高思导引四年级数阵图初步教师

1、第4讲数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。典型问题兴趣篇1. 在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.【答案】：【分析与解】：先如下图将空白处标上字母：根据题意：a11254；b11416；c11263.2. 请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15. 【答案】：【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母根据题意：上面圆内四个数之和等于15，可得ad1557312；同理，bd1553716；cd157

2、3514。由于d属于三个圆的公共部分，经对比发现可得：d1；a2；b6；c4.3. 如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。【答案】：【分析与解】：如下图：因为89aba7可得b10；那么每条线的和831021；那么a21894；c21876.4. 把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。【答案】：17648235【分析与解】：因为123836；所以每行的和等于36÷218；每列的和36÷49；从列入手，可将18这八个数分为和等于9的四组：18273645。再调整使行和等于18：我们发现1

3、423；8567.经过调整可得答案。5. 把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。【答案】：【分析与解】：经过观察发现，此图是个具有对称性的图案；若使三个小三角形的三边之和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。因此可将112对称性地分为六组如下：112211310495867.6. 在如图4-6所示的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。【答案】：132321213【分析与解】：利用此图的对称性；可将中间数2填入此图的正中心；然后利用每行每列都是1、2、3并注意使对角线的和等

4、于6可将此图填写完整。7. 把1至6分别填入图4-7的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13. 【答案】：【分析与解】：如下图所示：根据题意有：abcd13；cdef13将上述两个算式相加可得：（abcdef）cd26；也就是21cd26；得到：cd51423；abef1358；而82635只有这两种组成方式；因此排除掉cd23；所以cd14。8. 把1至6分别填入图4-8的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是多少？最小是多少？【答案】：最大13；最小11【分析与解】：如下图标上字母，并且设两条线上的和均为k。abcdef依据题意有：abck；bdef

5、k；将这两个等式相加可得：（abcdef）b2k；21b2k。由奇偶性可得：b只能取1、3、5；分别对应k的值为11、12、13.可知和最大为13，最小为11.9. 把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。【答案】： 【分析与解】：如下图所示标上字母，并设每条线的和为k。根据题意有：abck；adek；afgk；将三式相加可得：（abcdefg）2a3k；282a3k；经过分析可知：当a1时，k10；当a4时，k12；当a7时，k14。10.在图4-10的6个圆圈内分别填入不同的自然

6、数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？【答案】：8【分析与解】：根据题意可知；只要上面三个数确定，那么下面三个数也就确定了；若使最下面数最小，那么必须使最上面三个数最小，并且将最小数放在最中间；经过尝试有如下填法：拓展篇1. 将1至9分别填入图4-11中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.【答案】：【分析与解】：先标上字母：c15564；同理可得：b2；a7；d3；e8；f1.2. 在图4-12中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在

7、如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。【答案】：【分析与解】：先标上字母：有116aa9b；可得b8；和76821；c211713.3. 图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。【答案】：【分析与解】：先标上字母：我们发现：a与b总是在一起；同样：c与d；e与f；g与h也总是在一起；考虑将1分为4组：18273645.4. 在图4-14中的方格内填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是6，并且使得从

8、上到下第二行与第三行的数字之和都是7.【答案】：432203040【分析与解】：先标上字母有：abcdefghi总和2×（234）18；而中间三列之和6×318；所以ei0。同样第二、三行之和7×214；所以a18144。则可以根据和依次填出其他方框内数字。5. 请在图4-15的每个小圆圈内填入1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？【答案】：9【分析与解】：观察得知：每个圆上面均有四个小圆圈；经过试验可填出：；此时所有圆圈内所填数之和等于9。6. 把1至8分别填入图4-16的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不

9、等于1.【答案】：【分析与解】：先标上字母如下：发现b与除了d之外的所有格子相连，意味着在18范围内，与b相差1的只有d；同样的道理，与c相差1的只有a；那么可以推出a7，c8；b1，d2；进而可以推出其它位置。7. 在图4-17的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数. 请问：标有的圆圈内填的数是多少？【答案】：5【分析与解】：从和最小的4入手；413。若4的上面填1下面填3，可以利用线上的和算下去发现所填的数并不是7个连续的自然数；所以4的上面填3下面填1，此时可推断出5.8. 小悦是8月11日15点整出生的，她想把1，2，3，4，5，6，7这

10、七个数填入图4-18的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？【答案】：168【分析与解】：先标上字母如下：可知：abc8；ade11; afg15;将三式相加有：（abcde fg）2a34；解得a3；则bc514；若使圆上乘积最大，则c4；同理可得：d2；e6；f5；g7.此时圆上上个数的乘积为4×6×7168.9. 把1至6这六个数字填入图4-19六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？【答案】：最小是9，最大是12【分析与解】：标注字母如下图；并设每条

