第二章 地图的数学基础new(1)

1、 它是一个规则的数学表面，所以人们视其为 地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量和制图的基准面。abae22Equatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatorab对 a，b，的具体测定是近代大地测量的一项重要工作。abae22bbae22aba pp0参考椭球面陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐西安坐标系标系” 大地坐标的起算点大地原点。 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度天文经度：过观测点子午面与

2、本初子午面间的两面角。 天文纬度：赤纬，观测点铅垂线与赤道平面间的夹角。大地经度l l ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。地表面相邻两点经度之差称为经差，某两点纬度之差称为纬差。卯酉圈曲率半径以字母N表示： 平均曲率半径R纬圈的半径r 制图用表一.中国的大地坐标系 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。中国高程起算面是 1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他

3、各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1987年国家测绘局公布：启用取代黄海平均海水面其比黄海平均海水面上升 青岛观象山水准原点 ：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55，两个轨道面之间在经度上相隔60，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。

4、通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的要点：要点：地图投影的概念及变形，地图投影的概念及变形，不同投影的分类与特点，不同投影的分类与特点，世界、区域和中国常用投影，世界、区域和中国常用投影，投影的选择和判别，投影的选择和判别，我国地形图投影我国地形图投影：是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。2.地图投影的定义地图投影的定义研究解决把地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平面上的方法及其变形的科学问题二 地图投影的变形 地球的形状2 2、由地球球面向平面投影时引起的经纬网几何特征的变、由地球球面向平面投

5、影时引起的经纬网几何特征的变化，称为投影变形。化，称为投影变形。 （二）研究变形的方法（二）研究变形的方法 研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。比 较球面经纬网经过投影之后，其几何特征受到扭曲地图投影变形：长度（距离）、角度（形状）、面积。XmX为经线长度比；为纬线长度比YnY 该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即： 以O为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入： X2 + Y2 = 1，得，得XmXYnY22221XYmn通过变形椭圆形状显示变形特征通过变形椭圆形状显示变形特征rrra=b=rr实地上的一个微分

6、圆 ，图03-0 5 通 过变形椭圆 形状 显示变形特 征 常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变等变形线就是变形值相等的各点的连线，形线就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。 等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状 （1）长度比和长度变形 ds ds 投影面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：=ds/ds长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。 长度比是指某点某方向上微小线段之比。(微分椭圆)研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。在主方向上，具有极在主方

7、向上，具有极大和极小长度比。大和极小长度比。特殊方向特殊方向长度变形就是长度比（长度变形就是长度比（）与）与1之差，用之差，用v 表示长度变形则：表示长度变形则：v =-1= 0 不变; 0 变大; 0 变大; 0 变小sin2ababtan(45)2ba22222sinsin22sinmnmnmnmnqq2.数学解析法1.几何透视法 所谓解析法就是不借助于几何投影光源,按照某些条件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之间一一对应的函数关系几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面（借助的几何面）上的一种投影方法。三 地图投影的基本方法x = f1( , l l ) y = f2

8、( , l l ) 以等角正轴圆锥投影为例经差l 与投影面上d成正比：d = cl （c为圆锥系数，0 c 1 割投影 美通用极球面投影、我1：100万高纬地区投影 2）正轴等距方位投影）正轴等距方位投影 波斯特波斯特 m =1,方位与实地一致方位与实地一致 两极地区两极地区 联合国国徽联合国国徽（1）正轴方位投影（2）横轴方位投影）横轴方位投影 离开无变形点愈远，长度、角度变形愈大东西半球1）斜轴等距方位投影）斜轴等距方位投影 2）斜轴等积方位投影 在中央经线上纬线间隔逐渐离开无变形点愈远，长度、角度变形愈大水陆半球图、亚洲地图、欧亚地图、北美洲地图、拉丁美洲地图、大洋洲及全球航空图等。中华

