微分方程建模

1、微分方程模型微分方程模型 含有未知函数及其导数的等式称为微分方程含有未知函数及其导数的等式称为微分方程常微分方程与偏微分方程、阶、解、通解与特解、定解条件与初值问题、线性方程常微分方程与偏微分方程、阶、解、通解与特解、定解条件与初值问题、线性方程与非线性方程与非线性方程凡是涉及凡是涉及“增加增加”、“减少减少”、“变化变化”、“速率速率”、“生长生长”、“衰减衰减”、“边际边际”、“运动运动”等问题往往采用微分方程建模等问题往往采用微分方程建模一、酒后驾驶认定一、酒后驾驶认定世界卫生组织的事故调查显示世界卫生组织的事故调查显示,大约大约50%60%的交通事故与酒后驾驶的交通事故与酒后驾驶有关有

2、关,酒后驾驶已经被列为车祸致死的主要原因酒后驾驶已经被列为车祸致死的主要原因.在中国在中国,每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起;而造成死亡的事故而造成死亡的事故中中50%以上都与酒后驾车有关以上都与酒后驾车有关,酒后驾车的危害触目惊心酒后驾车的危害触目惊心,已经成为交通已经成为交通事故的第一大事故的第一大“杀手杀手”.酒后驾驶的影响酒后驾驶的影响视觉障碍、视觉障碍、 运动反射神经迟滞、运动反射神经迟滞、触觉能力降低触觉能力降低 、判断能力降低、疲劳、判断能力降低、疲劳2010年年8月月,十一届全国人大常委会第十六次会议将首次审议刑法修正十一届全国人大常

3、委会第十六次会议将首次审议刑法修正案（八）草案案（八）草案,醉酒驾驶或被判刑醉酒驾驶或被判刑.饮酒驾车是指驾驶人员血液中酒精含量大于或等于饮酒驾车是指驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于小于80mg/100ml的驾驶行为的驾驶行为.醉酒驾车是指驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等醉酒驾车是指驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等80mg/100ml的驾驶行为的驾驶行为 _车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验 现有一起交通事故现有一起交通事故,在事故发生在事故发生3个小时后个小时后,测得司机血液中酒精含测得司机血液中酒精含量是量是56m

4、g/100ml, 又过又过两个两个小时后小时后, 测得其酒精含量降为测得其酒精含量降为40mg/100ml,试判断试判断: 事故发生时事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定司机是否违反了酒精含量的规定?设设x(t)为时刻为时刻t的血液中酒精的浓度的血液中酒精的浓度,已知已知(3)56, (5)40 xx(0)80?x牛顿定律牛顿定律 酒精挥发的速度与其浓度成正比酒精挥发的速度与其浓度成正比设设x(t)为时刻为时刻t的血液中酒精的浓度的血液中酒精的浓度,则有则有( ), ,xx tt tt tt ()( )( ),0 x ttx tkx tt k 则则0dd(3)56, (5)40, (0)x

5、kxtxxxx t0, 令0( )ektx tx17. 04056e40e56e25030kxxkkk代入得代入得 25.93e5656e17. 03017. 030 xx醉酒醉酒驾驶驾驶 在凌晨在凌晨1时警察发现一具尸体时警察发现一具尸体, 测得尸体温度是测得尸体温度是29 C, 当时环境温度是当时环境温度是21 C . 一小时后尸体温度下降到一小时后尸体温度下降到27 C , 若人的正常体温是若人的正常体温是37 C , 估计死者的死亡时估计死者的死亡时间间.牛顿冷却定律牛顿冷却定律 温度降低的速度与温差成正比温度降低的速度与温差成正比 有一有一30 30 12(m3)的车间的车间,空气中

6、空气中CO2的容积浓度为的容积浓度为0.12%为降低为降低CO2的含量的含量,用一台风量为用一台风量为1500(m3/min)的进风鼓风机通入浓度为的进风鼓风机通入浓度为0.04%的新鲜空气的新鲜空气,假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀,用用另一台风量为另一台风量为1500(m3/min)的排风鼓风机排出的排风鼓风机排出,问两台鼓风机同时开动问两台鼓风机同时开动10min后后,车间中车间中CO2的容积浓度为多少？的容积浓度为多少？ 设设x(t)表示时刻表示时刻t车间内车间内CO2含量含量则有则有1500 0.04% 15001080

7、0dxxdt单位时间改变量单位时间改变量= =进风量进风量 进风进风浓度浓度 时间时间- -排风量排风量 排风排风浓度浓度 时间时间 35536(0)12.96dxxdtx)21 (32. 4)(365tetx%06. 010800)21 (32. 410800)10(3650ex模型模型解解 (dsolve(Dx-3/5+5*x/36=0,x(0)=12.96,t)1010分钟后浓度分钟后浓度例例3一个水池有一个进水管一个水池有一个进水管A和一个排水管和一个排水管B，水池中有，水池中有1000kg的盐水。的盐水。A水管每分钟有浓度为水管每分钟有浓度为20%的盐水的盐水60kg注入注入,盐水流

8、入后即刻与水池盐水流入后即刻与水池内的盐水充分混合。内的盐水充分混合。B水管每分钟有水管每分钟有60kg的盐水从水池中流出的盐水从水池中流出,试建立水池内盐随时间变试建立水池内盐随时间变化的模型并进行分析化的模型并进行分析设设S(t)表示时刻表示时刻t池内盐的量池内盐的量盐的流入量盐的流入量%2060盐的流出量盐的流出量( )601000S t则有则有31250dSSdt503600503600dtSdSSdtdStceSctS06. 013600503|3600|ln0.060.062200200(200(0)3ttcSeSe 分析分析0,200)0(, 0,200)0() 1 (dtdSS

