数学模型介绍(1)

1、引引 言言 数学建模竞赛，就是一项数学应用题比数学建模竞赛，就是一项数学应用题比赛。大家都做过数学应用题吧，比如说赛。大家都做过数学应用题吧，比如说“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只只”，这样的问题就是一道数学应用题，这样的问题就是一道数学应用题( (应应该是小学生的吧该是小学生的吧) )，正确答案应该是，正确答案应该是9 9只，只，是吧？这样的题照样是数学建模题，不过是吧？这样的题照样是数学建模题，不过答案就不重要了，重要的是过程。真正的答案就不重要了，重要的是过程。真正的数学建模高手应该这样回答这道题：数学建模高手应该这样回答这道题： “树上有十只鸟，

2、开枪打死一只，还剩几只？树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”“是无声手枪或别的无声的枪吗？”“不是。” “枪声有多大？”“80100分贝。”“那就是说会震的耳朵疼？”“是。”“在这个城市里打鸟犯不犯法？”“不犯。”“您确定那只鸟真的被打死啦？”“确定。”“OK，树上的鸟里有没有聋子？”“没有。”“有没有关在笼子里的？”“没有。”“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”“没有。”“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“没有。”“算不算怀孕肚子里的小鸟？”“不算。”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”“没有花，就十只。”“有没有傻的不怕死的？”“都怕死。”“会不会一枪打死两只？”“不会。”“

3、所有的鸟都可以自由活动吗？”“完全可以。”“如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩。” 不是开玩笑，这就是数学建模。从不不是开玩笑，这就是数学建模。从不同的角度思考一个问题，想尽所有的可能，同的角度思考一个问题，想尽所有的可能，正所谓的智者千虑，绝无一失，这，才是正所谓的智者千虑，绝无一失，这，才是数学建模的高手。数学建模的高手。 第第一一讲讲 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5

4、 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型

5、你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少? x =20y =5求解求解航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量用符号表示有关量（x, y表示船速和

6、水速）； 用物理定律用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题回答原问题（船速每小时20千米/小时）。数学模型数学模型 和和 数学建模数学建模数学模型数学模型(Mathematical Model) 对于现实中的原型(现实对象现实对象)，为了某个特定目的，根据其内在规律内在规律，作出一些必要的简化和假设简化和假设，运用适当的数学工具数学工具得到的一个数学结构数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数

7、学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模数学建模（Mathematical Modeling)数学模型数学模型 和和 数学建模数学建模 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。数学模型的全过程数学模型的全过程包括包括表述、求解、解释、检验等表述、求解、解释、检验等。 数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，和一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的冥思苦想，它训练严密的逻辑推理和准确的计算能力

8、，而数学建模竞赛从内容到形式与此都有明显的不同。 数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成，大家可以从网上找到历年的赛题，它们对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。 数学建模竞赛数学建模竞赛什么是数学建模竞赛什么是数学建模竞赛 大学生数学模型竞赛是全球范围内数学界最重要的竞赛之一， 1994年以来全国大学生数学建模竞赛已为少数几项大学生课外活动和竞赛活动之一。 大学生数学建模竞赛培养学生什么样的能力?经过10多年来广大参赛同学,和指导教师的总结，至少有以下几方面是值得提出的：一、应用数学进行分析、推理、计

9、算能力，特别是双向翻译的能力大大提高。二、应用计算机、数学软件以及因特网的能力大大提高。三、获得应变能力的培养。四、培养和发展同学们的创造力、想象力、联想力和洞察力。五、培养学生组织、管理、协调合作以及仪式妥协的能力。六、培养了交流、表达和写作能力。数学建模竞赛数学建模竞赛数学建模竞赛的意义数学建模竞赛的意义 数学建模竞赛以通讯形式进行，三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机和任何软件，甚至上网查询，但不得与队外任何人讨论。在三天时间内，完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文。竞赛评奖以假设的合理性、建模的

10、创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 可以看出，这项竞赛与学生毕业以后工作时的条件非常相近，是对学生业务、能力和素质的全面培养，特别是开放性思维和创新意识。 数学建模竞赛数学建模竞赛数学建模竞赛的形式数学建模竞赛的形式 竞赛是由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的，每年9月下旬举行，今年是9月9日至11日。竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。今年我院组成十五队参加竞赛。 数学建模竞赛数学建模竞赛怎样参加数学建模竞赛怎样参加数学建模竞赛2006年全国一等奖获得者：年全国一等奖获得者：谭于超：城建学部05级土木 曾晓波：城建学部04级土木 胡德丽：信息工程学部04级信计

11、2007年省三等奖年省三等奖获得者获得者：邓星星：城建学部06级土木 彭振庭：信息工程学部05级计科 严新林：信息工程学部05级信科2008年省三等奖年省三等奖获得者获得者：王 锐：信息工程学部06级信计 余鲁鑫：城建学部08级土木 周峥嵘：城建学部08级土木2008年省二等奖获得者：年省二等奖获得者：邱 丰：经管学部06级国贸 汪燕霞：信息工程学部06级信计 罗 强：机电工程学部07级机电2009年省二等奖年省二等奖获得者：获得者：邓星星：城建学部06级土木 陶小娟：经管学部08级工管 董丽娜：经管学部08级工管2009年省二等奖获得者：年省二等奖获得者：罗 强：机电工程学部07级机电 江

12、媛：机电工程学部08级机电 王 冬：机电工程学部08级机电2010年省三等奖获得者：年省三等奖获得者：张杰俊：08建筑工程1班 汪佳亮：08建筑工程2班 袁宽：08建筑工程2班 历年两院取得的成绩历年两院取得的成绩1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍

13、然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，

14、四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只

15、脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在

16、证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即

17、即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )的确定的确定1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多, , 就杀人越货就杀人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定. .商

18、人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,

19、1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合允许决策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并按并按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态

20、s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法, ,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口

21、增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长1.3.3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 ( (1798) )常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1 (0 x(t) 时刻时刻t的的人口人口基本假设基本假设 : 人口增长率人口增长率 r (单位时间内人口的增长量单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比与当时的人

22、口呈正比)是常数是常数)()()(trxttxttx今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律

23、不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()

24、(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万） 1860 18

25、70 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4 (百万百万)5 .274)2000(x模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重

26、新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用( (如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量) )阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理

27、分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰

28、比较清晰的的问题问题 了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象、数据等。尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此确定用哪一类模型。情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调查研究，尽量掌握第一手资料。用数学语言来描述问题。 模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 根据实际对象的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败是非常重要和困难的一步。假设作的不合理或太简单，会导

29、致错误的或无用的模型；假设作的过分详细，试图吧复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。常常要在合理与简化之间作出恰当的折中。通常，作假设的依据，一是处于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的综合。想像力、洞察力、判断力，以及经验，在模型假设中起着重要作用。模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构

30、。有高数、概率统计、图论、排队论、线性规划、对策论等等。建模时还应遵循一个原则：尽量采用简单的数学工具，因为你的模型总是希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。 模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 要求：掌握matlab 6.x 如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 对所得的结果进行数学上的分析，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。 模型模型检验检验与实际