高等数学1.5函数连续性ppt课件

1、1.51.5、 函数的延续性函数的延续性 为了以后深化地研讨函数的微分和积分，我为了以后深化地研讨函数的微分和积分，我们需求引入性质更好的一类函数们需求引入性质更好的一类函数延续函数，延续函数，而延续性又是自然界中各种物态变化的数学表而延续性又是自然界中各种物态变化的数学表达，如水的流动、气温的变化、植物生长等等，达，如水的流动、气温的变化、植物生长等等，自然界中许多延续变化的景象在数学关系上的自然界中许多延续变化的景象在数学关系上的反响就是函数的延续性反响就是函数的延续性. . 为了定义函数的延续，须首先引入函数为了定义函数的延续，须首先引入函数增量的概念增量的概念. . 1 1、函数的增量

2、、函数的增量在函数)(xfy 中，当自变量x从初值0 x变化到终值1x时，称终值与初值的差01xx 为自变量的增量（或改变量） ，记为01xxx相应函数)(xfy 的终值)(1xf与初值)(0 xf差)()(01xfxf称为函数的增量（或该变量） ，记)()()()(0001xfxxfxfxfy.注意：记号x、y是一个不可分割的整体记号，增量x、y的值可正、可负、也可为零.在几何上，函数的增量表示当自变量从0 x变化到xx0时，曲线上对应的纵坐标的增量曲线上对应的纵坐标的增量. .xy00 xxx 0)(xfy x y 2 2、函数延续性定义、函数延续性定义 由函数在一点延续的根底上，掌握函数

3、在区间由函数在一点延续的根底上，掌握函数在区间上的延续，关于函数在一点延续有如下定义上的延续，关于函数在一点延续有如下定义. .定义 1：设函数)(xfy 在点0 x的某个邻域内有定义，如果当自变量x在点0 x处的增量0 x时，函数)(xfy 相应的增量0)()(00 xfxxfy，即0)()(limlim0000 xfxxfyxx，则称函数)(xfy 在点0 x处连续.该定义表明，函数)(xfy 在点0 x处连续的直观意义为：当自变量改动很小时，函数值相应的改动也很小当自变量改动很小时，函数值相应的改动也很小. .Oxy)(xfy 0 xxx 0 x y Oxy)(xgy 0 xxx 0 x

4、 y 0 x处不延续处不延续处延续处延续0 x在上定义中，令xxx0，则0 xxx，)()(0 xfxfy，故00 xxx)()(00 xfxfy.故上定义又可表达为故上定义又可表达为定义 2：设函数)(xfy 在点0 x的某个领域内有定义，若)()(lim00 xfxfxx，则称函数)(xfy 在点0 x处连续.该定义指出函数)(xfy 在点0 x处连续必须同时满足一下三个条件：、函数)(xfy 在点0 x及其近旁有定义；、函数)(xfy 在0 xx 时的极限存在；、函数)(xfy 在0 xx 时的极限值等于0 xx 处的函数值，即)()(lim00 xfxfxx.例 1、讨论函数0,00,

5、1sin)(xxxxxf在点0 x处的连续性.解：解：（1）函数的定义域为R且0)0(f，2 2，（3）)0()(lim0fxfx，故函数)(xf在0 x处连续.由于Axfxx)(lim0的充要条件为Axfxfxxxx)(lim)(lim00，故有函数在点0 x处左右连续的定义.定义 3：如果函数)(xfy 在点0 x处有)()(lim00 xfxfxx（或)()(lim00 xfxfxx） ，则称函数)(xfy 在点0 x处左连续（或右连续）由)(lim0 xfxx存在的充要条件可得如下重要结论：定理 1：函数)(xfy 在点0 x处连续的充要条件为它在点0 x处左连续且右连续，即)()(l

