高等数学(8)数值函数多重积分

1、1.概念、类型与性质概念、类型与性质2.二重积分二重积分3.三重积分三重积分4.第一型曲线与曲面积分第一型曲线与曲面积分5.在几何与物理方面的典型应用在几何与物理方面的典型应用7.1多元数值函数的积分多元数值函数的积分 -概念、类型与性质概念、类型与性质1.引例引例-概念抽象概念抽象-多元函数积分定义多元函数积分定义2.多元数值函数积分的基本类型多元数值函数积分的基本类型3.可积条件与积分基本性质可积条件与积分基本性质1.引例引例-概念抽象概念抽象-多元函数积分定义多元函数积分定义 我们已经知道，一元函数定积分的产生，是与很多我们已经知道，一元函数定积分的产生，是与很多现实问题密切相关的。现实

2、问题密切相关的。 但是一元函数的定义域仅仅是一维的，而我们的世但是一元函数的定义域仅仅是一维的，而我们的世界却是三维的。并且大量的现实对象也是不对称的。界却是三维的。并且大量的现实对象也是不对称的。 因此不难想到，在现实世界中，多元函数所应用的因此不难想到，在现实世界中，多元函数所应用的范围更广。而类似定积分的方法，在高维情况下肯定范围更广。而类似定积分的方法，在高维情况下肯定有十分广泛的用途。有十分广泛的用途。 即便是不知道多元函数积分的概念，仅从一元函即便是不知道多元函数积分的概念，仅从一元函数定积分的定义和应用，是否可以想到有什么问题数定积分的定义和应用，是否可以想到有什么问题可能会用到

3、多元函数的积分方法呢？可能会用到多元函数的积分方法呢？举几个例子。举几个例子。【例【例7-1】（求平面薄板的质量问题）设一质量非均匀分】（求平面薄板的质量问题）设一质量非均匀分布的薄板，将其置于布的薄板，将其置于xOy平面上，它所占有的区域为平面上，它所占有的区域为D (图图7-1), 在在D上任一点上任一点P(x,y)处的面密度为处的面密度为( )( , ),f Pf x y 这里这里 且在且在D上连续上连续.( , )0f x y OxyD（图（图7-1）i ),(ii 把区域把区域D任意分划为任意分划为n个小区个小区域域 (i=1,2,n)， 同时表示同时表示该小区域的面积该小区域的面积

4、.由于由于 连连续，因此薄板在每个小区域上的续，因此薄板在每个小区域上的质量可以近似的看做均匀分布质量可以近似的看做均匀分布.i i ( , )f x y（1）一个引例）一个引例 在每个在每个 上任取一点上任取一点 ，则该小区域质量的近，则该小区域质量的近似值为似值为i ),(ii ，整个薄板质量，整个薄板质量m的近似值为的近似值为iiiifm ),(11(,)nniiiiiimmf 记记 ，所谓，所谓 的直径指的是的直径指的是 上任意两点间距离的上确界上任意两点间距离的上确界.当当d 0时，每个时，每个 的面积的面积将趋于零，并且小区域的数目无限增大，上述近似值将趋于零，并且小区域的数目无限

5、增大，上述近似值就无限接近薄板的实际质量就无限接近薄板的实际质量.因此可以把上面和式的极因此可以把上面和式的极限规定为薄板的质量，即限规定为薄板的质量，即 i i i （1）max1的直径的直径inid 01lim(,)niiidimf （2）讨论上面例子）讨论上面例子 假设上面例子中的物质对象，不是一张平放的薄板。假设上面例子中的物质对象，不是一张平放的薄板。而是如下几种情况：而是如下几种情况： 一条平直的细丝；一条平直的细丝； 一块立体（区域）；一块立体（区域）； 一条可以放在平面上的弯曲细丝；一条可以放在平面上的弯曲细丝； 一条在空间中弯曲的细丝；一条在空间中弯曲的细丝； 一片空间中的曲

6、面。一片空间中的曲面。 同样假设知道物质的密度函数，求其整体质量，应该同样假设知道物质的密度函数，求其整体质量，应该怎样做？怎样做？（3）多元数值函数积分的定义）多元数值函数积分的定义（i）符号与辅助概念约定：）符号与辅助概念约定： i ：根据具体情况表示某空间中的闭集。在实：根据具体情况表示某空间中的闭集。在实数集中表示一个闭区间；在平面中可以是平面曲线，数集中表示一个闭区间；在平面中可以是平面曲线，也可以是一个闭区域；在三维空间中，可以表示空间也可以是一个闭区域；在三维空间中，可以表示空间曲线、曲面、三维闭区域。曲线、曲面、三维闭区域。、注：在教材中，注：在教材中， 即表示小区域（或闭集合

7、）也表示即表示小区域（或闭集合）也表示该区域（或闭集合）的度量（长度、面积、体积）。该区域（或闭集合）的度量（长度、面积、体积）。i 尽管这样规定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。尽管这样规定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。 ：表示闭集合：表示闭集合 的的“度量度量”（或（或“体积体积”） -对于曲线（也包括直线），表示长度；对于曲线（也包括直线），表示长度； -对于曲面（包括平面），表示面积；对于曲面（包括平面），表示面积； -对于立体区域，表示体积（设对于立体区域，表示体积（设 是可度量的）。是可度量的）。 )()(idd ，：分别表示区域：分别表示区域 和和 的直径。其的直径。其中中i

