关注数学本质发展学生思维02

1、统计与概率领域统计与概率领域武汉东湖新技术开发区花山小学 王波信息处理能力（1）统计：数据处理；（2）概率：可能性大小；描述一组数据的特征量集中量差异量相关量集中量代表一组数据典型水平或集中趋势的量平均数中位数众数算术平均数调和平均数加权平均数参考文献：王孝玲，教育统计学，华东师范大学出版社，2001版，p29。平均数中位数众数 平均数很好，比中位数、众数更有可靠性和代表性，但它易受极大或极小两极端数值的影响。 中位数不具有平均数那样多的优点，但能解决平均数无法处理的一些问题。它适用于：一组数据中有特大或特小两极端数值时；一组数据中有个别数据不确切时；资料属于等级性质时。 众数是三个集中量中最

2、差的一个，当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值用到它。32odMMx数据需要结合现实来选择使用 选拔射击运动员平均数众数最大值运动员1939697运动员29392100当面对一组数据时，哪个数据是最具代表性。 如果你是工会主席，准备提加工资的建议； 如果你是人事经理，准备做宣传招员工？ 如果你是一位新员工？ 如果你是一位有经验的员工？ 如果你是一位CEO主要看数据主要看数据的用途？的用途？统计图的制作与分析 不再要求学生会制作复杂的统计图表； 重要的是能使学生从统计图表中获取相应的信息；能做出相应的推断？ 读图时代：有哪些富有生活气息的素材；名次名次国家及地区国家及地区金牌金牌银牌银牌铜牌铜

3、牌总计总计1中国5121281002美国3638361103俄罗斯232128724英国191315475德国16101541有趣的素材 莎士比亚歌剧的单词字母个数； 奥运歌曲中的音符；有趣的素材 奥运金牌榜：参会人数，中国队获得金牌最多的项目； 早餐营养不充足的80 睡眠情况的统计； 我们国家的近似率是世界上排名第一； 我省学生近似率53.8%；有趣的素材 你有活力吗？ 测脉搏： 1）绝对放松，测试10秒，每分脉搏频率， 2）做心跳加速的动作：不停走3分钟， 3）一停下脚就测脉搏；结果为“负荷脉搏数”； 4）休息3分钟，再测脉搏，得到“休整后脉搏数” 坚持锻炼3周后 如果休整后的脉搏数减少了

4、，说明身体已经得到了锻炼； 如果恢复正常脉搏数的速度越快，说明你的耐力越好。有趣的素材这是一本好的统计书讨论：概率的问题 有甲乙两人对弈，7盘决胜负，胜者获得奖金10万，负者也可获得奖金5万，下到5盘结束，甲赢3盘，乙赢2盘，这时由于某种原因都不下了，但胜负还未决定，那么该如何分配这一共15万的奖金才公平合理呢？ 这个问题对于概率论的产生起了很大的作用。当年费尔马和帕斯卡就是从考虑这个问题入手发明概率论的。 认识可能性我们常常抛硬币，掷骰子，用认识可能性我们常常抛硬币，掷骰子，用来说明等可能性的事件，如果用啤酒瓶的来说明等可能性的事件，如果用啤酒瓶的盖来说明这不是等可能性的，对等可能的盖来说明

5、这不是等可能性的，对等可能的事件的理解反而更深刻。事件的理解反而更深刻。 再多的白羊也不能证明所有的羊都是白的，再多的白羊也不能证明所有的羊都是白的，而只要一只黑羊就能证明所有的羊都是白而只要一只黑羊就能证明所有的羊都是白的这个理论是错误的。的这个理论是错误的。 思考：思考：不等可能性的材料讨论：概率的问题 一个硬币是正面还是反面？1/2？ 理论概率与实验概率的冲突； 样本多大才合适？ 计算机的模拟实验如何辅助？（抛硬币） 是不是次数越多就越接近1/2；讨论：概率的问题 是不是次数越多就越接近1/2； 如何根据频率进行推断？实验者实验者抛硬币次数抛硬币次数正面朝上次数正面朝上次数反面朝上次数反

6、面朝上次数蒲丰蒲丰404020481992德德摩根摩根409220482044费勒费勒1000049795021皮尔逊皮尔逊240001201211988罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基806403969940941联系统计与概率 不局限在从一幅图中获取信息？ 而是关注图与图之间的关联； 不局限在一个领域； 而是要统计与概率之间的联系。折线背后的教育意义折线统计图在生活中的应用。股票图心电图你关注的是什么图？概率的现实意义。一切皆有可能。4.逻辑思维能力（1）演绎能力；（2）归纳能力；我的一生很庆幸，因为我曾经我的一生很庆幸，因为我曾经在两个不同的国度生活过，一在两个不同的国度生活过，一个国家注重演绎

