变量间的相关关系、统计案例教案绝对经典

1、§11.3变量间的相关关系与独立性检验I要点梳理|1、确定的函数关系两个变量的关系2、不确定的相关关系1、线性相关2、非线性相关3、不相关1.相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图.从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关.(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合.(3)若两个变量x和y的散点图中，所有

2、点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相当这条直线叫回归直线.若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关.(4)相关系数如果所有的点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间是不相关瓦nXiVnxy或ri1nn22，XixyiyVi1i1当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越也r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当r的绝对值>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系。2.线性回归方程(1)最小二乘法如果有n个点(X1,y1),(x2,y

3、2),，(xn,yn),可以用y1(a+bx1)2+y2(a+bx2)2+yn(a+bxn)2来刻画这些点与直线？bx台的接近程度，使得上式达到最小值的直线？bx台就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法(使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法)(2)回归方程(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的回归方程,其中，方程？依<?是两个具有线性相关关系的变量的一组数据G是待定参数.n(xx)(yiy)i1(x1x)(y1y)(x2x)(y2y).(xnx)(yny)n(Xi1x)2(xx)2(x22/2x).(xnx)xi小nxyi1n22xinxx1y1x*2x/nnx2

4、2%nx线性回归方程过样本点的中心（3、回归分析（1）y=bx+a+e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差（2）随机误差e的估计值？（§Vi?iyiC?）叫做相对于点（Xi,yi）的残差。残差平方和越大，则拟合效果越好，否则反之。（3）相关指数用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是:n(yiR2=iun(yii1y?)2，R2的值越大，说明残y）2差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中,越接近于1,表示回归效果越好.4.独立性检验R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2A2；变量B:Bi,B2；其2X2列联表:设A,B为两个变量，每一个变量都可以

5、取两个值，变量A:Ai,B1B2总计A1aba+bA2cdc+d总计a+cb+dn=a+b+c+d2构造一个随机变量K-bc+Ja+cb+d.利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.通常当K2<2.706时，认为没有充分依据显示两个变量有关，但也不能显示无关。参考数据：P(K2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8281.已知x、y的取值如下表:x0134V2.24.34.86.7I基础自测I从所得的散

6、点图分析，y与x线性相关，且y=0.95x+a,则a=答案2.6解析因为回归直线必过样本点的中心（父，飞）,又x=2,y=4.5,代入y=0.95x+a,得a=2.6.2.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元）,调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y=0.254x+0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元.答案0.254解析由题意知0.254（x+1）+0.321（0.254X+0.321）=0.254.3.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相

7、关关系，根据一组样本数据（xi,yi）（i=1,2,n）,用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正硕.的是（）A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（7,T）C.若该大学某女生身高增加1rcm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg答案D解析由于线性回归方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确.又线性回归方程必过样本点的中心（又，V）,因此B正确.由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm,其体重约增加0.85kg,故C正确.当某女生的身高为170cm时，其体重

8、估计值是58.79kg,而不是具体值，因此D不正确.题型分类深度剖析题型一两个变量间的相关关系【仞1】5个学生的数学和物理成绩如下表:、学生学科、.、.ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否具有相关关系.解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示.近物理胆绩）70-.60-*50°50曲加如仪教学成缱）由散点图可知，各组数据对应点大致在一条直线附近，所以两者之间具有相关关系，且为正相关.段或第1对变量x,y有观测数据（xi,yi）（i=1,2,10）,得散点图（1）;对变量u、v有观测数据（ui,vi）（i=1,2

9、,，10）,得散点图（2）.由这“两个散点图可以判断（）y口3025研*20*15*30,*,10二师一5则,Ji2345A7Xu12345673围（1）阳A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关答案C解析由图（1）可知一，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图（2）可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关.题型二线性回归分析2】.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据:(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程？&今;(3)试根据求出的

10、线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.n(Xx)(yiy)_参考公式：gJ,"V一叫相关系数n_3x'-xy'yr=/x)2i1nxix2户12V'y£鼻片=详解：(1)*16X2+8X3+10X5+12X6=158,6I8I101-12_2+-+5+62d=9,V=4=4,62+82+102+122=344.*->r=-jJ0.99.0.99>0J5“hl°,线性相关性非常强.£修凹二（2）_封=158,X=9,V=4,8344.a158二4X9衣414ab=3444X9，=20=0.7,a=-A-nV-bK=