8、 ,|sup)(AyxyxAd 若若A是有界闭区域，是有界闭区域，d(A)是是A内任意两点距离中最大者。内任意两点距离中最大者。 ( ) （ 或或 ）：表示闭集合）：表示闭集合 的一个有限分划。在的一个有限分划。在已已知所分划的闭集合时，就简记为知所分划的闭集合时，就简记为 。 i 则称由这有限个闭集则称由这有限个闭集 为元素所组成的集合称为闭集为元素所组成的集合称为闭集合合 的一个分划（这里的分化都是有限分划）。的一个分划（这里的分化都是有限分划）。 的有限分划的有限分划：设有有限个闭集：设有有限个闭集 ， ), 2 , 1(ni 满足如下条件满足如下条件i i ； ini 1；0)( ji

9、ji，()max () |iid 分割宽度分割宽度：设：设 是是 的一个分划，记的一个分划，记 称为分划称为分划 的的宽度（宽度（或分割网的或分割网的网径）网径）。 （4）多元数值函数积分的定义：）多元数值函数积分的定义： fnR 设设 是一个可度量的有界闭集，包含在函数是一个可度量的有界闭集，包含在函数 的定义域中，如果的定义域中，如果(),0,0()(|()|)iiiiiIPf PI 即即 ，则称函数，则称函数 在在 上可积，上可积，IPfiii )(0)()(limf 并称并称 是是 在在 上的积分，记作上的积分，记作f I()0()()lim()iiif P df PI （2）注：有这

10、个概念定义，还派生如下一些辅属概念注：有这个概念定义，还派生如下一些辅属概念- 被积函数被积函数，积分（区）域积分（区）域，积分元素（微元）积分元素（微元），被被积表达式积表达式， 积分和积分和，积分号积分号。2.多元数值函数积分的主要类型与常用符号表示多元数值函数积分的主要类型与常用符号表示 下面假设都是在直角坐标系下的表示。根据积分域下面假设都是在直角坐标系下的表示。根据积分域的情况分类，有如下四大类：的情况分类，有如下四大类： dyxfD ),( （2） 是三维坐标空间中的区域是三维坐标空间中的区域V时，积分记为时，积分记为称为二元函数称为二元函数 在区域在区域D上的上的二重积分，二重积

11、分， 称为称为面面积微元积微元。f d0lim(,)iiiif （1）积分域）积分域 是是xOy坐标平面中的区域坐标平面中的区域D，则，则表示分划中小块区域表示分划中小块区域 的面积的面积 ，积分表示为，积分表示为 ii i dVzyxfV ),(称为三元函数称为三元函数 在在V上的上的三重积分三重积分， 称为称为体积微元体积微元。fdVL（3）当）当 是平面或空间中一条曲线是平面或空间中一条曲线 时，时， 表示的表示的 iis 是曲线分化中小弧段是曲线分化中小弧段 的长度的长度 。如果曲线是平面。如果曲线是平面曲线，则函数曲线，则函数 是二元函数，具体的积分表示为：是二元函数，具体的积分表示

12、为：isf isiiiLsfdsyxf),(lim),(0 如果是空间曲线，函数应是三元函数，积分记为如果是空间曲线，函数应是三元函数，积分记为0( ,)lim(,)iiiiiLsf x yz dsfs ，ds 称为称为弧长微元弧长微元。积分称为。积分称为第一型曲线积分第一型曲线积分，也，也称为称为对弧长的积分对弧长的积分。（4）当）当 是空间中的一块曲面是空间中的一块曲面 时，时， 是三元函数。是三元函数。 SfiiSiS 表示分划中某个小曲面块表示分划中某个小曲面块 的面积的面积 ，具体的，具体的积分表达式为积分表达式为0( , , )lim(,)iiiiiSSf x y z dSfS d

13、S 称为称为面积微元面积微元，该积分称为，该积分称为第一型曲面积分第一型曲面积分，或，或对面积的曲面积分对面积的曲面积分。3.多元数值函数积分的基本性质多元数值函数积分的基本性质（1）可积的必要条件）可积的必要条件-被积函数在积分区域内有界被积函数在积分区域内有界（注意，积分区域本身必须是有界闭集）。（注意，积分区域本身必须是有界闭集）。可积的一个充分条件可积的一个充分条件-被积函数连续。被积函数连续。 注意教材中对积分区域注意教材中对积分区域“度量度量”的记法的特殊约定。的记法的特殊约定。但是在这里我们为了不引起歧义，还是引入新的符号但是在这里我们为了不引起歧义，还是引入新的符号约定。约定。

14、以以 表示积分区域表示积分区域 的的“度量度量”（根据情况（根据情况分别表示长度、面积、体积）。分别表示长度、面积、体积）。)( （2）基本性质）基本性质)( （i） d1（ii）积分与函数的线性运算可交换）积分与函数的线性运算可交换-即积分是一个即积分是一个线性映射（从哪里到哪里？）。线性映射（从哪里到哪里？）。（iii）积分）积分对于积分区域的可加性对于积分区域的可加性。（iv）大小的比较）大小的比较 fg()()g P df P d |( )|( )|f P df Pd （v）积分的估值）积分的估值()()()mf P dM mM与与 分别是函数在积分区域上的最大和最小值。分别是函数在积

15、分区域上的最大和最小值。（vi）中值定理。存在）中值定理。存在 0P0( )() ()f P df P 注：除了符号以及涉及到的集合（积分区域与被积注：除了符号以及涉及到的集合（积分区域与被积函数）不同，其它在形式和关系上，与一元函数定函数）不同，其它在形式和关系上，与一元函数定积分的基本性质完全一样。积分的基本性质完全一样。7.2 二重积分的计算二重积分的计算1.几何意义几何意义2.直角坐标下二重积分的计算直角坐标下二重积分的计算3.多重积分的换元法多重积分的换元法4.极坐标下的二重积分极坐标下的二重积分7-2: 3(3，4);4(3，4);5(3，4，5)； 6(2，3，4，6，7); 8

