高职应用数学第三节 离散型随机变量及分布ppt课件

1、第三节第三节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布一.随机变量的概念,ZYX0X1X30X30X,ZYX为方便起见,我们引入大写字母不同实验的事件.无论事件是数量或不是数量,为了便和分别表示出现正面或反面;某种货物进口30可以取不同的值,所以是变量.分别例如例如 抛一枚硬币能够出现正面或反面抛一枚硬币能够出现正面或反面,可用可用于用数学的方法处置问题,我们总可以赋予数值表示不同的事件.吨和出口30吨分别可用和表示.显然,这样的变量取何值是不确定的,取不同值的概率(能够性)普通定义定义8.3.1满足以下两个条件的变量称为随机变量满足以下两个条件的变量称为随机变量.(1) 变量可以表示样本

2、空间一切的事件;(2) 变量取何值是随机(不确定)的,但取某一个值的概率是可确定的.随机变量与普通变量概念的区别在: 普通变量取注注:何值是确定的,没有“能够与不能够取到的问题;而随机是不同的.按照随机变量取值的特点,随机变量可以分为两类,即离散型随机变量和非离散型随机变量.XXXYX, 0X定义定义8.3.2 8.3.2 假设随机变量假设随机变量能够取的值是“可数可为离散型随机变量.、抽检产品抽到的次品数假设随机变量能够取的一切数不可以数不可以列的,寿命,用 表示其寿命,那么 是一个变量,它能够的取上的某个数,所以是非离散型随机变量.一区间,那么称此变量列的,那么称如如 投掷骰子所列点数投掷

3、骰子所列点数等等,都为离散型随机变量.那么称为非离散型随机变量.例如,测试某种电子元件的值为区间假设随机变量的能够取值充溢某是该区间上所谓的“延续型随机变量.有关“延续型随机变量将在第四节讨论.二二.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布1离散型随机变量分布律离散型随机变量分布律设离散型随机变量 X 一切能够取的值为 12,x x ，且与其对应的概率 12,p p 列成下表:1x2xkx1p2pkpXP此表称为 X的概率分布列， 可简写为(1,2,)kkP Xxp k由概率的定义知道， 离散型随机变量的分布列有以下性质：1非负性 0(1,2,)kpk2规范性 1kkp 例例8.3.1【摸球实

4、验】一个袋中有【摸球实验】一个袋中有7个均匀的小球个均匀的小球,其其中有中有2个白球个白球5个红球个红球,从中每次随机取一个从中每次随机取一个,假设每次取假设每次取出的白球不再放回出的白球不再放回,求获得红球之前曾经取出的白球数求获得红球之前曾经取出的白球数的分布律的分布律.解解 设设 X表示“获得红球之前曾经取出的白球数, 那么 012X ， ，1125117605/70.7143,10.2381CCP XP xCC ，11121511176520.0476CCCP XCCC 于是，X 的分布列为 X012P0.7143 0.2381 0.047623种常见离散型随机变量的概率分布种常见离散

5、型随机变量的概率分布1两点分布 假设随机变量 X 的分布列为 X01Pqp其中 1,01qpp ，那么称 X 服从两点分布(或0-1分布)， 记为 (0,1)X ，它适用于一次实验仅有两个结果的随机景象。2二项分布 假设随机变量 X 能够取值为 0,1,2,n 。它的分布(0,1,2,)kk n knP X kC p qkn列为 其中 01,1pqp ，那么称 X 服从参数为 n,p 的二项分布， 记为 ( , )XB n p二项分布的分布列也可以写为X012knPpnq11nnC pq222nnC p qkkn knC p q例例8.3.2 【射击模型】一射手对某一目的进展射击，【射击模型】

6、一射手对某一目的进展射击，一次命中率为0.8(1)求一次射击的分布列;(2)求到击中目的为止所需射击次数的分布列.解解 (1)一次射击是随机景象，一次射击是随机景象， 设 1X 表示“击中目的， 0X 表示“未击中目的。 那么 1200.2,10.8PP XPP X所以分布列为X01P0.20.8(2)射击到击中目的为止射击次数为 Y ,范围是 1,2, , k110.8,20.2 0.8,0.20.8,kP YP YP Yk所以分布列为X12kP0.8 0.20.810.20.8k那么 Y 的取值例例8.3.3 【传染问题】设某种传染病进入一羊群，【传染问题】设某种传染病进入一羊群，知此种传

7、染 病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群中发病头数 的概率分布列。 解解 把察看一头羊能否发病作为一次实验，把察看一头羊能否发病作为一次实验， 发病率 2/3,p 不发病率 1/3,q 由于对50头感染羊来说能否发病，可以近似看作相互独立， 所以将它作为50次反复独立实验， 设50头羊群中发病的头数为 X , 那么 (50,2/3)XBX的分布列为 505021(0,1,2,50).33kkkP XkCk n00011(0.2) (0.8)1(0.2) (0.8)0.9nkkn knnnkP XCC 10.n 例例8.3.4 8.3.4 某地方的网络不稳定某地方的网络不稳定, ,一次能衔

8、接胜利的概一次能衔接胜利的概率是率是0.2,0.2,假设要至少一次衔接胜利的概率不小于假设要至少一次衔接胜利的概率不小于0.9,0.9,问至少要进展多少次的衔接问至少要进展多少次的衔接? ?,由于所以,求得.解解 设衔接的次数为设衔接的次数为例例8.3.58.3.5【核电站事故概率】假设核电站一年内发生重【核电站事故概率】假设核电站一年内发生重大事故的概率是大事故的概率是 0.0001 0.0001，假设某个国家有，假设某个国家有100100个核电站，个核电站，问在一年内该国核电站至少发生一次艰苦事故的概率是问在一年内该国核电站至少发生一次艰苦事故的概率是多少？多少？解解 设设X(100,0.

