高等数学曲线积分第4节

1、第四节第四节 曲线积分与路线无关曲线积分与路线无关第十章第十章 曲线积分曲线积分则则上连续，上连续，及其偏导数在区域及其偏导数在区域，、，设设格林格式：格林格式：、 ) ( ) ( 1DyxQyxP， DCdxdyyPxQQdyPdx)(.的的边边界界曲曲线线且且取取正正向向是是其其中中DC格林公式的应用格林公式的应用、 2的的面面积积：计计算算区区域域D)1(.21xdyydxSC 、或或 CydxS . CxdyS计算二重积分：计算二重积分：)2(.)( CDQdyPdxdxdyyPxQ计算曲线积分：计算曲线积分：)3(.)( CDdxdyyPxQQdyPdx. 的的正正向向一一定定是是封

2、封闭闭且且为为曲曲线线说说明明：DC 21CCQdyPdxQdyPdx 关关平面曲线积分与路线无平面曲线积分与路线无一、一、.上与积分路线无关上与积分路线无关在在则称曲线积分则称曲线积分 CQdyPdx.线有关线有关否则称该曲线积分与路否则称该曲线积分与路 2 与路线无关的条件与路线无关的条件、 0M1M1C2CxyO有有，、的的任任意意两两条条曲曲线线到到点点若若从从点点、上上任任取取两两点点设设在在平平面面区区域域定定义义：、 , 1211010CCMMMM 可记为可记为时，时，当曲线积分与路线无关当曲线积分与路线无关说明：说明： CQdyPdx QdyPdxMM 10. ) () (11

3、00QdyPdxyxyx ，或或 ) ( ) ,()1(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP. 0内任意闭曲线内任意闭曲线为为，与路线无关与路线无关 CQdyPdxQdyPdxCC 2 与路线无关的条件与路线无关的条件、 ) ( ) ,()1(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP. 0内任意闭曲线内任意闭曲线为为，与路线无关与路线无关 CQdyPdxQdyPdxCC的的曲曲线线，到到内内任任意意两两条条从从点点是是和和设设证证：1021 MMCC 0M1M1C2CxyO.21内任意一条闭

4、曲线内任意一条闭曲线是是则则 CC02121 CCCCQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx021 CCQdyPdxQdyPdx021 CCQdyPdx. 0 CQdyPdx 2 与路径路线无关的条件与路径路线无关的条件、 ) ( ) ,()1(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP. 0内任意闭曲线内任意闭曲线为为，与路线无关与路线无关 CQdyPdxQdyPdxCC ) ( ) ,()2(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP.) ( yxyPxQQdyPdxC，与路线无关与路

5、线无关 ，”若若“证证：yPxQ ，围围成成的的区区域域为为且且内内任任一一闭闭曲曲线线，为为设设DCC . D为单连通区域得为单连通区域得则由则由 DCdxdyyPxQQdyPdx)(，0 . 与路线无关与路线无关故故 CQdyPdx 2 与路径路线无关的条件与路径路线无关的条件、 ) ( ) ,()2(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP.) ( yxyPxQQdyPdxC，与路线无关与路线无关与路径无关，与路径无关，”若”若“ CQdyPdx，则则0 CQdyPdx .内任一闭曲线内任一闭曲线为为其中其中 C，使使，设设存存在在一一点

6、点yPxQM 0，不妨设不妨设0)( 0 MyPxQ的连续性，的连续性，由于由于yPxQ 有有时时，当当，则则存存在在 ) ( ) (0DyxDMU . 02 yPxQ 0MxyO 1C 2 与路径路线无关的条件与路径路线无关的条件、 ) ( ) ,()2(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP.) ( yxyPxQQdyPdxC，与路线无关与路线无关与路径无关，与路径无关，”若”若“ CQdyPdx，则则0 CQdyPdx)1(有有时时，当当，则则存存在在 ) ( ) (0DyxDMU . 02 yPxQdxdyyPxQQdyPdxDC)(

7、 1 ，0 .)1( 式矛盾式矛盾与与dxdyD 2 22 0MxyO 1C.1的的边边界界且且取取正正向向为为其其中中DC. yPxQ 故故 几点说明几点说明即即的折线段求曲线积分的折线段求曲线积分通常采用平行坐标轴通常采用平行坐标轴与路线无关时，与路线无关时，当当 . (1) CCQdyPdxQdyPdxdyyxQdxyxPQdyPdxyyxxyxyx) () (10) () (10101100， dxyxPdyyxQQdyPdxxxyyyxyx) () (10) () (10101100， . ) ( ) ()2(上上述述结结论论未未必必成成立立满满足足时时，区区域域这这两两个个条条件件

