经典高等数学课件D8-4空间曲线及其方程5

1、1复复 习习2222000()()()xxyyzzR 1.球面的方程球面的方程2222Rzyx 2.旋转曲面的方程：旋转曲面的方程：yoz面上的曲线面上的曲线 f( y , z ) = 0z 轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的旋转曲面的方程：旋转曲面的方程：0),(22 zyxfyoz面上的已知曲线面上的已知曲线 f ( y, z ) = 0绕绕 y 轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面的方程旋转曲面的方程. 0),(22 zxyf)(2222yxaz 圆锥面圆锥面方程的方程的特点：特点：三元二次齐次方程三元二次齐次方程.，222yxz ，222zxy 222xyz 3.圆锥面的方程：圆锥面的方程：

2、2F(x,y)=0，F(x,y)=035.平面的基本方程平面的基本方程:一般式：一般式：点法式：点法式：截距式：截距式：2220 (0)AxByCzDABC 1 (0)xyzabcabc 000()()()0A xxB yyC zz 一一对应一一对应 平面平面 0AxBy CzD 222(0)ABC 12(1) 1212120A AB BC C 12(2)/ 111222ABCABC 12nn12/nn 1212|(3)cos|nnnn 两两平平面面的的夹夹角角余余弦弦：126. 平平面面， 的的位位置置关关系系4 第八八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二

3、、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 5空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为其一般方程为方程组方程组( , , )0( , , )0F x y zG x y z 2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组方程组221236xyxz 表示圆柱面与平面的交表示圆柱面与平面的交线线 C，是空间一个，是空间一个椭圆椭圆.xzy1oC2一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程6又如又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. 222220zaxyxyax yxz

4、ao222yxaz 4)2(222ayax .曲线曲线ViVeniC7例如例如: 下列方程组各表示怎样的曲线？下列方程组各表示怎样的曲线？ 0. 1222zryx 2222222. 2ryxrzyx 00. 3zy 00. 4zyzy.,为为半半径径点点为为圆圆心心以以原原面面上上的的圆圆是是rxoy轴轴x所以，空间曲线的方所以，空间曲线的方程是不唯一的程是不唯一的.8将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, y, z表示成参数表示成参数t 的函数的函数:称它为空间曲线的称它为空间曲线的参数方程参数方程.( )xx t ( )yy t ( )zz t 说明说明: 有些曲面的参数方程含两个参数

5、有些曲面的参数方程含两个参数 , 形如形如( , )xx s t ( , )yy s t ( , )zz s t 随着参数的变化可得到曲线上的全部点随着参数的变化可得到曲线上的全部点.二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程9 动点从动点从A点出发，经点出发，经过过t时间，运动到时间，运动到M(x,y,z)点点 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM t 取时间取时间t为参数，为参数，xyzo解：解：tax cos tay sin vtz 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程t xy( , ,0)M x y o10tax cos tay sin vtz 螺旋线的参数方程螺旋线的

6、参数方程,vt b 令令cossinxayazb sinzyab 222xya 一般一般方程方程2, 当当时时2hb 上升高度上升高度, 称为称为螺距螺距 .A MM t xyzo11例例2. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:221(1)236xyxz 22222(2)0zaxyxyax 解：解：(1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数 , cosxt sinyt 1(62cos )3zt (2) 将第二方程变形为将第二方程变形为222(),24aaxy故所求为故所求为得所求为得所求为cos22aaxtsin2ayt 11cos22zat(02 )t (02 )t

7、 2229(3)xyzyx 12三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 CC关于关于 的投影柱面的投影柱面 C在在 上的投影曲线上的投影曲线 Oxzy 0),(0),(:zyxGzyxFC设曲线设曲线 则则C关于关于xoy面的投影柱面方面的投影柱面方程应为消程应为消z后的方程：后的方程：( , )0H x y 所以所以C在在xoy面上的投影曲线的方程为：面上的投影曲线的方程为： 00),(zyxHC13 1) 1() 1(1222222zyxzyx22220 xyy . 002222zyyx，, 1 zyxoyxoy14总之总之:设空间曲线设空间曲线C( , , )0( ,

8、, )0F x y zG x y z 消去消去 z得投影柱面得投影柱面( , )0H x y xoy 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程与与xoy 面方程联立得面方程联立得C 在在( , )0:0H x yCz 消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程( , )00R y zx ( , )00T x zy CC zyxo15oyzx22zxy 22,1zxyxyz 221,xyxy221.0 xyxyz 例例4.求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy

