向量专题整理

1、向量专题、定比分点的向量形式及运用定理：（定比分点公式的向量形式）设点P分RP2的比为（即RPPP2,1）,Q为平面上的任意1一点，则QPQRQP2.11证明：祁PP2，QPQP1QPQP,即1QPQPQP，1即QP-QPQP2.11推论1：设点P为OAB的边AB上的点，且APm,PBn,则OP-QA一OB.mnmn1 -推论2：设点P为OAB的边AB的中点，则OP10AOB.2推论3：OAB中，点P在直线AB上的充要条件是：存在实数t,使OPtOA1tOB成立。推论4：（定比分点公式）在直角坐标平面中，设Rx1,y1,P2x2,y2,Px,y,且点P分PP2的比为（其1),则xX11x2,y

2、y1y11例1如图，在ABC中，D,E是BC边的三等分点，D在B和E之间，F是AC的中点，G是AB的中点，设H是线段DF与EG的交点，求比值EH:HG.例2如图所示，已知ABC的面积为14cm2,D,E分别是边AB,BC上的点，且AD:DBBE:EC2:1,求PAC的面积。例3已知G是ABC的重心，过点G任作一条直线l,分别交边AB,AC于点D,E,若-，1ADxAB,AEyAC.求证：x二、奔驰定理与三角形五心的向量表达【奔驰定理】设P是ABC内一点，记三角形PBC,PCA,PBA面积分别为SA,SB,SCJUSapASbpBSCpC0.SPBDSABDSPBDSC延长AP至点D,则BDCD

3、SABDSACDSPCDSACDSPCDSB用同样方法可得PASBScPDSa由以上两式结合定比分点坐标公式分别可得SbScPDBPBCPB(1)SbScSbScPDSaPA(2)SBSC12化简即得SAPASBPBSCPC0.奔驰定理：点O为ABC内任意一点，求证:SbocOASaocOBSaobOC0.证明：考虑到存在、R,使得OAOBOC0如图：设ODOAOEOB,OFOC,ODDEDF0点O为DEF的重心。SAOC，SDOE由二角形面积公式得：SEOFSBOC，SDOF又SEOFSDOFSdoe,SBOCSAOCSAOB两边同除得:SBOCSAOCSAOB卜SBOCkSAOCkSAOB

4、k代入（1）式得：SbocOASaocOBSa0bOC0.例1设O为三角形ABC内一点，且满足：OA2OB30C3AB2BCCA,则Saob2sB0c3SC0ASABC的值为例2【2016年清华领军】若0为ABC内一点，满足SAOB：SBOC：SCOA4:3:2，设AOABAC,由奔驰定理易得下面5条结论(1)点P是ABC的重心PAPBPC0(2)点P是(3)点P是(4)点P是ABC的垂心ABC的外心ABC的内心tanAPAtanBPBtanCPC0sin2APAsin2BPBsin2CPC0aPAbPBcPC0(5)点P是ABC的旁心aPAbPBcPC0.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的

5、高的交点为H,OHmOAOBOC，则实数m例2如果ABC的外接圆的圆心为O,0HOAOB0C,那么H是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例3O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAABACABAC'0,，则P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心例4O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAABACaBsinBACsinCA.外心B.内心R，则P的轨迹一定通过ABC的（）C.重心D.垂心例5O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAABACABcosBACcosCR，则P

6、的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心C.重心D.AB边中点例6已知A、B、C是平面上不共线的三点，-1OP-1OA1OB12OC3A.内心B.垂心O为ABC外心，动点P满足R且0,则P的轨迹定过ABC的（三、等和线的实际运用【深入研究】若OCOD,那么OCxOAyOB-OA-yOBOD,-1,即xy过C点作直线lAB,在l上任作一点C，连接OC，交AB于D点，同理可得，以OA,OB为基地时，OC对应的系数和依然为在向量起点相同的前提下，所有以与AB平行的直线上面的点为终点的向量，其基地的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”。值的大小与起点到等和线的距离成正比，若等

7、和线与AB在起点的两侧时，值为负。例1如图，正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点，设APABAF则的取值范围是.解析工RF为k=l的等和线,P在ASE内时.EC是最近的等和线.ANADAMAM1过点的等和线是最远的2.一一.例2给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为2-,如图所不，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OCxOAyOB(x,yR),则xy的最大值是解析：所有与AB平行的it线中,切线离冏uit也,期此时取洱Hi大结合角度.不难得到#2=21 2一例3设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD-AB,BEBC,若2 3DE1AB2AC(1,2R),则i2的值为。过点A作淳二瓦,设AF与BU的延长线交于点儿务知肝“H,即。F为厅。的中位线，因此4+4=1例4如图，在扇形OAB中,值范围是OxOAyOB,则x3y的取AOB一,C为弧AB上的一个动点，若OC3竽令布那么则要