8、之之一一不不为为单单连连通通及及其其一一阶阶偏偏导导数数连连续续或或，当当 yxQyxPxyOABC0 x1x0y1yD.)( 22222yxxyyPxQG 且且为为复复连连通通，则则，考考虑虑，对对例例：441) ( 2222 yxyxyxxdyydxC 几点说明几点说明. ) ( ) ()2(上上述述结结论论未未必必成成立立满满足足时时，区区域域这这两两个个条条件件之之一一不不为为单单连连通通及及其其一一阶阶偏偏导导数数连连续续或或，当当 yxQyxP.)( 22222yxxyyPxQG 且且为为复复连连通通，则则则则方方向向为为逆逆时时针针，为为圆圆周周取取 sin costytxC C

9、dtttttttyxxdyydx 202222sincoscoscos)sin(sin 2 . 0 ，考考虑虑，对对例例：441) ( 2222 yxyxyxxdyydxC 20dt. 1sin2 ，解：令解：令2323cos2sin3yyxQxyxP .cos32yxxQ ，yPxQ .曲线积分与路线无关曲线积分与路线无关 BAOBQdyPdxQdyPdxI 故故 102)3(cosdyyy103102)(sinyyx OABxy11，则则yxyPcos32 102xdx)1 1()0 0(2sin)3cos()2sin3( 1232，到到，从从点点为为曲曲线线其其中中，计计算算、例例AOx

10、yCdyyyxdxxyxIC OABxy )1 1()0 0(22.)( 0)0( )( )( 2，计算计算，且且连续导数，连续导数，具有具有其中其中与路线无关，与路线无关，设设、例例dyxyfdxxyIfxfdyxyfdxxyC由已知得由已知得如图，如图，解：解： dyxyfdxxyAB)(2 10)0(dyyfdxx 10 100dy1022x .21 ,2xyyP 则则，)(xf yxQ ,) ( 2xyyxP ，令令或或),() (xyfyxQ ，xyxf y2)( .)(2Cxxf ，得得，由由0 0)0( Cf.)(2xxf 故故dyyxdxxydyyxdxxyICBOC2222

11、，即即xxf2)( dyxyfdxxyIOA)(2 100dx 10ydy1022y .21 C.)2 1()1 0( )0 0()2()( 3所所确确定定的的圆圆弧弧，及及，为为从从点点其其中中，计计算算、例例BAOCdyyxedxxeIyCy OABxy，令令解解：yxeyxQxeyxPyy2) ( ) ( ，则则yeyP ，yexQ .yPxQ 与路线无关，与路线无关， CQdyPdxC )2()( dyyxedxxeIyOCy 故故dyyxedxxeyCBy)2()( 10)1(dxx 20)2(dyyey102)1(21x 202)(yey .272 e全全微微分分求求积积二二、 .

12、相似相似二元函数全微分的结构二元函数全微分的结构与与中的被积表达式中的被积表达式曲线积分曲线积分QdyPdxQdyPdxC 分吗？分吗？是某个二元函数的全微是某个二元函数的全微问题：问题：QdyPdx . 不一定不一定答案：答案： .2 分分就就不不是是二二元元函函数数的的全全微微例例、xdydx ？，如如何何求求这这样样的的二二元元函函数数若若是是，的的全全微微分分？，是是某某个个二二元元函函数数在在什什么么条条件件下下问问题题：) ( ) ( yxuyxuQdyPdx 是全微分的条件是全微分的条件、QdyPdx 1 ) ( ) ,(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数

13、在在单单连连，设设 yxQyxP.) ( ) () ( yxyPxQdudyyxQdxyxP，是全微分的条件是全微分的条件、QdyPdx 1 ) ( ) ,(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP.) ( ) () ( yxyPxQdudyyxQdxyxP，”若若“证证：dudyyxQdxyxP ) () ( ) ( ，则则yxPxu ). (yxQyu， 2，yPyxu 2，xQxyu 具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导得得，由由QP ，yxuxyu 22.yPxQ 故故，”若”若“yPxQ .与路径无关与路径无关则曲线积分则曲线积分QdyP