16、(3，4); 9(2，3); 10(2)。第七章第第七章第2 2节作业题节作业题1.二重积分的几何意义二重积分的几何意义-曲顶柱体曲顶柱体体积的体积的“代数和代数和”2.直角坐标下二重积分的计算直角坐标下二重积分的计算（1）二重积分与一元函数定积分在计算方法上的）二重积分与一元函数定积分在计算方法上的差异。差异。（i）二重积分的区域很不规整；区域分化（面积）二重积分的区域很不规整；区域分化（面积微元）可能有不同的选择。而一元函数定积分，微元）可能有不同的选择。而一元函数定积分，积分区域是一个区间，区间分划的形式是唯一的积分区域是一个区间，区间分划的形式是唯一的 ，就是区间分段。就是区间分段。（

17、ii）计算积分，没有原函数可以直接利用。）计算积分，没有原函数可以直接利用。要解决二重积分，以及更高重的积分的计算问题，要解决二重积分，以及更高重的积分的计算问题，当然就要针对上面的不同，给出具体的计算规则。当然就要针对上面的不同，给出具体的计算规则。（2）计算二重积分的基本规则）计算二重积分的基本规则 注：由于积分区域本身往往不是矩形。所以看上注：由于积分区域本身往往不是矩形。所以看上去，分划并不整齐。但是因为函数连续有界，区域去，分划并不整齐。但是因为函数连续有界，区域边界的面积为边界的面积为0，在取极限的情况下，随着覆盖边，在取极限的情况下，随着覆盖边界的那些小矩形面积之和趋近于界的那些

18、小矩形面积之和趋近于0，这些边界处的，这些边界处的积分值也就趋近于积分值也就趋近于0了。了。（ii）将积分区域分解为）将积分区域分解为-X型、型、Y型区域的并集：型区域的并集：所谓所谓X型域型域，就是该区域是由两条垂直于，就是该区域是由两条垂直于X轴的直轴的直线与两条以线与两条以x为自变量的函数曲线围城的区域。为自变量的函数曲线围城的区域。类似可知类似可知Y型域型域构成方式。（考察构成方式。（考察关键区别在哪里关键区别在哪里！）！）（i）直角坐标系情况下，用小矩形分划积分区域，）直角坐标系情况下，用小矩形分划积分区域，面积微元记为面积微元记为 或或 （其意义自明）；（其意义自明）；dxdydy

19、dx（iii）将）将X型与型与Y型域上的重积分，转化为型域上的重积分，转化为“两重两重”相互联系起来的一元函数的定积分。相互联系起来的一元函数的定积分。（3）X型（型（Y型）域上的二重积分的计算。型）域上的二重积分的计算。根据二重积分的几何意义，所谓曲顶柱体的体积微元根据二重积分的几何意义，所谓曲顶柱体的体积微元 假设假设X型区域型区域 如下：如下：,)()(| ),(21baxxyxyx （iv）利用积分对区域的可加性，求总的积分。）利用积分对区域的可加性，求总的积分。( )( )dV xS x dxV （参考（参考图示图示7-7）为）为其体积为其体积为( )( )( , )bbaaDVdV

20、 xS x dxf x y dxdy 而而dyyxfxSxx )()(21),()( 于是二重积分计算就转换为两次一元函数的定积分于是二重积分计算就转换为两次一元函数的定积分的计算，即转化为的计算，即转化为累次积分（二次积分）累次积分（二次积分）：( , )=( )=bDaf x y dxdyS x dx 21( )( )( , )bxaxf x y dy dx 注注1：Y型域的积分与此类似；型域的积分与此类似；注注2：有界凸型区域，往往既是：有界凸型区域，往往既是X型域也是型域也是Y型域，型域，无论哪一种考虑，积分所得结果是一样的，积分时无论哪一种考虑，积分所得结果是一样的，积分时只需考虑哪

21、一种选择使计算更简便；只需考虑哪一种选择使计算更简便；注注3：更多重积分的计算方法，与二重积分的考虑：更多重积分的计算方法，与二重积分的考虑方式基本一样，可自行推广。方式基本一样，可自行推广。小结：以上过程，是数学中比较典型的方法显示小结：以上过程，是数学中比较典型的方法显示-将将复杂的对象转化为相对简单的对象，将新问题的解决复杂的对象转化为相对简单的对象，将新问题的解决转化为对老问题的解决。转化为对老问题的解决。 新积分的概念基础，依然还是新积分的概念基础，依然还是-极限极限！【例【例7-2】计算】计算 ，其中，其中D由由y轴、直线轴、直线 y=1及抛及抛物线物线 围成围成.)0(2 xxy

22、 Ddxdyxy2Oxyy=x2D1（图（图7-8）显然，积分域是凸集，显然，积分域是凸集，可以用两种方法计算，可以用两种方法计算，且繁简程度没有什么且繁简程度没有什么差别。差别。 而多元函数积分的计算，主要还是而多元函数积分的计算，主要还是归结为一元函数归结为一元函数的定积分计算，的定积分计算，但也要注意其自身的某些特点。但也要注意其自身的某些特点。【例【例7-3】计算】计算 ，其中，其中D是由曲线是由曲线 所围成的闭区域所围成的闭区域.和和2xy Ddxdyx222xy （图（图7-9）Oxy2ABD-11 比较两种顺序的累次积比较两种顺序的累次积分，观察一下哪一种简明。分，观察一下哪一种