7、，一个国家注个国家注重演绎，一个国家注重归纳。重归纳。杨振宁杨振宁逻辑思维能力逻辑思维能力 有8个同样的商品，其中一个是次品，质量较轻，有一个天平，最少用几次能找出那个次品？ 服役人员体检重视归纳，从分类开始。归纳能力和演绎能力都很重要，演绎归纳能力和演绎能力都很重要，演绎是由一般到特殊，用于证明结论的正是由一般到特殊，用于证明结论的正确性，这在数学中很重要。而归纳是确性，这在数学中很重要。而归纳是由特殊到一般，或者说由一个范围内由特殊到一般，或者说由一个范围内的结论推断到一个更大范围的结论，的结论推断到一个更大范围的结论，这往往导致创新。这往往导致创新。归纳能力培养从重视分类开始归纳能力培养

8、从重视分类开始 史宁中史宁中分类的序列分类的序列: 图形的分类（认识三角形）； 数的分类（认识奇数偶数质数合数）； 算式的分类（认识有余数除法）； 等式的分类（认识方程）； 问题的分类（认识归一问题）； 萌发辨证关系的10大系列： （1）一与多： （2）合与分； （3）相等与不等： （4）分解与组合； （5）变和不变：； （6）精确和近似：； （7）具体和抽象； （8）离散和连续： （9）有限与无限： （10）常量与变量： （2）注重思维训练2简单数数蕴含无限思想简单数数蕴含无限思想学生在长长的纸条上写数 1，2，3，4，9（需要指点） 10，11，12 19（需要帮助） 20，21，22，2

9、9（不要帮助） 30 99（又要帮助） 1024 小女孩：我不想写了。 师：为什么？ 小女孩：就这样继续下去。 师：就怎样继续呢？ 小女孩：1后面2，2后面3，3后面4到10时，把前面一位的1改成2，2改成3 （9）有限与无限：圆与正多边形之间的关系实际应用。饮料一杯装得下吗？小瓶饮料90克，倒进空瓶占3格。大瓶饮料300克，倒进空瓶（8格）装得下吗？ 注：每一格装的饮料质量相等。实际应用。饮料一杯装得下吗？小瓶饮料90克，倒进空瓶占3格。大瓶饮料300克，倒进空瓶（8格）装得下吗？ 方法1：9038240，2408；方法3：30090=330，339格，98；5.解决问题能力（1）提出问题的

10、能力；（2）解决问题的能力；提问能力的培养提问能力的培养途径途径 单元前：单元主题图； 课前；课时主题图； 课中；知识展开教学中； 课后；练习题； 复习：回顾与整理中；让提问成为一种学习的意识！单元主题图单元主题图单元主题图单元主题图 从具体到抽象； 从生活到数学； 从简单到复杂； 培养提问能力； 重组知识结构；根据数学信息提问。根据数学信息提问。 出示35 50，电话号码升八位，可以多多少个电话号码？提问能力的培养提问能力的培养 知道什么是好的，才有方向。知道什么是好的，才有方向。 评价目标 流畅性：问题数量 灵活性：问题种类 独创性：新颖程度巴克（Balker）的研究提问能力的培养提问能力

11、的培养 知道什么是好的，才有方向。知道什么是好的，才有方向。 信息来源 已知的信息：来自已有情境的数学信息； 改进的信息：提问者基于已有情境进行修改和改进的问题信息； 拓展的信息：仅仅增加了原有情境的信息量的问题信息； 附加的信息：提问者自己提供的信息； 不清楚的信息：这是一类在信息来源上具有开放性的问题信息 冈沙雷斯 的研究提问能力的培养提问能力的培养引导引导 引导学生提出不同种类的问题； 引导语“谁还能提出更多的数学问题” 引导语“谁还能从不同的角度提出问题” 引导语“这个问题很有新意！都能补充信息提问了。”提问能力的检测图提问能力的检测图提问能力的实验数据分析提问能力的实验数据分析 表2

12、 ：提出问题“流畅性”比较分析 ；人数平均分（问题个数）标准差实验班 302793867Z3.14P0. 01.对照班 30218627 从表2 可以发现：实验班的提问能力相对于对照班，差异非常显著。；提问能力的实验数据分析提问能力的实验数据分析 表3：提出问题“灵活性”比较分析 从表3 可以发现，实验班的提问能力相对于对照班，差异显著。人数平均分标准差实验班3011439Z2.18P0. 05.对照班308735提问能力培养的问题提问能力培养的问题 怎样培养学生合理改造信息提出问题？ 课后提问与课前提问有什么不同？ 如何建立提问能力检测的标准？ 提问能力与解题能力的相关研究？ 20年前的一道