11、4-0.7X9=-2.3,故线性回归方程为V=0.7x2.3.（3）由（2）中线性回归方程知，当x=9时，¥=0.7X9-2.3=4,故预测记忆力为9的同学的判断力约为4.I交式双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是如今，中国的双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.电商购物日”某淘宝电商分析近8年双十一”期间的宣请根据上表数据，用相关系数/说明与*的线性相关程度；（保留两位小数，参考数据：J21.414）传费用x（单位：万元）和利润y

12、（单位：十万元）之间的关系，得到下列数据:x234568911y12334568（1）请用相关系数r说明y与x之间是否存在线性相关关系;（2）根据（1）的结果，建立y与x的回归方程，并预测当x24时，对应的利润？为多少（R?,?精确到0.1）附参考公式：回归方程中？依台中b?和今最小二乘估计分别为nxi小i1-n2xinxy,a?2nxybx,相关系数n8xiyii1241,356,8182_2xix8.25,yiyi11i16.答案及解析:（1）由题意得6,y241,82X1356,xix28.25J所以所以(2)xy8xy2418648.2560.990.81,yiy与x之间具有线性相关关

13、系8xiyi182xii18xy8/2418356，686因为g?ybbx40.760.2,所以回归直线方程为？0.7x0.2,当x24时，?0.7x0.20.7240.216.6,即利润约为166万元.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x（单位：吨）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组对应数据:x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为y0.7x0.35,那么表格中t的值为.答案：3题型三线性回归分析31已知药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该中药用昆虫的6组观测数据如表:温度x/C212324272932产卵数y/个611

14、20275777_16_I66_6_6x)284,(yii1y)23930,线性回归模型的残差平方和为=236.64.、W工ifr-8.0605e3167,分别为观察数据中温度和产卵数经计算得：xx26,yy33,(xx)(yy)557,(x6ii6i1iiiii123,4,5,6,(1)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程？&?(精确到0.1)；n(yiq)2i1n(yiy)2i1答案及解析：6_(xix)(yiy)(1)依题意，n6,1?u6=(xx)2i1557846.6，(2)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程歹0.06e°.2303x,且相关指数R20.99

15、52,试与(1)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；用拟合效果更好的模型预测温度为35c时该中药用昆虫的产卵数(结果取整数)附：一组数据(x1,yj(x2,y2),(4,yj,其回归直线？饭？的斜率和截距的最小二乘估计分为n(xix)(yiy)_I?J-!-n,?y&,相关指数R2=1(xix)2i1所以？336.626138.6,所以y关于x的线性回归方程为？6.6x138.6。66_(2)利用所给的数据(y?)2236.64,(yiQ)23930i1i1得线性回归方程为?6.6x138.6的相关指数R216(yi?)2i16_(yiy)2i1236.64110.06

16、020.9398，393002303x一因为0.93980.9522,因此，回归模型y0.06e比线性回归方程模型？6.6x138.6拟合效果更好;眉八0占4、/日rn-r0_0-,cc-0.230335-8.0605由白勺温度x35C时，y0.06e0.06e,因为0.06e8.06053167,所以y0.063167190个，所以当温度x350C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个。变式训练3.厦门市从2003年起每年都举行国际马拉松比赛，每年马拉松比赛期间，都会吸引许多外地游客到厦门旅游，这将极大地推进厦门旅游业的发展，旅游部门将近六年马拉松比赛期间外地游客数量统计如下表：年份2012

17、年2013年2014年2015年2016年2017年比赛年份编号x123456外地游客人数y（万人）11.112.113.315.515.S（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.01）（2）若用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程、,且相关指数，请用相关指数说明选择哪个卞II型更合适.（精确到0.01）参考数据："=2"2f,屋”一小。宿式挑5卢_参考公式:回归方程"融”中，一!="号相关指数”【解析】详解：（1）有所给数据计算得:=g任+2+M+4+5+句=3.56WX,yt-6xy=234.2-273=2

18、12人工5-8尸-91-73.5二17.5&=y-bx-13-1.21X358.778.77所求的回归方程为y=1.21x+8.77（2）由（1）知回归方程为的相关指数R；=工_工飞3"=1一221一口,2=097孑0.8&因为，所以线性回归模型拟合效果更好题型四独立性检验4、微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组:0,2,2,