23、简明。为什么？为什么？ 在某些情况下，不同顺序的累次积分，还不仅仅是在某些情况下，不同顺序的累次积分，还不仅仅是计算时的繁简差异。而是涉及到是否可以计算的问计算时的繁简差异。而是涉及到是否可以计算的问题。见下例。题。见下例。Oxyy=xD1（图（图7-10）1 Dxdxdye2【例【例7-4】计算】计算 ，其中，其中D由由x轴、直线轴、直线 x=1和和y=x围成（图围成（图7-10）.解：若先对解：若先对x后对后对y积分，则积分，则 Dyxxdxedydydxe101,22而而 不是初等函数，故不是初等函数，故 无法积出，因此无法积出，因此按这种累次积分次序无法算出所求二重积分若换序按这种累次

24、积分次序无法算出所求二重积分若换序计算计算2xedx 2xedx 接续【例接续【例7-4】22211000 xxxxDedxdydxedyxedx 21101()|(1).22xee 【例【例7-5】计算】计算 ，其中，其中D是下半是下半圆域圆域 （图（图7-11）. DydxdyexyxI)(30, 4),( 22 yyxyx（图（图7-11）Oxy2D-2利用积分域以及函数利用积分域以及函数某种对称性简化计算。某种对称性简化计算。接续【例接续【例7-5】解：注意积分区域是关于解：注意积分区域是关于y轴对称的，对于自变量轴对称的，对于自变量x，x+x3e y 是奇函数，是奇函数，y可视为关于

25、可视为关于x的偶函数，因而的偶函数，因而22043324()()0,yyyyDxx edxdydyxx edx 21200422yDDydxdyydxdydxydy 22016(4),3xdx 有有 记记 .20 , 04),( 21 xyxyxD3316()().3yyDDDxyx edxdyxx edxdyydxdy 于是于是【例【例7-6】设】设D是是xOy平面上以曲线平面上以曲线 y=x3,直线直线x=- -1和和y=1所围成的闭区域（图所围成的闭区域（图7-12）,求求.)sin(22 DdxdyxyyxIy=x3D1（图（图7-12）Oxy1-11D2D3D4 学会观察函数与积学会

26、观察函数与积分域的特点与关系，分域的特点与关系，利用这些关系和特点利用这些关系和特点适当分解积分域，可适当分解积分域，可以简化积分的计算以简化积分的计算-不要只是盲目的计算。不要只是盲目的计算。接续【例接续【例7-6】解：如图解：如图7-32所示，在第二象限画出曲线所示，在第二象限画出曲线 y=-x3，这样，这样就由曲线就由曲线 y=-x3 和两条坐标轴将和两条坐标轴将D分成了四个子区域，分成了四个子区域，其中其中D1和和D2关于关于 y 轴对称，而轴对称，而D3和和D4关于关于 x 轴对称轴对称12sin()0DDxy dx dy 因为函数因为函数 f (x,y)=sin(xy) 关于自变量

27、关于自变量 x 和和 y 均为奇均为奇函数，所以函数，所以且且34sin()0.DDxy dxdy 从而从而sin()0.Dxy dxdy 函数函数g(x,y)=2x2y关于关于y是奇函数，关于是奇函数，关于x是偶函数，所是偶函数，所以以从而从而242.9Dx ydxdy 34220DDx ydx dy 16204=2(1).9xx dx 312111222022222xDDDx ydxdyx ydxdydxx ydy 接续【接续【7-67-6】3.二重积分的换元法二重积分的换元法 从前面的例子可以看出，重积分计算的一个重要环从前面的例子可以看出，重积分计算的一个重要环节是对积分域的分析。是否

28、能够将积分域的几何形节是对积分域的分析。是否能够将积分域的几何形状、边界的解析表示简化，对于重积分的计算是十状、边界的解析表示简化，对于重积分的计算是十分关键的。分关键的。 假设在假设在xOy平面上的一个区域比较复杂（或其解析平面上的一个区域比较复杂（或其解析表达式复杂）。一个自然的想法是，做一个变换，表达式复杂）。一个自然的想法是，做一个变换，使得在另外一个坐标系中，这个积分区域变得比较使得在另外一个坐标系中，这个积分区域变得比较简明，从而使其边界的解析表示形式简化。简明，从而使其边界的解析表示形式简化。 如果存在这样的变换，那么被积表达式会有什么变如果存在这样的变换，那么被积表达式会有什么

29、变化呢？化呢？（1）-回顾一元函数定积分的换元法。回顾一元函数定积分的换元法。 用积分的一般表示形式，无论是第一类还是第二类用积分的一般表示形式，无论是第一类还是第二类换元公式，对于定积分而言，都是如下关系：换元公式，对于定积分而言，都是如下关系： ),(,)(| )(|)( dxxfdtttf其中，变换为其中，变换为 ，并且，并且)(tx 12000210(2 )2,2( )|( )|( 2 )|( 2)|2tdtxdxxtttdttdtxdxxt ，1( ,) , , ,( , )a ba b txtx2,2 还是还是，都有，都有例如无论是做变换例如无论是做变换。这个关系的几何解释是怎样的