13、测试题 “在一条船上，有7575头牛，3232只羊，请问船长几岁？” 直接用7575和3232加减的也就是答案是107107和4343的所占比例会是多少呢：A A20以下； B B.2040 C C.4060，D D.6080，E E 80以上D.62五点反思 关于类别的反思：无类还是有类？ 关于建模的反思：是无意还是有意？ 关于编排的反思：无序还是有序？ 关于情境的反思：无用还是有用？ 关于解题的反思：无招还是有招？解决问题能力 常见数量关系要明确。（数学教育学报） 行程问题 路程 = 速度时间 工程问题 工作量 = 工作时间 工作效率 价格问题 总价格 = 单价 数量 利息问题 利息 =

14、本金 利率 利润问题 利润 = 成本 利润率 折扣问题 金额 = 价格 折扣率 百分数问题 数量 = 总量 百分比 应用题数量基本关系 主要包括总数与部分数之间的关系和较大数与较小数之间的关系。 总数与部分数之间的关系包括：不相等的部分数与总数之间的关系（相并关系）；相等的部分数与总数之间的关系（份总关系）； 较大数与较小数之间的关系包括：较大数、较小数与相差数之间的关系，（相差关系）；较大数、较小数与几倍数之间的关系，（倍数关系）； 应用题教学“四基” 应用题教材结构的构建要抓住四个“基本”： 即在一步应用题中抓住基本的数量关系； 在两步应用题中抓住数量关系的基本复合；在多步应用题中抓住复合

15、关系的基本结构和基本变换； 在整个分析数量关系的应用题教学过程中应贯穿着这些基本思想的培养。 应用题学习过程 一步：基本数量关系的两个认识阶段 两步：数量关系的基本复合 ； 三步：基本结构与基本变换 复合点的训练环节 成组训练成组训练：（1）跳绳的分3 3组，每组5 5人。跳绳的有多少人。（2）跳绳的有1515人，拍皮球的有8 8人。跳绳、拍皮球的一共有多少人。 两问训练：运来黄瓜3 3车，每车1010筐，运来黄瓜多少筐？运来西红柿5050筐，运来的西红柿比黄瓜多多少筐？ 基本结构与基本变换 所谓基本结构：在复合应用题中，以相并关系作为主体数量关系的和的结构，以差比关系作为主体数量关系的差的结

16、构，以每份量（份数）不变作为主体数量关系的归一结构（正比例）与以总量不变作为主体数量关系的归总结构（反比例），是数量复合关系的基本结构。基本变换 三种基本变换：情节性变换，可逆性变换扩展性变换。变换方式题目内容例1.篮球单价90元，排球单价80元。学校买3个篮球和5个排球，一共要付多少元？将例1作可逆性变换，即为例2。学校买3个篮球和5个排球一共付670元，篮球单价90元，求排球单价。将例1作情节性变换，即为例3客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行，客车每小时行65千米，货车每小时行50千米，4小时相遇，甲、乙两地相距多少千米？将例1作扩展性变换，即为例4。学校买篮球和排球共8个，其中篮球5

17、个，每个90元。排球每个80元，一共付多少元？ 有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 可能的困难： 不会转化百分数与分数？ 不会计算？ 不会列方程？ 不会分析数量关系？ 还是 就是不会做从不会到会，需要什么策略 有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 画线段图： 画草图：怎样让学生学会？ 这桶油的这桶油的2020，1212千克千克这桶油的这桶油的1/21/2 有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 第一次这桶油20

18、 第二次12千克 两次一共这桶油1/2 这桶油2012这桶油1/2怎样让学生学会？ 模板图示，学习者对应用题字面表述概括基础上形成的图式； 家族图式：学习者对一类问题使用的基本公示进行概括的基础上形成的图式 概念图式：学习者对应用题思维过程概括基础上形成的图式 类别图式：学习者对应用题一类问题的等量关系概括基础上形成的图式关于图示： 有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 对应关系： 1这桶油 20第一次取出 1/2两次取出 ？第二次取出12千克怎样让学生学会？ 有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的

19、1/2，这桶油共多少千克？ 列方程 设这桶油为x千克； 20 x121/2x 1/2x20 x12怎样让学生学会？ 有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 画线段图： 画草图： 对应关系： 方程； 还有什么方法？怎样让学生学会？ 基本策略尝试猜想；画图制表；实际操作；应用规律；等量替换从简入手；整理数据；可逆思考；用方程解；逻辑推理 理解题意做解题计划；按计划解答；回答和检验。 一般策略一般策略特殊策略特殊策略鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？ 策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量，再尝试