9、0001),XB(1)1(0)P XP X 0.00995表示某年内至少会发生一次艰苦事故的次数,那么所求的概率为阐明, 艰苦事故是小概率事件, 是依题意001001001(0.0001) (1 0.0001)C 1001 0.9999 0.00995.注注: 由概率由概率几乎不会发生的.(3)泊松分布 假设随机变量的能够取值为 0,1,2,它的分布列为(0,1,2,)!kP Xkekk其中 0为常数， 那么称 X服从参数为 的泊松分布， 记为 ( )XP实践问题中服从泊松分布的随机变量很多， 消费的一批布匹上瑕疵的点数， 如工厂程控交换机在单位时间接纳到的呼唤数等都是服从泊松分布. (3),

10、XP202kP XP Xk例例8.3.6 8.3.6 【效力接纳次数】某公司的客服【效力接纳次数】某公司的客服解解 所求的概率为所求的概率为.每分钟接纳到的效力恳求次数求一分钟内恳求次数不超越2次的概率.2303!kkek0.423.(0.8)XP3131012P XP XP XP XP X 20.800.810.0474.!kkek np30,0.05np100,0.1),np(1)!kkkn knC ppek.np例例8.3.7 8.3.7 【灾祸发生概率】某城市每天发生火灾的【灾祸发生概率】某城市每天发生火灾的,求该城市一天内发生3次或3次以上火 当二项分布中的 较大,概率 较小时如：或

11、 其中.次数解由题意知解由题意知 灾的概率.可以用泊松分布近似表示二项分布:即A A XX(300,0.01).B300,n 0.01p 3,np5360351.!kkkP XP Xkek 510.9160820.083918.P X 例例8.3.8 8.3.8 【产品检测】某公司消费一种产品【产品检测】某公司消费一种产品300300件件. .根据历史消费记录知废品率为根据历史消费记录知废品率为0.01, 0.01, 问如今这问如今这300300件产件产品经检验废品数大于品经检验废品数大于5 5的概率是多少的概率是多少? ?正品,废品.检验300件产品就表示检验出的废品由数,那么有. 查泊松分

12、布表得.解解 把每件产品的检验看作一次伯努利实验把每件产品的检验看作一次伯努利实验,两个结两个结果表示为：是做300次独立的伯努利实验.用有可得XiAi 例例8.3.98.3.9【维修方案模型】【维修方案模型】 设某种汽车品牌的设某种汽车品牌的4S4S店对其已销售的店对其已销售的8080辆汽车进展保养维修辆汽车进展保养维修, ,有两种方案给有两种方案给销售部经理销售部经理. .方案方案A A：由：由4 4人维护人维护, ,每人担任每人担任2020台台; ;方案方案B B：由由3 3人共同维护人共同维护8080台台. .设每辆车的缺点率为设每辆车的缺点率为0.01.0.01.如今需如今需要思索哪

13、种方案较好要思索哪种方案较好, ,即出现此种汽车需求维修而得不即出现此种汽车需求维修而得不到维修由于维修人员正忙于其他设备的维修的概到维修由于维修人员正忙于其他设备的维修的概率较小？率较小？一时辰发生缺点的台数,以表示事件“第解解 “按方案按方案A:以以及时维修,那么80辆中发生缺点而表示“第1个人维护的20辆中同人维护的20辆中发生缺点不能不能及时维修的概率为12341()()(2),P AAAAP AP X(20,0.01),XB2019(2) 1(1)(0) 1 0.9920 0.01 0.99P XP XP X =20 0.01=0.2，0.20.2(2)10.20.0175.P Xe

14、e Y(80,0.01),YB而那么用泊松公式近似,于是“按方案B:以记“80台中同一时辰发生缺点的台数,故80台中发生缺点而不能及时维修那么的概率为380800(4)1(0.01) (0.99),kkkkP YC =80 0.01=0.8，30.800.8(4)10.0091.!kkP Yek 用泊松公式近似,于是 对两种方案进展比较,方案B中组成任务小组后,尽管义务加重每人平均维护80/3,约27台且人数减少,但任务效率反而提高了.3 . 随机变量的分布函数随机变量的分布函数设为 X 随机变量，x 为恣意实数， 称 ( )()F xP Xxx 为随机变量 X函数，简称分布函数。 的概率分布( )( ).P a X bP X bP XaF bF a11( ),P XaP XaF a 假设将 X看作随机点的坐标， 那么分布函数 ( )F x值就表示点 X落在 ,x内的概率， 且有 定义定义8.3.3的分布函数具有以下性质：性质1 对一切 (,),0( )1;xF x 有性质2 ( )F x是 x 的不减函数，即当 12xx时， 12( )();F xF x性质3