9、 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程. 1xyz 解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的面的投影柱面投影柱面方程为方程为 所以所以 此曲线在此曲线在 xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线方程为方程为 2zy 0 x ,它与所给平面的它与所给平面的16练习：练习： 用截痕法讨论双叶双曲面用截痕法讨论双叶双曲面2222221( , ,)xyza b cabc 为为正正数数1yy 平平面面上上的的截截痕痕为为双曲线双曲线11()zzzc平平面面上上的的截截痕痕为为椭圆椭圆Ozxy2222221xyzabc 1yy 2222221xyzabc 1zz 2221

10、2221yxzacb 0y 即即22212221zxyabc0z 即即17zxyo1C如如:所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为:上半球面上半球面和锥面和锥面224zxy 223()zxy2210 xyz 在在 xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线22224:3()zxyCzxy 二者交线二者交线221,0.xyz 所围圆域所围圆域:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围区域面上的投影曲线所围区域 .消去消去 z 得投影柱面得投影柱面221,xy 18第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第八八

11、章 19一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo11110A xB yC zD22220A xB yC zD 1 2 L因此其一般式方程因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，(不唯一不唯一)如如x轴的方程为：轴的方程为：00yz 00yzyz 或或20 xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一如果一非零向量非零向量平行于一条已平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线知直线，这个向量称为这条直线的的方向向量方向向量sL0MM确定直线的条件确定直线的条件: 1.不重合的两点确定一直线不重合的两点确定一直线.2.两相交平面确定一直线两相交平面

12、确定一直线(交线交线).3.过一点平行于一直线过一点平行于一直线(向量向量).方向向量的方向向量的特征：特征：平行于直线上的任一向量平行于直线上的任一向量显然显然,一条直线的方向向量是不唯一的一条直线的方向向量是不唯一的.同一直线的任同一直线的任意两个方向向量是平行的意两个方向向量是平行的.21xyzosL0M M ),(0000zyxML),(pnms L2. 对称式对称式(点向式、标准式点向式、标准式)方程方程解答：解答：设直线上的动点为设直线上的动点为 ( , , )M x y z则则0/M Ms ),(pnms ).,(0000zzyyxxMM 故有故有000 xxyyzzmnp 此式

13、称为直线的此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为也称为点向式方点向式方程、标准式方程程、标准式方程).22pzznyymxx000 m,n,pss， cos,cos,cos3. 参数式方程参数式方程设设得参数式方程得参数式方程 :000 xxyyzzmntp0 xxmt 0yynt0zzptxyzosL0M M ),(0000zyxM(, ,)sm n p 23000 xxyyzzmnp 直线的直线的对称式对称式方程方程也称也称标准式标准式方程方程也称也称点向式点向式方程方程000 xxyyzzmntp 令令直线的直线的参数式参数式方程方程11110A xB yC zD22220A xB

14、yC zD直线的直线的一般式一般式方程方程 0 xxmt 0yynt0zzpt24解：解：1221,2121 (, ,)sP Pxxyy zz 可可取取由由已已知知所求直线方程为：所求直线方程为：111212121.xxyyzzxxyyzz 11112222 (,),(,1. ,).P xy zP xy z求求过过点点的的直直线线方方程程例例-直线的两点式方程直线的两点式方程参数式方程为：参数式方程为： tzzzztyyyytxxxx)()()(1211211211P2P25pzznyymxx000 (1) 若若, 0 m而而, 0 pn、此时该方程理解为此时该方程理解为 ., 0000pzz

15、nyyxx(2)pnm、若若中有中有两个为零，两个为零， 例如例如, 0 nm而而, 0 p此时该方程理解为此时该方程理解为 . 0, 000yyxx习惯上仍记为习惯上仍记为000.0 xxyyzznp 习惯上仍记为习惯上仍记为000.00 xxyyzzp 26或参数方程或参数方程1.空间曲线空间曲线三元方程组三元方程组(, )0F xy z (, )0G xy z ( )xx t ( )yy t ( )zz t 设空间曲线设空间曲线( , , )0( , , )0F x y zG x y z 消去消去 z得投影柱面得投影柱面( , )0,H x y 得得C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线与与xoy 面方程联立面方程联立 求投影曲线求投影曲线消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影