20、； 策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试；策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。 策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔，也可以假设一半是鸡一半是兔； 策略5：方程思路：用表示鸡的只数，用表示兔的只数，根据已知条件可以发现8，2422；由此可以得到2（）222，22216，3。 策略6：面积图，利用长方形面积公式来计算组合图形的面积。2只脚4只脚8个头 经典案例 “昨夜外星人访问我校， 留下了一个巨大的手印（图）， 今夜他还要来，试问： 我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？ “一寸高” （She

21、l Silverstein 1974） 假如你只一寸高，你骑蠕虫上学校。蚂蚁泪滴作泳池，蛋糕渣就管你饱，至少七天饿不了。可怕猛兽是跳蚤，假如你只一寸高。假如你只一寸高，蹦蹦跳跳门下跑，购物要走一个月，抱团绒毛就睡觉。蜘蛛网上荡秋千，头戴顶针当小帽，假如你只一寸高。口香糖作冲浪板，厨房水槽乐逍遥。妈妈太高够不着，只能把她拇指抱。你在人们脚边跑，当然心惊又肉跳。搬笔要用一通宵。(此诗写了十四年因为我只一寸高)。 数学儿歌数学儿歌6.模式能力（1）建模过程；（2）模式分类；（3）模式应用。 观察、加工、整理 分析抽象，作数学化处理 求解数学问题 结合实际 （5）数学结果合乎实际 数学结果不合乎实际，

22、修正、改进、重建数学模型。难在：从实际问题中抽象出数学问题 欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”。 如何分类？ 分类的不同维度： 指向词语特征：比多 指向数量关系：数量总量比率 指向问题模型：abc例如：归一模型 （1）一辆客车2 2小时行驶180180千米，照这样计算，5 5小时行驶多少千米？ （2）3 3瓶饮料2727元，5 5瓶这样的饮料要多少元？ （3）旅游纪念品厂3 3小时生产6060个产品，照这样计算，8 8小时可以生产多少个产品？ （1）甲车4小时行驶600千米，乙车5小时行驶500千米，甲车每小时比乙车多行驶多少千米？（？（6006004 45005005 5） （2）玩具加工车间工作

23、时间5小时，甲车间生产了300个玩具，乙车间生产了280个玩具，甲车间每小时比乙车间要多多少个玩具？（？（3003005 52802805 5）两商之差的模型： （3）有一个皮鞋店，原来计划12天生产120双皮鞋，实际10天完成，实际每天比计划多多少双？（1201012012） （4）有一个煤矿，原来计划上半年66万吨，实际每个月比计划多2.2万吨，实际多少月完成？（66x6662.2） （5）有一笔钱，可以买奶糖5千克，如果买单价贵2元的棒棒糖就要少买1千克，这笔钱有多少元？ （x/51x/52）abcdf （1）小明的储蓄罐里有1 1角和5 5角的硬币共2727枚，价值5.15.1元，1

24、1角和5 5角的硬币各有多少枚？ （2）老师买了1010张电影票，共花了5454元钱，其中有4 4元一张的学生票，也有6 6元一张的成人票，请你算一算，两种票各买了多少张？ （3）1212张乒乓球台上同时有3434人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？ （4）民谣：一队猎人一队狗，两队并成一队走。 数头一共是十二，数脚一共四十二，等等。 abcdf 鸡兔问题模型 一个雇工每年的工钱是1212卢布加上1 1件长袍，在工作7 7个月后，他离开的时候雇主恰好付给他1 1件长袍和5 5件卢布，这件长袍的价格是多少？ （12x）7/125x 分数问题 等差数列求和的模型 例如：123

25、4599100 等差数列前n项的和等于首末两项的和乘以项数除以2。 Sn（a1an)*n/2(Sn表示数列前n项的和） 某小组有8 8个同学，放假时，一一握手告别，每两人都握手一次，而且只握手一次，问共握手多少次？下图中有多少个三角形？ 由一个小三角形组成的有：1357925个 由4个小三角形组成的有：123410个 由9个小三角形组成的有：1236个 由16个小三角形组成的有：123个 由25个小三角形组成的有：1个抽屉原理：模式应用： 问：你们学校有多少人？ 答：400多人； 问：你们学校有没有两个人同一天生日的？ 答：我们班里好像没有的，其他班不知道。 图形等式推算系列图形等式推算系列 7 个常见模型个常见模型 。 （2）注重思维训练2模型1ax+bc=f例题买15个排球和12个篮球共付