30、呢？这个关系的几何解释是怎样的呢？注意：变换注意：变换 中，中，. 00; 21 xtxttx2 尽管尽管 ，但不是按照对应顺序映成的。，但不是按照对应顺序映成的。2 , 0)0 , 1( （2）多重积分的换元法公式（二重、三重积分）多重积分的换元法公式（二重、三重积分）dudvJvuyvuxfdxdyyxfDD |),(),(),(若若 则有则有 )(DFD ， ),(),(),(vuyvuxvuFyx( , )0( , )x yJu v ，。注注1：如果雅各比矩阵存在，且其行列式恒不为：如果雅各比矩阵存在，且其行列式恒不为0，则变换则变换F当然是连续，可偏导的；并且变换当然是连续，可偏导的

31、；并且变换F还是还是1-1的，起码在对应的两个积分区域之间。的，起码在对应的两个积分区域之间。因此还有因此还有 。)(1DFD 注注2：如果区域内有些点处雅各比行列式为：如果区域内有些点处雅各比行列式为0，但是，但是设有变换设有变换 这些点组成的集合的面积（或体积这些点组成的集合的面积（或体积-在三维情况）为在三维情况）为0，则上述积分变换的结果依然成立。则上述积分变换的结果依然成立。注注3：只要将上面的变换公式写成三重积分，甚至：只要将上面的变换公式写成三重积分，甚至n重积分的形式，结论也都是对的。重积分的形式，结论也都是对的。（3）极坐标系情况下的二重积分计算）极坐标系情况下的二重积分计算

32、 在二重积分的变换中，将直角坐标变换为极坐标是在二重积分的变换中，将直角坐标变换为极坐标是很常见的情况之一。很常见的情况之一。 设函数的定义域原本是由直角坐标系表示的，如设函数的定义域原本是由直角坐标系表示的，如果果应用极坐标表示这个区域应用极坐标表示这个区域，直接从几何角度分析，直接从几何角度分析，以射线与同心圆族分割，可得用极坐标表示的小区以射线与同心圆族分割，可得用极坐标表示的小区域面积表示为：域面积表示为：221()2iiiiiiiirrrr r drdrd 事实上，由直角坐标到极坐标变换的雅各比行列式事实上，由直角坐标到极坐标变换的雅各比行列式rrrryx cos,sinsin,co

33、s),(),(所得到的积分微元的变换也是一样的。这在情理之中。所得到的积分微元的变换也是一样的。这在情理之中。注：当极坐标表示的平面积分区域中含有极点，即矢注：当极坐标表示的平面积分区域中含有极点，即矢径为径为0的点，那么对矢径的积分下限，就从的点，那么对矢径的积分下限，就从0开始。开始。 尽管直角坐标与极坐标之间的对应不都是尽管直角坐标与极坐标之间的对应不都是1-1的，但的，但是在幅角变化不超过一周的情况下，对积分没影响。是在幅角变化不超过一周的情况下，对积分没影响。即面积微元是即面积微元是（图（图7-17）Oxy12,)(22 Ddyx 【例【例7-7】计算】计算 其中其中D是圆环域是圆环

34、域4122 yx（图（图7-17）.注：在注：在 平面（另一个直角平面（另一个直角坐标平面），这里的积分区域坐标平面），这里的积分区域变换为一个矩形。变换为一个矩形。 rO 所以变换之后的积分是很容易所以变换之后的积分是很容易计算的。计算的。2 , 02 , 1 【例【例7-8】把二重积分】把二重积分 化作在极坐标系下的化作在极坐标系下的累次积分，其中累次积分，其中D是由直线是由直线y=x , y=2x及曲线及曲线x2+y2=4x , x2+y2=8x 所围成的平面区域（图所围成的平面区域（图7-18）. Ddyxf ),(（图（图7-18）Oxy42arctan 4 cos8 r cos4

35、r注：变换之后在直角坐标注：变换之后在直角坐标 平面中的区域为平面中的区域为 rO 型域：型域：2arctan,4 .cos8cos4 r； 2arctan4cos8cos4)sin,cos(),( rdrrrfddxdyyxfD于是由变量代换公式得：于是由变量代换公式得：【例【例7-9】求双纽线】求双纽线(x2+y2)2=2a2(x2-y2)(a0)（图（图7-19）所围区域的面积所围区域的面积.（图（图7-19）OxyD4 注：极坐标表示双纽线为注：极坐标表示双纽线为,2cos222 ar 222arccos21ar 在第一象限有（四分之一区域）在第一象限有（四分之一区域）4, 0 这时在

36、这时在 坐标平面的积分域为坐标平面的积分域为 型域型域 rO4, 0 2cos20ar ；。 402cos20444 aDDrdrddxdydA于是于是【例【例7-10】 （1）计算二重积分）计算二重积分 ，其中，其中 D 是是1/4圆域圆域 Dyxdxdye)(22).0, 0()0(222 yxaayx （2）利用（）利用（1）的结果求反常积分）的结果求反常积分 0.2dxex（图（图7-20）OxyD1a2aD2D3（1）做极坐标变换，在）做极坐标变换，在 rO坐标平面上积分域为坐标平面上积分域为矩形：矩形： ，积分结果为，积分结果为2, 0, 0 a)4()exp(1(42 aa（2）

37、考虑图示中的三个积分区域）考虑图示中的三个积分区域可得：可得：)2exp(1(4)()exp(1(422022adxeax 接续【例接续【例7-10】解解：（：（1）在极坐标系下，区域）在极坐标系下，区域D可表示为可表示为,20 ,0),( arrD于是于是2222()20001()22axyrraDedx dydedre ).142ae （ 下面计算下面计算 220()xedx 2xe ，注意函数，注意函数 的原函数不的原函数不是初等函数。是初等函数。（2）构造三个区域）构造三个区域2221( , ),0,0,Dx y xyaxy2222( , )2,0,0,Dx y xyaxy 3( ,

