，减少通过地基传到周围物体上的振动强度。到周围物体上的振动强度。Mkc( )sinF tFtM( )sinF tFt机器振动时传到地基上的交变力为：机器振动时传到

28、地基上的交变力为：22222222214()()1412TFrFkXc XkXrrr22222214(1)4TrFFrr()kFkxkXsint()cFcxc Xcost机器强迫振动的方程为：机器强迫振动的方程为：()xXsint Fk和和Fc频率相同频率相同,相位差相位差 传给地基的传给地基的力幅为力幅为:,202222(1)4XXrr式中：式中：0FXkmkckFcF(t)Fx系统运动方程为：系统运动方程为：sinmxcxkxFt 将需要防振的物体与振源隔离，避免物体受到基础运将需要防振的物体与振源隔离，避免物体受到基础运动引起的振动。动引起的振动。 被动隔振的模型与被动隔振的模型与“由基

29、础运动引由基础运动引起的强迫振动起的强迫振动”的模型相同的模型相同22222214(1)4rXYrr22222214(1)4rXYrr(1) 100%sinyYtmkcx22222214(1)4rrrrr 1.只有当只有当 时才有时才有隔振效果隔振效果。在隔振区内。在隔振区内,加大加大阻尼反而使振幅增大，降低隔振效果。阻尼反而使振幅增大，降低隔振效果。2r 2 222214r1r2 r12r2. 为非隔振区。为非隔振区。 路面波形为路面波形为 y1 = Ysin(2 x /l) ，Y = 25mm，l = 5m。m = 3000kg，k = 294kN/m。忽略阻尼，求汽车以速度。忽略阻尼，求

30、汽车以速度v=12.5m/s前进时，车体的振幅及汽车的临界速度。前进时，车体的振幅及汽车的临界速度。lk12sinyYxlx汽车振动简图汽车振动简图m 以汽车起始位置为坐标原点，以汽车起始位置为坐标原点，路面波形方程：路面波形方程：122 vtsinYsinsin2v5 rad/sxyYYt汽车的固有频为：汽车的固有频为：/9.9rad/snk m频率为：频率为：n/1.59r 车体振幅为：车体振幅为：2/ |1| 16.4mmBYYr临界速为：临界速为：7.88m/s2ncrvk12sinyYxx汽车振动简图汽车振动简图22222214(1)4rBYrr一、周期激励一、周期激励( )()F

31、tF tnT( )mxcxkxF t(1)01(cossin)2nnnamxcxkxan tbn t系统的稳态响应为系统的稳态响应为:0221()2(1) (2)nnnnnaaxcon n tkkrr2 221sin()(1)(2)nnnnnbn tkrr(2)式中式中:nnnrnr1221nnnrtgr(3)tMkcxT F t02a的响应的响应2T基频，基频，02akn倍频倍频 1.脉冲概念脉冲概念:指在很短时间内有非常大的力作用时的有指在很短时间内有非常大的力作用时的有限冲量限冲量aFt( )F tt(1)冲量冲量( )ataFF t dtF t(4)(2)单位脉冲定义单位脉冲定义0li

32、m1attaIFdtFdt(5)显然显然,当当0t 时时,为使为使Fdt有有限值有有限值F (3)单位脉冲单位脉冲函数表示法函数表示法()0ta()ta0()1ta dt()ta0( )()()ftta dtfa(6)( )()F tFta(7)则则 时作用的脉冲力时作用的脉冲力F(t)产生的冲量表示为产生的冲量表示为:ta2. 非周期激振力作用下系统响应非周期激振力作用下系统响应如图系统当如图系统当t=0时时000,0 xx受一脉冲力作用受一脉冲力作用,由动定量得由动定量得:冲量冲量=动动量变化量量变化量0( )()()tF t dtmVtmxttF(t)ckxF(t)t00( )(0 )F

33、t dtFmx有有(0)Fxm 很小，很小， 系统的运动与系统的运动与 由由 ， 的的初始条件引起的自由振动是相同的，故有：初始条件引起的自由振动是相同的，故有： t(0)0 x(0)Fxmt 式式 为质量为质量m在受到冲量后的瞬在受到冲量后的瞬时速度，由于时速度，由于 很小，引入符号：很小，引入符号： 利用方程（利用方程（7）当）当 时可得：时可得：()xt 0t( )()F tFtata( )x t sinntddFetmt00t0(8) 引入单位脉冲响应函数引入单位脉冲响应函数 ,则系统对则系统对t=0时作用的脉时作用的脉冲力的响应可表示为：冲力的响应可表示为：( )h tsin()ntdxAet有阻尼系自由振动方程有阻尼系自由振动方程:21dn,220n0d00d0n0 xxxAxtgxx ( )x th tFd1sinmntdet0t0t0(10)( )( )x tFh t(9)令令: 若系统受如图所示任意时间函数作用若系统受如图所示任意时间函数作用:由（由（9)式知，对式知，对在在