11、线的和为k：根据题意有：abdk; bfck; aeck；将三式相加：（abcdef）（abc）3k；21（abc）3k；若使k最小，则使abc最小；此时abc1236；k9.若使k最大，则使abc最大；此时abc45615；k12.10. 把1至11填入图4-20中“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等。【答案】：【分析与解】：标注字母如下图，并且设每条线上的和为m：有：acdm；bcm；efm；ghm；ijkm;五式相加得：（abcdefghijk）c5m；66c5m；设c4，m14；进而可得出上图结果。11. 请将1至6填入图4-21的六个圆圈内，使得四条直

12、线上的数字之和都相等。【答案】：【分析与解】：标注字母如下图，且设每条线上的和为k：有：abck；adfk；cdek；efk；将上述算式相加有：2（abcdef）b4k；42b4k。解得b6，k9，则e4；f5；a1；b2.12. 如图4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？武器手枪步枪自动步枪冲锋枪轻机枪威力数12345武器重机枪迫击炮火箭筒加农炮榴弹炮威力数678910【答案】：【分析与解】：标注字母，并且设每条边上的和为m如下图：有：abcdm；aefm；fg

13、him；dijm将上述算式相加有：（abcdefghij）（adfi）4m;也就是：55（adfi）4m;若使m最大，必须使adfi最大。但是当adfi78910时m无整数解。所以可解得：adfi68910时，m22取得最大值。经计算和实验，可填出如上图答案。超越篇1. 如图4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将1至12中的另六个数填入其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是28.【答案】：【分析与解】：由最下面的圆可知：空白两处所填数之和282521912；由最右面的圆可知：空白两处所填数之和287813121，因此下面的圆与右边的圆公共部分为12.依次类推，可将图

14、形补充完整。2. 如图4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.【答案】：【分析与解】：标准字母如图，根据题意有：a19b9997cabc可解得：a12；b4；c6.3. 把1至8填入图4-25中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和都相等。【答案】：【分析与解】：由正方体的对称性可将四条高分为182736459，每个面的和为18；适当调整每条高上的两个数的位置，使其也满足上下两面为18.4. 把1至12分别填入图4-26所示六角星图案的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该

15、是多少？并把下图补充完整。【答案】：【分析与解】：观察图形可知，每个数都用两次，所以每条线上的和2（12312）÷626；可将空白地方依次填出。5. 把1至8填入图4-27的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半。【答案】：【分析与解】：标注字母如下： 总和为123836；所以小正方形和为36÷312；大正方形和为12×224。再设每个小三角形的和为k；有：abhk；bcdk；hgfk；defk；将上述算式相加，可得k12.cg36（abh）（def）12；同理ae12；而124857；因此可得：a

16、8；b3；c7；d2；e4；f6；g5；h1.6. 图4-28中一共有6条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是6）填入其中的九个圆圈内，使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于23.【答案】：【分析与解】：标注字母如下 由题意有：2（6abh）6138；解得这九个连续的自然数为4、5、6、10、11、12；gh231211；因为dfhgfe，所以d与e相差1；同理a与b也相差1；又因为ab23617；可以解得a9；b8；d5；e4；从而c10；f7.7. 如图4-29，5×5的方格表被分成了五块，请你在每格中填入1、2、3、4、5中的一个（其中两个格子已经分别填入1和2），使得每行、每

17、列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等，请问：是多少？【答案】：14523【分析与解】：根据题意易知，所有方格内所填数的总和5（12345）75；所以每一块的和等于15. 将图中空白方格内标上字母如下图：（1）因为abc1215；且abc1e15；所以e2.（2）因为adAip15；且dAipq15；所以aq（3）因为mnst15；可知这四个数一定有重复的，因为如果不重复的话，最大23451415.重复的话也只能ns，因为m与t在对角线上不可能重复。155514552344253345；因为对角线上e2，所以第二组和第三组舍去。如果选择第四组的话，则m与t为4和5，ns3；再看a，所在的行已经有了1、2，所在的对角线已经有了2、4、5，所以a3；由知，q3.此时在第五行，q3，s3，矛盾，故舍去。所以ns5，m4，t1.（4）再看第四列，g和D只剩下2和3了，因为e2，所以g3，D2.（5）再看第五列，h和E只剩下3和4了，因为g3，所以h4，E3.（6）再看右上角的黑框，f15232341（7）再看第二行，d只剩下5了。（8）再看主对角线，a和C只剩下了3和5，但是考虑到d5，所以a3，C5.（9）再看第一行，不难得到b5，c4.（10）由（2）和（8）知，q3（11）再看第二列，不难得到B4，j1（12）第三行，A1.所以可得：14