9、dtdSS200)(lim)2(tSt结论结论S=200是系统的稳定的平衡点是系统的稳定的平衡点(Matlab)t=0:0.01:60;s1=200-100*exp(-0.06*t);s2=200-150*exp(-0.06*t);plot(t,s1,r,Linewidth,2),grid onhold onplot(t,s2,b,Linewidth,2),grid ons3=200+100*exp(-0.06*t);s4=200+150*exp(-0.06*t);plot(t,s3,k,Linewidth,2),grid onplot(t,s4,m,Linewidth,2),grid onl

10、egend(S(0)=100,S(0)=50,S(0)=300,S(0)=150)微分方程求解的微分方程求解的matlab实现实现dsolve(equation,condition,自变量自变量) 例例 求解微分方程求解微分方程22xxexydxdy并加以验证并加以验证例例 求解微分方程求解微分方程 2xxyye满足初值条件满足初值条件y(1)=2e的特解的特解例例 求解微分方程求解微分方程 2 0 xyye例例 求解微分方程求解微分方程,dxdyyxdtdt (disp(A.x,A.y)例例 求解微分方程求解微分方程)5(3 3 xeyyyyx例例 求解常系数微分方程组求解常系数微分方程组A

11、xdtdx其中其中211102113A 以前以前,美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里,然后扔到水深为然后扔到水深为300英尺的海里。英尺的海里。 生态学家和科学家提出生态学家和科学家提出:圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？射性污染？美国原子能委员会美国原子能委员会:不会破裂不会破裂(用实验证明用实验证明).工程师提出工程师提出:圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？ 美国原子能委员会美国原子能委员会:决不会。决不会。二、放射性核废料处理问题

12、二、放射性核废料处理问题若圆桶与海底碰撞时速度超过若圆桶与海底碰撞时速度超过4040英尺英尺/ /秒秒,就会因碰撞而破裂。就会因碰撞而破裂。这几位工程师通过大量的这几位工程师通过大量的实验证明实验证明: :527.43632.2,7.35,63.99,GgV，一些参数及假设一些参数及假设:08. 0, ccvf假设圆筒下沉时假设圆筒下沉时,所受海水的阻力与其速度成正比所受海水的阻力与其速度成正比,即即受力分析受力分析fFGF浮xyGf浮Fo,/99.63,35. 733英尺磅英尺海水V磅，436.527G470.327,F 浮磅08. 0, ccvf根据牛顿第二定理根据牛顿第二定理1 )(/m

13、ctecFGtv浮极限速度为：极限速度为：(0)0GFcvdvdtmv浮秒英尺浮/86.713cFGv?t转换思路转换思路:将速度将速度 v 看成位置看成位置 y 的函数的函数 v(y)dydvvdtdydydvdtdv代入得代入得(0)0GFcvdvvdymv浮012mycvFGcvcFG)ln(浮浮其解为其解为隐函数关系隐函数关系(300)(300)(300)( ),1( )cvvvvGFv 浮012mycvFGcvcFG)ln(浮浮2)1ln(2xxx由近似公式由近似公式030023002mFGv)()(浮2 ()(300)30045.740g GFvG浮结论结论圆桶与海底的碰撞速度超过

14、圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺英尺/秒秒,会因碰撞而破裂。会因碰撞而破裂。 这一模型科学的论证了这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的是错误的.现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里抛到海里,改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井.我国政府在甘肃、广西等地修建我国政府在甘肃、广西等地修建核废料核废料深井深井,防止放射性污染防止放射性污染.三、最速降线三、最速降线 在地面上不同高度的两个点在地面上不同高度的两个点A和和B,

15、并且并且,不要让其中一个点直接位于另不要让其中一个点直接位于另一点的上方一点的上方.连接这两个点连接这两个点,当然可以作出无限多的不同曲线当然可以作出无限多的不同曲线,从直线、圆的从直线、圆的弧线到无数种其他曲线和波浪线弧线到无数种其他曲线和波浪线.现在设想有一个球沿着一条曲线从现在设想有一个球沿着一条曲线从A点滚点滚向较低的向较低的B点点.当然当然,球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状.找出一条找出一条曲线曲线AMB,使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短 -John.Bernoulli 1696年年6月于月于“不要草

16、率地作出判断不要草率地作出判断,虽然直线虽然直线AB的确是连接的确是连接A、B两点的最短线路两点的最短线路,但它却不是所用时间最短的路线但它却不是所用时间最短的路线.而曲线而曲线AMB则是几何学家所熟知的一条则是几何学家所熟知的一条曲线曲线,如果在年底之前还没有其他人能够发现这一曲线如果在年底之前还没有其他人能够发现这一曲线,我将公布这条曲线我将公布这条曲线的名称的名称.” -John.Bernoulli “很少有人能够解出我们的问题很少有人能够解出我们的问题,即使那些自称通过特殊方法不仅深入探究即使那些自称通过特殊方法不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学的疆域的人。

17、了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学的疆域的人。 - John.Bernoulli 问题问题 铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B,求连接它们的光滑求连接它们的光滑曲线使质点在重力作用下沿曲线以最短时间从曲线使质点在重力作用下沿曲线以最短时间从A点运动至点运动至B 0dxdT一般地一般地,kvsintandxdygyv2又又联立有联立有由能量守恒定律由能量守恒定律得得2221) (1 gkCyy即即令令从而从而积分得积分得代入初值代入初值而而摆线摆线挑战结果挑战结果: John.Bernoulli共收到解法各异的共收到解法各异的5份答卷份答卷(1)John.Bernoulli 光学光学+微积分微积分,最漂亮最漂亮(2)Jacobi.Bernoulli 变分思想变分思想(3)Friedrich.Leibniz (4)L.Hospital (5)Isaac.