6、im)(lim000 xfxfxfxxxx.该结论是判别第二类分段函数在分段点处能该结论是判别第二类分段函数在分段点处能否延续的实际根据否延续的实际根据. .例 2、考察下列函数在点0 x处的连续性.（1）0,cos0,12)(xxxxxf（2）0,10,00,1)(xxxxxxf解：解：（1）函数的定义域为R且1)0(f，1) 12(lim)(lim00 xxfxx1coslim)(lim00 xxfxx故故1)0()(lim)(lim00fxfxfxx所以函数)(xf在0 x处连续.解：解：(2)定义域为R且0)0(f，1) 1(lim)(lim00 xxfxx1) 1(lim)(lim0

7、0 xxfxx故)0()(lim)(lim00fxfxfxx，所以函数)(xf在0 x处不连续.图像在0 x处断开 有了函数在一点处延续，就可以进一步定义函数有了函数在一点处延续，就可以进一步定义函数在区间上延续在区间上延续. .如果函数)(xf在开区间),(ba内的每一点处都是连续的，则称函数)(xf在开区间),(ba内连续，开区间),(ba叫做函数)(xf的连续区间. 延续函数的图像在其定义域内是一条连绵不断的延续函数的图像在其定义域内是一条连绵不断的曲线曲线. . 3 3、初等函数的延续性、初等函数的延续性 1 1根本初等函数在其定义域内都是延续的根本初等函数在其定义域内都是延续的. .

8、（2）若函数)(xf与)(xg在点0 x处连续，则这两个函数的和)()(xgxf、差)()(xgxf、积)()(xgxf、商)()(xgxf（当0)(0 xg时）在点0 x处都连续.（3）设函数)(ufy 在点0u处连续，而函数)(xu在点0 x处连续，而且)(00 xu，则复合函数)(xfy在点0 x处连续.该性质阐明在求满足条件的复合函数极限时，函数该性质阐明在求满足条件的复合函数极限时，函数符号与极限符号可以交换符号与极限符号可以交换如计算01lg)sinlimlg(sinlglim22xxxx4 4一切初等函数在其定义域内都是延续的一切初等函数在其定义域内都是延续的. . 今后在求初等

9、函数定义区间内各点的极限时，今后在求初等函数定义区间内各点的极限时，只需计算该函数在指定点的函数值即可只需计算该函数在指定点的函数值即可. . 如计算：如计算：1 102sin1sinlim21xxx（2）1255lim222xx在在在在二、二、 函数的延续点函数的延续点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不延续不延续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,那么以下情那么以下情形形这样的点这样

10、的点0 x之一函数之一函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为延续点称为延续点 . 在在无定义无定义 ;延续点分类延续点分类: :)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf假设假设称称0 x, )()(00 xfxf假设假设称称0 x)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x假设其中有一个假设其中有一个为为,为可去延续点为可去延续点 .为腾跃延续点为腾跃延续点 .为无穷延续点为无穷延续点 .xytan) 1 (2x为其无穷延续点为其无穷延续点 .1x为可去延续点为可去延续点 .11)2(2 xx

11、yxoy1例如例如:xytan2xyo1) 1 (1)(lim1fxfx显然显然1x为其可去延续点为其可去延续点 .1,1,)(21xxxxfy(3)xoy211(4) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其腾跃延续点为其腾跃延续点 .留意留意: 假设函数在开区间上延续假设函数在开区间上延续,结论不一定成立结论不一定成立 .1、最值定理、最值定理定理定理. .在闭区间上延续的函数在闭区间上延续的函数即即: 设设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12那那么么, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值值和

12、最小值. .或在闭区间内有延续或在闭区间内有延续 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大点点 ,三、闭区间上延续函数的性质三、闭区间上延续函数的性质 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 2.定理定理. ( 介值定理介值定理 ) 设设 , ,)(baCxf且且,)(Aaf,)(BABbf那么对那么对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,一点一点, ),(baAbxoya)(xfy BC使使.)(Cf至少有至少有 零点定理零点定理, ,)(baCxf至少有一点至少有一点, ),(ba且且使使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf例例3. 证明方程证明方程01423 xx一个根一个根 .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点, ) 1 ,0(使