19、4,4,6,6,8,810分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(I)根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间;(n)若每天玩微信超过4小时的用户列为微信控”，否则称其为非微信控”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为微信控”与性别”有关?微信控非微信控合计男性50女性50合计1002参考公式：K，其中nabcd.abcdacbd(n)2(0.04a0.1420.12)1,解得a0.08由列联表可得K2_2100(38203012)505068322.941>2.706,所以有90%的把握认为微信控”与性别”有关.微信控非微信控合计男性381250女性302

20、050合计683210012分50份数变式训练4、某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：分散分蛆0,30)-即，时畋905-90,120)120,1501文科短救24833理科频毅3712203（I）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）（n）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：文理概念1530其它£20PS空心050250.150.1C0.050.0256.010-0001kQ4550,708L3232.0722.7003.841S.0248届57邪

21、10428问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关?（本题可以参考独立性检验临界值表：）（参考公式）K22nadbcabcdacbd15245475810531353解析(),J2076.5.估计文科数学平均分为76.5.5020814001000,1000560,7050理科考生有560人及格.2,、12701520530(n)k205025451.42.706,故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关.分12A组专项基础训练一、选择题（每小题5分）1.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万兀）4235销售额y（力兀）49263954根据上表可

22、得线性回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元华田c到江4+2+3+5749+26+39+54C答案b解析.x=4=2，y=4=42，7又y=bx+a必过（x,y）,.42=2x9.4+a,a=9.1.，线性回归方程为y=9.4x+9.1.当x=6时，y=9.4X6+9.1=65.5（万元）.2、在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t）,下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（xpqc（q0）1000位居民进行调查，经过计算得d.

23、yA.yabxB.ycd.xC.ymnx2答案及解析：.B3、为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从某居民点抽取了K24.358,根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A.有95%的人认为该栏日优秀B.有95%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C.有95%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系参考数据如下表:P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.455C.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284、经过对K2的统计

24、量的研究，得到了若干个临界值，当K2的观测值k3.841时，我们（）2P(K220)500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.在错误的概率不超过0.05的前提卜口认为A与B有美B.在错误的概率不超过0.05的前提卜口认为A与B无关C.在错误的概率不超过0.01的前提卜口认为A与B有美D.没有充分理由说明事件A与B有关答案：.A二、填空题（每小题5分卜1、已知两伽快数据枇下批共线毋的力.则表中缺失的数据fn-答案11三、解答题1、下表提供了某厂节能

25、降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？nXiyinxy_一(参考数值：3X2.5+4X3+5X4+6X4.5=66.5)参考公式：t)-,；2-2xinxi1解(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示.(2)由对照数据，计算得:外能耗:吨林也现)345

26、后日产垃：吨)3+4+5+6x=4=4.5（吨），y2.5+3+4+4.5=3.5（吨）.66.5,已知含学由最小二乘法确定的回归方程的系数为66.5-4X4.5X3.52=0.7,864X4.52c-ybx=3.5-0.7X4.5=0.35.因此，所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为:90(0.7X100+0.35)=19.65(吨标准煤).2.某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表:月份代码H123456而场点有率'1131520121yxyx可用线性回归模型拟合与之间的关系吗

27、？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由;2依一密55£匚优-%5=石£。片-尔=%无题寸3乐5参考数据：，r_£二心加鹏参考公式：相关系数忙产；回归直线方程尸如I,其中【解析】：,葭/为-用他-尸“5葭”-歹尸二】5屈前直36.5所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.3=9-取二，8-2*3.5=9m击分七工口4X=2xf5.,，回归直线万程为50人进行了问卷调查得到了如下列表：喜黄打篮球4小喜爱打篮球*合计一P女生尹10P户P合计已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为3、为了解某班学

28、生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班卜面的临界值表供参考:0.150.100.050.0250.0100.0050.001上2.0722.7068,8415.0246.6357.879H：.828(1)请将上表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.K2(参考公式：答案及解析：n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd),其中nabcd)（1）已知在全班50人中随机抽取1人.抽到喜爱打盘球的学生的概率为喜安打点球/不喜安打篮球/合计中魁F20，5/25女生垢10口15口25Q合计了204500、.50x（20x15-10x5/0门。心3

29、0x20x25x25（2）=K=8.333>7879，有。9.5%的把握认为喜蒙打篮球与性别有关.4.厉害了，我的国这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图.2期*20广年全国高横营运里程二W二规,心、y心一小”一巾EV八、，八产一,、B人/二方£十。产二根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了与时间变量的两个回归模型：ab（1）求，（精确到0.01）;产3（2）乙求得模型的回归方程为，你认为哪个模型的拟合效果