38、) 0,0,Dx yxaya显然显然 （图（图7-20）132DDD 由（由（1）的结果得）的结果得221()xyDedx dy 21)4ae （，222()xyDedx dy 221).4ae （由于由于221()xyDedx dy 222()xyDedx dy 223()xyDedx dy 而而222223()2000=() .aaaxyxyxDedxdyedxedyedx 所以所以21)4ae （221).4ae （220()axedx 令令 ，上式两端趋于同一极限，上式两端趋于同一极限 ，于是得到，于是得到 a4 20.2xedx 注：由上面的积分（注：由上面的积分（2），可以得到概率

39、中正态分布），可以得到概率中正态分布函数的密度函数。函数的密度函数。 这个计算表明，即便被积函数的原函数没有初等表这个计算表明，即便被积函数的原函数没有初等表示，也不意味着无法通过积分求得某些定积分值。示，也不意味着无法通过积分求得某些定积分值。【例【例7-11】求球体】求球体 被圆柱面被圆柱面 所截得含在圆柱面内的立体体积所截得含在圆柱面内的立体体积V.)0(2222 RRzyxRxyx 22（图（图7-21）OxyzRRR（图（图7-22）Oxy cosRr rD注：从几何直观上分析，这是求（考虑对称性）注：从几何直观上分析，这是求（考虑对称性）积分域为积分域为22( , )| ()(0)

40、Dx yxyRxy 被积函数为被积函数为222( , )4f x yRxy 的积分。做极坐标变换，得到在的积分。做极坐标变换，得到在 坐标平面上的坐标平面上的积分域为积分域为 型域（见图型域（见图7-22）：）： rO .cos0,2, 0 Rr 附注：上述立体称为附注：上述立体称为维维安尼体，维维安尼体，假设在负假设在负y那半个平那半个平面上再截去这样一个体积，球体所剩下立体体积完全面上再截去这样一个体积，球体所剩下立体体积完全可能是有理数，只要半径是有理数，而与圆周率无关。可能是有理数，只要半径是有理数，而与圆周率无关。具体计算如下页所示。具体计算如下页所示。接续【例接续【例7-11】解解

41、：由对称性，只需求得该立方体在第一卦限部分的：由对称性，只需求得该立方体在第一卦限部分的体积，它的四倍即为所求立方体体积（图体积，它的四倍即为所求立方体体积（图7-21）在）在第一卦限内的体积是一曲顶柱体，其底为区域（图第一卦限内的体积是一曲顶柱体，其底为区域（图7-22）22( , )+,0,Dx y xyRx y 曲顶为球面曲顶为球面 ，故所求体积，故所求体积222yxRz DdxdyyxRV2224在极坐标系下在极坐标系下( , ) 0cos ,0,2DrrR 于是于是cos222004RVdRr rdr 2033)sin1 (34 dR342().323R 由上式可知，若用两个柱面由上

42、式可知，若用两个柱面 去截球体去截球体Rxyx 22 ，则所截下的体积为，则所截下的体积为2V，而球体所剩，而球体所剩立体体积为立体体积为2222Rzyx .91623433RVR 接续【例接续【例7-11】【例【例7-12】计算】计算 ，其中，其中D是由曲线是由曲线xy=1 , xy=2, y=x 及及 y=4x 在第一象限围成的区域（图在第一象限围成的区域（图7-23）. Dxydxdy（图（图7-23）OxyDy=xy=4xxy=2xy=1（4）其它的某些变量代换）其它的某些变量代换 积分变换没有固定方法，积分变换没有固定方法，必须多做一些练习必须多做一些练习，熟悉很多变换的作用，才可能

43、做出合适的选择。熟悉很多变换的作用，才可能做出合适的选择。（图（图7-24）Ouv1142D做变换做变换vvuyxxyyxvu21),(),(2),(),( 则有则有,.yuxy vx接续【例接续【例7-12】解解： 作变换作变换 ，则对应于，则对应于D的的uOv平面上的平面上的区域区域 （图（图7-24）xyvxyu ,41 , 21),( vuvuD由由 可得可得xyvxyu ,uvyvux 从而从而,2122221),(),(3vvuuvvuuvvuyxJ 由公式（由公式（7）便得）便得 DDdvvudududvvuxydxdy2141. 2ln232121求出求出J ( , )1( ,

44、 )( , )( , )x yu vu vx y 注意，在计算注意，在计算 时，若时，若J 不易计算，可由不易计算，可由),(),(vuyxJ 如在本例中，可先求如在本例中，可先求,21),(),(2xyxxyxyyxvu 从而从而.212vyxJ 【例【例7-13】计算】计算 ，其中，其中D为椭圆域：为椭圆域： Ddxdybyax22221. 0, 0, 12222 babyax注：做广义极坐标变换，实际是一个线性伸缩变换注：做广义极坐标变换，实际是一个线性伸缩变换与极坐标变换的复合与极坐标变换的复合cossinxarybr 积分区域变换为积分区域变换为 ，雅各比行列式为，雅各比行列式为2

45、, 01 , 0 abrryxJ ),(),( 2221200222113Dxydxdyabdrr drabab ),(),(vuyvuxyx做二维变换：做二维变换：0),(),( vuyx并且并且( , )|( , )x ydxdydudvu v 注：首先考察上述变换是线性变换；注：首先考察上述变换是线性变换； 再考虑行列式的几何意义；再考虑行列式的几何意义； 最后考察对应关系（最后考察对应关系（1）的几何意义。）的几何意义。（1） 问题：可以将这样的变换推广到高维情况吗？问题：可以将这样的变换推广到高维情况吗？ 起码看看三维的情况。起码看看三维的情况。然后作对应然后作对应附录附录-多元积分

