第四章结构动力学多自由度体系

1、第四章结构动力学多自由度体系 第四章 多自由度体系4-1 4-1 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动一、刚度法一、刚度法 （1 1）两个自由度体系）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym 22ym K2K1K2K1y1(t)y2(t)121k11k112k22k0111 Kym 0222 Kym 2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 两自由度体系自由振动微分方程两自由度体系自由振动微分方程0)()()(0)()()(2221212221211111tyk

2、tyktymtyktyktym 设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty= =常数常数0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk当然当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令为其解，为了求得不全为零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程0)(211222221211kkmkmk1 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，）在振动过程中

3、，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。0)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2 2）按主振型振动的条件：）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y220)(0)(2222212121211

4、211YmkYkYkYmk最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率：圆频率：12第二圆频率第二圆频率由此可见：由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。实际上，多自由度体系在零时刻的实际上，多自由度体系在零时刻的y0或或vo通常不能完全与某一振型相对应。通常不能完全与某一振型相对应。例：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为例：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和和 k

5、2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k2解：（解：（1 1）求频率方程中的刚度系数）求频率方程中的刚度系数1221kk2111kkk1212kk222kkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3 3）一般振动）一般振动)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体多自由度体系自由振动系自由振动的振型分解的振型分解mkmk61803

6、. 238197. 02221mkmk61803. 161803. 021（3 3）求主振型）求主振型618. 1138197. 02:121111221111kkkmkkYY618. 0161803. 22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第第1振型振型第第2振型振型（2 2）求频率）求频率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有kkkmmm212122222114)12(21mknnn（3 3）求主振型）求主振型221221211211:mkkYY（2 2）求频

7、率）求频率0)(222221221kmkmkk若有若有2121knknmm0)() 1(22222222kmknmkn4121n222221212222:mkkYY4121n若若 n=90 则第一振型和第二振型分别为：则第一振型和第二振型分别为：11019可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。大反应的现象，称为鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶

8、建筑物等。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。二、二、 柔度法柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym 11ym 122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty 设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty此时惯性力此时惯性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY在自由振动过程中任意时刻在自由振动过程中任意时刻t，质量，质量m1、m2的位移的位移y1(t)

9、、y2(t)应当等于体系在当时应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。惯性力作用下的静力位移。主振型的位移幅值等于主主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。生的静力位移。m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 当然解当然解 Y1=Y2=0，为了求得不全为了求得不全为零的解，令为零的解，令01122221212122111mmmmD令210)()(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主

10、振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY0.5a例例. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。已知。12aaamm解：（解：（1 1）计算频率）计算频率1a1M12MEIaEIaEIa6,4,322321123113231203. 3967. 0maEImaEI（2 2）振型）振型61. 31277. 0122122111YYYY10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型0)(211222221211kkmkmk2121122

11、211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYYm1m2Y21Y11Y12Y22最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率：圆频率：12第二圆频率第二圆频率0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程 两自由度体系的自由振动两自由度体系的自由振动一、刚度法一、刚度法01122221212122111mmmmD令212121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型2211121

12、2221221111212211111mmYYmmYY二、柔度法二、柔度法0)()(2121122122112221112mmmmmm4-1-2 主振型及主振型的正交性 m1m211121Ym11221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，则存在：，则存在：)51.15(02221212111YYmYYm两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。两个主振型相互

13、正交，因与质量有关，称为第一正交关系。由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分别乘以上式分别乘以12、22，则得：，则得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上

14、不做功，其能量某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。各个主振型能单独存在，而不相互干扰。4-1-3 4-1-3 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平稳阶段，各质点也作简谐振动：在平稳阶段，各质点也作简谐振动：tYtytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmk022

15、2221121211mkkkmkDY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD如果荷载频率如果荷载频率与任一个自振频率与任一个自振频率1、 2重合，则重合，则D0=0, 当当D1、D2不全为零时，则出现共振现象不全为零时，则出现共振现象121121122PkmkPD002221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtP2222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD121121122PkmkPDm2m1k2k1例：质量集中在楼层上例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为，层间侧移

16、刚度为k1、k2解：荷载幅值：解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：，求刚度系数：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2当当m1=m2=m，k1=k2=ktPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD021222221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP012112112022DPkmkPDDY0DPk22202kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212

17、222142m)(2222122m)1)(1 (22221222212m)1)(1 (222212222mkm)1)(1 (122221221kmkPY)1)(1 (12222122kPY121)1)(1 (1222212kmkPY22)1)(1 (1222212kPY3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk两个质点的位移动力系数不同。当当2121,618. 1618. 0YYmkmk和时和 趋于无穷大。趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。可见在

18、两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况也有例外情况l/3l/3l/3mmPsintPsint如图示对称结构在对称荷载作用下。如图示对称结构在对称荷载作用下。21122211,kkkk与与2 2相应的振型是相应的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk当当=2 ，D0=0 ，也有：，也有：212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不会趋于无穷大，不发生共振，不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。共振区只有一个。 对称体系在对称荷载作用下时，对称体

19、系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。振频率相等时才发生共振。 kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力荷载幅值产生的静位移和静内力yst1= yst2=P/k层间剪力层间剪力: : Qst1= P

20、动荷载产生的位移幅值和内力幅值动荷载产生的位移幅值和内力幅值2mY22mY1)(1 ()(2122121kmPYYmPQ121)1)(1 (1222212kmkPY22)1)(1 (1222212kPY)(12121kmQ由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力层间动剪力: :例例：m2m1k2k1质量集中在楼层上质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2 , k21=k2 , k22=k2 , k12=k2tPsin02221DmkPY022DPkY 2222212210)(

21、kmkmkkD222201222,0,kPYkDYmk当m1k1tPsinm2k2这说明在右图结构上，这说明在右图结构上， 适当加以适当加以m2、k2系统系统可以消除可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。的振动（动力吸振器原理）。 吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。设计吸振器时，先根据设计吸振器时，先根据m2的许可振幅的许可振幅Y2，选定，选定22YPk ，再确定，再确定222km 例：如图示梁中点放一电动机。重例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生，电动机使梁中点产生的静位

22、移为的静位移为1cm，转速为，转速为300r/min，产生的动荷载幅值，产生的动荷载幅值P=1kN，问：问：1）应加动力吸振器吗？）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。）设计吸振器。(许可位移为许可位移为1cm)Psint解：解：1 1）sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602频率比在共振区之内应设置吸振器。频率比在共振区之内应设置吸振器。2 2）由）由k2m222YPk 弹簧刚度系数为：弹簧刚度系数为：5210101. 01000kN/m252224 .31101km=102 kg )(tPuKuCuM 0 uKuM )(tPuKuCuM 正交阻尼矩阵的构成正交阻尼矩阵的构成 kbmac-比例阻尼比例阻尼(Rayleigh(Rayleigh阻尼阻尼) )i已知两个阻尼比已知两个阻尼比j *iiiTiibKaMXcXC*2iiiiMC)(212/22*iiiiiiiiiibaMbKaMbKaM)(212jjjba kbmac)(212jjjba例例. .求图示体系的正交阻尼矩阵求图示体系的正交阻尼矩阵 和阻尼比和阻尼比 . . c3mkmmkk321已知已知: :mkmkmk/802. 1;/247. 1;/44. 032105.021解解: :)(212111ba )(212222ba kmbmka/0591.0/0328.00624.