30、更好？并说明理由附：参考公式：乙E,F,士.小炉.P-1£佻-2尸=2武尸5z例寸尸f=11.3976.942850.220.093.72二）工+2+3+-+”二5【解析】（1）75m-g心心mma=y-bT=.39-0.245=0.19化09T72久尸尸0虫”浮尸/=三=1-r0,94店G三-123*72v->一aZ(h-jT(2),因为2%,所以模型的拟合效果较好.1、下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图注：年粉优码I-了牙瓦所原毕份刘。g7QU,(I)由折线图看出，可用线性回归模型拟合(II)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01

31、),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。779.32,tix40.17,7(yiy)20.55,巾=2.646.n参考公式:回归方程i1yii1i1n,(tif)(vy)b,a=ybf.(tit)2i1解：(I)由折线图中数据和附注中参考数据得t4,>t)228,二020.55,y与t的关系，请用相关系数加以说明;(tit)(yiy)i1tiYii1tyi40.1749.322.89,ri12.890.5522.6460.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系6分(n)由y9.321.331及（I）得b?(ti

32、t)(yii172(tit)i1y)2.89280.103,白亍自1.3310.10340.92.所以，y关于t的回归方程为：？0.920.10t10将2016年对应的t9代入回归方程得：？0.920.1091.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨12分2.为了研究黏虫孵化的平均温度x（单位：°C）与孵化天数y之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：组号123456平均温度15.316.817.41819.521孵化天数16.714.813.913.58.46.2他们分别用两种模型ybxa,ycedx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分

33、析，得到如图所示的残差图：2nn经计算得x17,y13.5,Xiyi1297,x21774,i1i1需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立y关于x的线性回归方（1）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据,程.（精确到0.1）n_bi1xxyiy?bn_2,?XX【答案】（1）应该选择模型；（2）?0.2x47.5(1)应该选择模型.(2副除异常数据，即组号为4的数据.剩下数据的平均数M=t(18x6-18=18；y=-(12,25«6-13.5)=12.工飞力=12&3,Q1-18x13.5=1

34、040.01；£(而厂=1964-34-1=1640-34.-1汇：三其一时1040.01-5x18x12玛_之_1Q"£：#一；作一1640.34-5x18a=T-tT=12+1,97«1847.5,诉以y关于舟缉生回归方程为：f=-2.0X+47.S.3.如图所示是某企业2010年至2016年污水净化量(单位：吨)的折线图.4年份靴号t5655545352注：年份代码1-7分别对应年份2010-2016.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合卜和工的关系，请用相关系数加以说明;(2)建立F关于'的回归方程，预测丁年该企业污水净化量;(3)请

35、用数据说明回归方程预报的效果.P=色引阴-犷二"，党立俏-跖,二；附注：参考数据：；r_工L(V砧打参考公式：相关系数，回归方程4+加中斜率和截距的最小;二乘法估汁公式分别为反映回归效果的公式为:斗“'一",其中R：越接近于，表示回归的效果越好.【答案】(1)见解析；(2)预测”1年该企业污水净化量约为厂吨;(3)回归方程预测的效果是良好的掌胭胖析:(1)由打线图中的数号和附注二在萋考教括月f=%6-f/二相EM供后*=13厮以5竽阳0935闰即与"的为0935,说明,与t的雌粗关押后相当大,从而可以用专忤叵IJ5模型榄附与t的关菰闺的尸=5及书石二”当；

36、沔=1=.、=1_W=5.一江4=51.上日民-中"*所*关于工的可奈住力3=6十白=%+51.将M17年对应融二$代入出=；X+51=5。Q因为R'二i班次贡型二口17年派三止三不孕Y星妁为§旺，=L一表注：=1一号=*0X75蚪二恃水承化量的垄异档武弓%是由年精引起的,这说E月四口疗程殁测的效史是艮好的.某试验基4.耐盐碱水稻俗称海水稻”是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉地为了研究海水浓度7%。)对亩产量吨)的影响通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量"与海水浓度”之间的相关关系用最小二乘法计算得"好之海水浓度Z(羯)345|F7亩产总找(吨)0.620-580.490.40,31残差a1工口4q=口脱间的线性回归万程为一6(1)求，并估计当浇灌海水浓度为8%。时该品种的亩产量(2)(i)完成上述残差表：R上片用2=0,g