46、变量代换公式的分析。多元积分变量代换公式的分析。（1）二维空间线性变换下的某些几何关系）二维空间线性变换下的某些几何关系。设有。设有11122122xxaaxuuuvyaavyyvuv 下面给这个变换关于面积关系转换的一个解释。下面给这个变换关于面积关系转换的一个解释。 设有两个直角坐标系给出二维向量空间表示，一个是设有两个直角坐标系给出二维向量空间表示，一个是uOv 平面，一个是平面，一个是 平面。平面。 上面的（附上面的（附1）式，可以看做是从前一个平面（空间）式，可以看做是从前一个平面（空间）到后一个平面（空间）的线性映射。到后一个平面（空间）的线性映射。xOy（附（附1）根据这个映射，

47、根据这个映射， 坐标空间中的标准正交基坐标空间中的标准正交基uOv 10,01vuee分别对应到分别对应到 中的向量为中的向量为xOy, uyuxeuyeuxyx和和.xyxxyveevvyv 于是于是 平面中由平面中由 （的线段长度为边）所（的线段长度为边）所确定的矩形，对应到确定的矩形，对应到 平面中。是由平面中。是由uOvvuveue ,xOy(),xyxxyueeuuuuyu ().xyxxyveevvvvyv 所确定的所确定的平行四边形。从面积的角度讲，这个线性映射平行四边形。从面积的角度讲，这个线性映射将将 平面中面积为平面中面积为 的平行四边形，映射成的平行四边形，映射成 平面中

48、面积为平面中面积为dudvuOvxOy( , )|( , )x ydudvu v uOvxOy的平行四边形。反之，这个映射的逆映射将的平行四边形。反之，这个映射的逆映射将 平面平面中面积为中面积为 的平行四边形，映射为的平行四边形，映射为 平面中面平面中面积为积为dxdy1( , )( , )|( , )( , )u vx ydxdydxdyx yu v 的平行四边形。的平行四边形。 在计算积分在计算积分时，积分变换中面积微元的变换公式（时，积分变换中面积微元的变换公式（1）所反映的就是这种关系。所反映的就是这种关系。 换句话说，如果我们要用换句话说，如果我们要用 平面中的面积微元表示平面中的

49、面积微元表示uOvxOy 平面中的面积微元，便有如下形式等式：平面中的面积微元，便有如下形式等式：( , )|( , )x ydxdydudvu v （2）关于面积微元变换的另一个解释。）关于面积微元变换的另一个解释。 考虑二维平面向量空间到自身的一个变换。给这个考虑二维平面向量空间到自身的一个变换。给这个向量空间有一组基，基向量记为向量空间有一组基，基向量记为 ， 。设。设udvd( , )0 |( , )x yu v 因此在给定点因此在给定点，以如下对应方式，以如下对应方式dvvxduuxxd yydydudvuv 定义了二维向量空间到自身的一个满秩线性变换，定义了二维向量空间到自身的一个

50、满秩线性变换，( , )|( , )x yu v 重要的是，这个变换（以重要的是，这个变换（以 和和 的向量组为基）的向量组为基）的坐标变换表示矩阵为：的坐标变换表示矩阵为：udvdud；vdxyuuxyvv其行列式还是：其行列式还是：由这个规定，同样可得由这个规定，同样可得ydxd dudv ( , )|( , )x yu v 引入符号引入符号 （类似还有（类似还有 等）表示由向等）表示由向量量 与与 （几何表示的线段为邻边）所确定平行四（几何表示的线段为邻边）所确定平行四边形的有向面积。即有边形的有向面积。即有ydxd dudv xdydxdydydxd （3）一个形式规定带来的方便）一个

51、形式规定带来的方便 7.3 三重积分的计算三重积分的计算1.直角坐标系下的计算直角坐标系下的计算2.柱坐标系和球坐标系下的计算柱坐标系和球坐标系下的计算7-3: 1(3);2(2，4，6); 3(2); 4(4，5);5(2，3); 6(1，3，5);7(1，2，3); 8; 11。第七章第第七章第3节作业题节作业题1.直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下三重积分的计算 从二重积分的计算方法不难看出，将高重积分分解从二重积分的计算方法不难看出，将高重积分分解为较低重的积分，是问题解决的关键。为较低重的积分，是问题解决的关键。 现在，我们已经可以计算二重积分了，那么怎样现在，我们已经可以计算二

52、重积分了，那么怎样才能将三重积分分解为二重和一重（一元函数）积才能将三重积分分解为二重和一重（一元函数）积分呢？当然，二重积分也是变换为两次一重积分的。分呢？当然，二重积分也是变换为两次一重积分的。不过这已经不是问题了。不过这已经不是问题了。 主要的方法有两种，通俗的讲，就是主要的方法有两种，通俗的讲，就是“先一后二先一后二”和和“先二后一先二后一”。 在直角坐标系下，对积分域的的分划，与二维情况在直角坐标系下，对积分域的的分划，与二维情况相似，就是分划为长方体，体积微元总是相似，就是分划为长方体，体积微元总是 。dxdydz（1）坐标面投影法）坐标面投影法-或或“先一后二先一后二”法法 将积