9、人民共和国全图 2.圆锥投影（正轴） 等积伪圆锥投影。等积伪圆锥投影。，其长度比等于，其长度比等于1 1，其长度比等于，其长度比等于1 1，。在在，。中央经线和中纬线是两。中央经线和中纬线是两条没有变形的线。离开这两条线越远变形越大。条没有变形的线。离开这两条线越远变形越大。3.3. 伪圆锥投影彭纳投影伪圆锥投影彭纳投影 彭纳投影主要用于编制中纬小比例尺的区域图。 世界地图集中的亚洲政区图，英国泰晤士世界地图集中的澳大利亚与西南太平洋地图 但最大长度、面积变形分别仅为+0.14和+0.27（6带），L。=（6n-3) L。=（6n-3)-360L。=3n yA = 245 863.7 myB

10、= - 168 474.8 myA通 = 20 745 863.7 myB通 = 20 331 525.2 m中国中国1 100万地形图编绘万地形图编绘规范规范规定采用规定采用双标准纬线等角割圆锥投双标准纬线等角割圆锥投影影,按纬差按纬差4分带分带长度变形最大值长度变形最大值: 0.03% 面积变形最大值面积变形最大值: 0.06% （1 1）制图区域）制图区域地理位置地理位置决定了所选择投影的种类决定了所选择投影的种类。 极地极地 赤道附近赤道附近 中纬地区中纬地区 （2）制图区域）制图区域形状形状直接制约地图投影的选择。直接制约地图投影的选择。中纬度地区中纬度地区: 沿纬线方向延伸的长形（

11、宽）区域沿纬线方向延伸的长形（宽）区域 沿经线方向南北延伸的长形区域沿经线方向南北延伸的长形区域 圆形区域圆形区域 低纬赤道附近低纬赤道附近: 沿东西方向长条形区域沿东西方向长条形区域 圆形区域圆形区域单（双）标准纬线正轴圆单（双）标准纬线正轴圆锥投影锥投影多圆锥投影多圆锥投影 斜轴方位投影斜轴方位投影正轴圆柱投影正轴圆柱投影 横轴方位投影横轴方位投影 （1 1）墨卡托投影（）墨卡托投影（Mercator ProjectionMercator Projection）（2）空间斜轴墨卡托投影）空间斜轴墨卡托投影（Space Oblique Mercator Projection（3 3）桑逊投影

12、（）桑逊投影（Sanson ProjectionSanson Projection）（4 4）摩尔维特投影（）摩尔维特投影（Mollweide ProjectionMollweide Projection）世界地图世界地图（1）横轴等积方位投影（Lambert，s Azimuthal Equivalent Projection） （2）横轴等角方位投影（Transverse Azimuthal Orthomorphic Projection）（3）正轴等距方位投影（Postels Projection）半球图半球图（1）斜轴等积方位投影（Oblique Equal-area Projectio

13、n ）（2）正轴等角/等积圆锥投影正轴等角圆锥投影正轴等积圆锥投影（3）彭纳投影（Bonne Projection）分州、分国地图分州、分国地图 自然地图和社会经济地图中的分布图，类型图，区划图 世界时区图世界时区图等角投影等角投影 等积投影等积投影 经线投影成直线的正轴圆柱投影经线投影成直线的正轴圆柱投影中国政区图教学挂图不同比例尺地图对精度的要求不同，导致投影选择也不相同。单幅图和系列图投影选择比较简单； 地图集应该尽量采用同一系统的投影，再根据个别内容的特殊要求，在变形性质方面予以适当的变化。 地图投影的辨认，主要是对小比例尺地图而言地图投影是地图的数学基础，它直接影响地图的使用，在使用

14、地图时不了解投影的特性，往往会得出错误的结论有些地图没注明投影的名称和有关说明九、 地图投影的辨认1.根据地图上经纬线的形状确定投影类型。对地图经纬线网作一般观察，应用所学过的各类投影的特点确定其投影是属于哪一类型。判别经纬线形状的方法： 直线：直尺比量圆弧：在透明纸上沿曲线按一定间隔定出三个以上的点，沿曲线移动透明纸，使点位于曲线的不同位置，如这些点处处都与曲线吻合，则是圆弧，否则为其他曲线。同心圆弧与同轴圆弧：若相邻圆弧间的垂线距离处处相等则为同心圆弧，否则是同轴圆弧。正轴投影最容易判断一、地图投影的辨认一、地图投影的辨认2.根据图上量测的经纬线长度的数值确定其变形性质。量测和分析纬线间距的变化就能判定出投影的性质。有些投影的变化性质从经纬线网