14、dxC 是全微分的条件是全微分的条件、QdyPdx 1 ) ( ) ,(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP.) ( ) () ( yxyPxQduyxQdxyxP，”若”若“yPxQ .与路线无关与路线无关则曲线积分则曲线积分QdyPdxC ，令令，QdyPdxyxuyxyx ) () (00) (xyxuyxxuxux ) () (lim0，则则xQdyPdxQdyPdxyxyxyxxyxx ) () () () (00000lim，xQdyPdxyxxyxx ) () (0lim，0 xxxx ) (yx，) (00yx，) (yxx

15、， 是全微分的条件是全微分的条件、QdyPdx 1 ) ( ) ,(则则内内连连续续，通通区区域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在单单连连，设设 yxQyxP.) ( ) () ( yxyPxQduyxQdxyxP，令令，QdyPdxyxuyxyx ) () (00) (xdxyxPxxxx ) (lim0，xxyxxPx ) (lim0， ) (lim0yxxPx， ). (yxP， ，同同理理，) ( yxQyu .) () (dudyyxQdxyxP ，故故0 xxxx ) (yx，) (00yx，) (yxx， xQdyPdxxuyxxyxx ) () (0lim，的原函数的原函数为为

16、，则称则称，使使，若存在函数若存在函数原函数：原函数：、QdyPdxyxuQdyPdxduyxu ) ( ) ( 2原函数的求法原函数的求法、 3dyyxQdxyxPyxuyxyx) () () () () (00， CdyyxQdxyxPyxuyyxx 00) () () ()1(0，CdxyxPdyyxQyxuxxyy 00) () () ()2(0，.C ，解解：令令2222yxyxQyxyxP ，则则22222)(2yxxyxyyP .)(222222yxxyxyxQ ，平面内连续且平面内连续且及其一阶偏导数在右半及其一阶偏导数在右半、yPxQQP . )()( 122并并求求原原函函

17、数数函函数数的的全全微微分分，在在右右半半平平面面内内是是某某个个验验证证、例例yxdyyxdxyx .)()(22数数的的全全微微分分在在右右半半平平面面内内是是某某个个函函故故yxdyyxdxyx xdxxyxu11),( ydyyxyx022则则，为为，取取 )0 1() (00yxC ，解解：令令2222yxyxQyxyxP . )()( 122并并求求原原函函数数函函数数的的全全微微分分，在在右右半半平平面面内内是是某某个个验验证证、例例yxdyyxdxyx xdxxyxu11),( ydyyxyx022Cyxxyxyx 0221)ln21(arctanln.)ln(21arctan

18、22Cyxxy 则则，为为，取取 )0 1() (00yxC . 222并并求求原原函函数数全全微微分分，数数的的在在整整个个平平面面内内是是某某个个函函验验证证、例例ydyxdxxy ，解解：令令yxQxyP22 ，则则xyyP2 .2xyxQ ，面面内内连连续续且且及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在整整个个、yPxQxOyQP xdxyxu00),( yydyx02Cyxy 0222.222Cyx .22数数的的全全微微分分在在整整个个平平面面内内是是某某个个函函故故ydyxdxxy 则则，为为，取取 )0 0() (00yxC . 222并并求求原原函函数数全全微微分分，数数的的在在整整个

19、个平平面面内内是是某某个个函函验验证证、例例ydyxdxxy 曲曲面面积积分分介介绍绍)( 对面积的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分一、一、 niiiiiSSfdSzyxf10) (lim) ( 1 ，定定义义：、计算方法：计算方法：、 2dxdyzzyxzyxfdSzyxfyxDSxy221) ( ) ( ，.面面上上的的投投影影区区域域在在为为曲曲面面其其中中xOySDxy)( 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第二类曲面积分第二类曲面积分二、二、 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)( (lim) ()1( ， niyziiiiSPdydzzyxP10)( (li

20、m) ()2( ， nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)( (lim) ()3( ，定义定义、 1计算方法计算方法、 2dxdyyxzyxRdxdyzyxRxyDS ) ( ) ()1(， 面面上上的的投投影影区区域域，在在为为曲曲面面其其中中xOySDxy).()( 侧时取侧时取下下为曲面的上为曲面的上当当SdydzzyzyxPdydzzyxPyzDS ) () ()2(， 面上的投影区域，面上的投影区域，在在为曲面为曲面其中其中yOzSDyz).()( 侧时取侧时取后后为曲面的前为曲面的前当当SdzdxzzxyxQdzdxzyxQzxDS ) ( ) ()3(，面上的投影区域，面上的投影区域，在在为