53、分域将积分域V（总假设是有界闭集）到某个坐标平面（总假设是有界闭集）到某个坐标平面投影，比如说投影到投影，比如说投影到xOy平面，记为平面，记为 。 如果满足：从任何一个属于投影区域如果满足：从任何一个属于投影区域 的点引垂的点引垂直于该平面的直线，这条直线与积分域的交集总是直于该平面的直线，这条直线与积分域的交集总是一个线段，那么就称这个区域一个线段，那么就称这个区域V是是xy型域。型域。xyVxyV yz型与型与zx型域可类似定义。型域可类似定义。 一个一个xy型域，一般都可以表示为：型域，一般都可以表示为：),(),(),(| ),(21yxzyxDyxzyxxy 于是三重积分可以表示为

54、于是三重积分可以表示为dxdydzzyxfdxdydzzyxfxyDyxyxV),(),(),(),(21 （1）21(, )(, )( , , )( , , )xyx yDx yVf x y z dxdydzdxdyf x y z dz 上式也约定记为上式也约定记为以此清楚地表明以此清楚地表明“先一后二先一后二”的积分顺序。的积分顺序。 上述关系式（上述关系式（1）可以由高维体积或赋予物理意义）可以由高维体积或赋予物理意义给以解释，比如说物质密度与总质量的关系。给以解释，比如说物质密度与总质量的关系。（1+）【例【例7-14】计算】计算 ，其中，其中V是由平面是由平面x+y+z=1和三和三个

55、坐标面围成的闭区域个坐标面围成的闭区域.VxdVOxyz111z = =1-x-yy=1-xDxy（图（图7-26）1010| ),(xyxyxDxy .10;),( :yxzDyxVxy 【例【例7-15】计算】计算 , 其中其中VzdV.10),( 22yxzzyxV Oxyz111Dxy-1-1（图（图7-27）Oxyz（图（图7-28）czd 从题设条件，积分域从题设条件，积分域已经十分清楚了。已经十分清楚了。 作为课堂练习。作为课堂练习。（2）截面法）截面法-“先二后一先二后一”法。法。观察左边图观察左边图7-28，对任意的，对任意的z，假设，假设阴影部分（记为阴影部分（记为 ）关于

56、）关于x、y的二的二zD重积分容易计算，那么就可以由如下关系：重积分容易计算，那么就可以由如下关系：( , , )( , , )zdcDVf x y z dxdydzf x y z dxdy dz 计算三重积分。这个关系还约定记为计算三重积分。这个关系还约定记为( , , )( , , )zdcDVf x y z dxdydzdzf x y z dxdy （2）（2+）【例【例7-16】计算】计算 其中其中V是由平面是由平面z=x+y , x=0 , y=0 , z= 所围成的立体（图所围成的立体（图7-29）.Vdxdydzzz,sin （图（图7-29）zOxyz Dz 注：这里的关键，是

57、被积注：这里的关键，是被积函数中没有自变量函数中没有自变量x、y出现。出现。 截面法十分简明。截面法十分简明。接续【例接续【例7-16】解解： V在在z轴上的投影为轴上的投影为 ，在，在 内任一点作平内任一点作平面垂直于面垂直于z轴，它在轴，它在V上的截面为上的截面为Dz，Dz是一个三角形是一个三角形区域，易知区域，易知Dz的面积是的面积是 于是于是, 0 , 0 221z VDzdxdydzzzdxdydzzz 0sinsin 0221sindzzzz01sin.22zzdz 解解： 由三重积分的物理意义知由三重积分的物理意义知2222,zccVDzzdVdzdxdycc 222222()V

58、xyzmdVabc 222222VVVxyzdVdVdVabc 而而【例【例7-17】已知椭球】已知椭球V： ，其密度，其密度1222222 czbyax222222czbyax ，求该椭球体的质量，求该椭球体的质量m.注：由积分对被积函数的可加性，可以对函数中每注：由积分对被积函数的可加性，可以对函数中每一单项式积分。同样由截面法，计算十分简明。一单项式积分。同样由截面法，计算十分简明。所以所以222222024(1).15cVzabzdVzdzabcccc 同理同理22224,15VVxydVdVabcab 因此因此.54abcm ),1()1)(1(222222czabczbcza 其中

59、其中 是椭圆是椭圆 所围图形的面积所围图形的面积zDdxdy 2222221czbyax 接续【例接续【例7-177-17】2.柱面和球面坐标系下的三重积分计算柱面和球面坐标系下的三重积分计算（1）三重积分的变量代换）三重积分的变量代换-换元法（略换元法（略-已知）已知）（2）柱坐标下的积分计算）柱坐标下的积分计算（i）柱坐标的说明）柱坐标的说明-平面极坐标加上纵轴平面极坐标加上纵轴z。（ii）将直角坐标变换为柱坐标：）将直角坐标变换为柱坐标：.;sin;coszzryrx 雅各比行列式为雅各比行列式为rzrzyxJ ),(),( （图（图7-33）1OxyzD1-1-11【例【例7-18】计

60、算】计算 ，其中，其中V是由锥面是由锥面 及平面及平面 z =1围成的区域（图围成的区域（图7-33）. VdVyxzI2222yxz 注：先用坐标面投影法，然后对注：先用坐标面投影法，然后对xOy平面做极坐标平面做极坐标变换。也就是将投影域变成变换。也就是将投影域变成“矩形矩形”区域。区域。 可以看出，在积分域是旋转体，或与圆有关的区可以看出，在积分域是旋转体，或与圆有关的区域；被积函数可以表示为关于投影域的变量二次齐域；被积函数可以表示为关于投影域的变量二次齐次的函数与另一个变量的函数乘积时，用柱坐标计次的函数与另一个变量的函数乘积时，用柱坐标计算积分，明显会带来计算方便。算积分，明显会带